2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册+第七章+

7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率7.1.2全概率公式第七章随机变量及其分布[目标导航]课标要求1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率2.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系3.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率4.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.了解贝叶斯公式新知导学·素养启迪新知梳理1.条件概率事件A发生的条件下,事件B发生的概率2.条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即

.P(Ω|A)=1.(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=

.0≤P(B|A)≤1P(B|A)+P(C|A)3.全概率公式4.*贝叶斯公式设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有小试身手1.现有3道物理题和2道化学题共5道题,若不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到物理题的条件下,第2次抽到物理题的概率为

.

2.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为

.

3.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是

.

课堂探究·素养培育[例1]

现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;条件概率公式解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.条件概率的求法即时训练1-1:某个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型,并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案,作为2026年春节的吉祥物.2个兴趣小组各派一名成员将模型随机抛出,两人都希望能抛出马的图案朝上,2人各抛一次,则在第一人抛出马的图案朝上时,两人心愿均能达成的概率为(

)A利用条件概率的性质求概率[例2]

在一个袋子中装有10个球,设有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次摸2个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.A(2)有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为

.全概率公式[例3]

有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解:设事件A为“任取一件为次品”,事件Bi为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3.B1∪B2∪B3=S,由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3).P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,故P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02×0.3+0.01×0.5+0.01×0.2=0.013.全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病因导致A发生;若A表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中.(1)何时用全概率公式:多种原因导致事件的发生.(2)如何用全概率公式:将事件分解成两两不相容的完备事件组.(3)从本质上讲,全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.即时训练3-1:一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,求第二次取到白球的概率.混淆“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(AB)”[典例]

袋中有6个黄色的乒乓球和4个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次抽取一球,取两次,求第二次才能取到黄球的概率.(2)P(AB)表示A与B同时发生的概率;而P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.素养演练:一个盒子装有4件产品,其中3件一等品、1件二等品,从中取产品两次,每次任取1件,做不放回抽样,若第一次取到的是一等品,求第二次取到一等品的概率.当堂即练·素养达成当堂即练C2.有一匹赛马,参加了100