2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题12三角函数的图象与性质（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题12三角函数的图象与性质

基础知识复习

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

π3π

，1，－1

(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，2，(π，0)，2，(2π，0)．

π3π

，0，0

(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，2，(π，－1)，2，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

【知识拓展】

1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴

之间的距离是1个周期．

4

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．奇偶性

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：

π

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；

2

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

典型习题强化

1．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图像与直线有

���

且仅有一个交�点�，则=2s的in最��小�值>为0（）−4,3��0,2�=2

A．�B．C．D．1

433

342

2．已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（）

�7�

�(�)=sin��+3−�(�>0)0,3��

A．B．C．D．

31

(0,1)2,12,1[1,2]

3．已知函数.给出下列结论：

1

①的最小�正�周=期为sin2；�+2

②��的最小值为；π

1

��2

③把函数的图象上所有点向左或向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数都是偶函数；

π

�=��4

④在上单调递增.

π

其中��所有正0,确2结论的序号是（）

A．①④B．②C．②③D．①②③

4．若函数，则下列说法正确的是（）

A．是�偶(�函)数=sin�cos�

B．�(�)的最小正周期是

C．�(�)在区间上π单调递增

ππ

�(�)−4,4

D．的图象关于直线对称

π

�=4

5．已�(知�)函数，则下列结论错误的是（）

①时，�函�数=sin图��象+关c于os��+对s称in�；�②−函co数s���的>最0小值为-2；③若函数在上单调递增，

ππ

�=44

则�=1，；④�，�为两个不相等的实数，若��且��的最小−值,为0，则.

A．�②∈③03�1�B2．②④C．①�③�④1+��2=D4．②�③1④−�2π�=2

6．设函数，若时，的最小值为，则（）

��

�(�)=sin(��−4)(�>0)�(�1)−�(�2)=2�1−�23

A．函数的周期为

�

�(�)3

B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数

�

�(�)4

C．当，的值域为

��2

�∈(6,3)2

D．函数在区间�(�)上的(零点,1个)数共有6个

7．函数�(�)[−π,π的]最小正周期为（）

2

A．�=sin�+cosB�．C．D．

3ππ

22

8．下π列函数中最小正周期为的函数的个数是（2�）

①；②；�③；④

2

A．�1=|sin�|�=coBs|．�|2�=tan2�C�．=3sin�D．4

9．已知函数的部分图像如图所示，则（）

π

�(�)=sin(��+�)�>0,|�|<2

A．函数的最小正周期是B．函数关于直线对称

ππ

�(�)2��=��+12�=−2

C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最大值是

π3π4π3

243

10．已知�函(�数),π，则下�列(�结)论中正确,的是（）2

A．函数的�(最�)小=正2周sin期�c为os�−3cos2�−3

B．�时(�)取得最大值2�

�

�=3�(�)

C．的对称中心坐标是（）

���

�(�)2+6,0�∈�

D．在上单调递增

�

�(�)0,3

11．已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数

π

��=sin��−3cos���>0,�∈R2

列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关

π

于函数的�结�论正确的是（）3��

A．函数��是偶函数B．的图象关于点对称

π

����−3,0

C．在上是增函数D．当时，函数的值域是[1，2]

ππππ

��−3,3�∈−6,6��

12．设函数，已知在上有且仅有4个零点.下述四个结论正确的是（）

�

4

A．在�(�)=上si有n且�仅�+有3(个�极>大0)值点��0,2�

B．��在0,2�上有且仅有2个极小值点

C．��在0,2�上单调递增

�

��0,8

D．的取值范围是

1519

�8,8

13．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是

π

（）��=�sin��+��>0�>0�<2

A．

π

��=2cos2�−3

B．满足的的取值范围为（）

π

��>1��π,�π+3�∈Z

C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴

ππ

��12�=3

D．函数与的图象关于直线对称

π

����=−2cos2��=3

14．已知函数在上单调递增，则的最大值为______．

��

44

15．已知函数�(�)=3sin��+,(�>0)0,的部分图像如图所�示，则________．

��=2sin(��+�)(�>0,|�|<�)�=

16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐

美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中：

��

①函数是圆的一个太极函数；

22

②对于圆��=sin�+1的所�有:�非+常(数�函−数1)的=太1极函数中，一定不能为偶函数；

22

③存在圆�，:�使+得�=1是圆的一个太极函数；

�

e+1

�

���=e−1�

④函数是奇函数，且当时，，若是圆的太极函数，

1122

22

则��.0≤�≤1��=�⋅�−−���:�+�=1

所有�∈正确−的3是,_3__________.

17．设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．

(1)若△𝐴�，求的面积；�(�)=2sin(�−�)cos�+sin�

1

�(0)=−2,�=3,�=1△𝐴�

(2)当时，取最大值，求在上的值域.

5��

�=12�(�)�(�)0,2

18．已知函数的部分图像如图所示，若，B，C分

2

��

别为最高点与最�(�低)点=．4cos��⋅cos��−3−1(�>0)��⋅��=8−8

(1)求函数的解析式；

(2)若函数�(�)在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实数m的取