19.2.2一次函数导学案

同学们，我们已经学习了函数的基本概念，并对正比例函数有了一定的认识。今天，我们将进一步学习一种更为普遍和重要的函数——一次函数。它不仅是数学知识体系中的基础，也广泛应用于我们的日常生活和科学研究中。通过本节课的学习，希望大家能够深入理解一次函数的内涵，掌握其表达形式与图像特征，并能初步运用它解决一些简单的实际问题。学习目标*理解一次函数的概念，能够辨别一个函数是否为一次函数。*掌握一次函数的一般形式，并能明确其中常数的意义。*经历一次函数图像的绘制过程，理解一次函数图像的形状及其与表达式中常数的关系。*初步掌握一次函数的性质，能根据表达式或图像判断函数的增减性。学习过程一、情境引入与问题提出在之前的学习中，我们遇到过这样的问题：一辆汽车在公路上匀速行驶，速度为每小时60公里。如果设行驶时间为t小时，行驶路程为s公里，那么s与t之间的关系可以表示为s=60t。这是一个正比例函数，其图像是一条过原点的直线。现在，请思考以下问题：1.如果这辆汽车出发时，油箱里已经有5升油，且每行驶1小时耗油1升，那么油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系是什么？2.某商店出售一种商品，每件成本为40元，售价为60元。如果设售出数量为x件，销售利润为y元，那么y与x之间的关系又是什么？请尝试写出上述两个问题中变量之间的函数关系式，并观察它们与我们学过的正比例函数有何异同。二、一次函数的概念通过对上述问题的思考，我们可以得到两个函数关系式：1.y=5-t2.y=(60-40)x=20x（这里引导学生观察，第一个式子可以写成y=-t+5，第二个式子是y=20x+0）我们发现，这些函数关系式都具有类似的形式。定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。*当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k≠0），这正是我们学过的正比例函数。因此，正比例函数是一种特殊的一次函数。*理解这个定义时，要特别注意：*k和b是常数，k称为比例系数，b称为常数项。*自变量x的次数必须是1。*比例系数k不能为0，否则函数就变成了y=b（b为常数），这是一个常数函数，不是一次函数。思考与辨析：判断下列函数是否为一次函数，如果是，指出其中的k和b。1.y=3x-12.y=-0.5x3.y=x²+14.y=55.y=(2x-3)/4（此处留给学生思考和回答的时间，教师进行点评和纠正）三、一次函数的图像我们知道，正比例函数y=kx（k≠0）的图像是一条经过原点的直线。那么，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像又是什么形状呢？探究活动：在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：1.y=2x2.y=2x+33.y=2x-2步骤提示：1.列表：选取适当的x值，计算出对应的y值。（建议至少选取两个点，因为两点确定一条直线）2.描点：在坐标系中描出这些点。3.连线：用直尺将描出的点连接起来。观察与发现：1.这三个函数的图像都是什么图形？2.函数y=2x+3的图像与y=2x的图像有什么关系？（可以通过平移得到吗？向哪个方向平移？平移了多少个单位长度？）3.函数y=2x-2的图像与y=2x的图像又有什么关系？归纳总结：*一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线。因此，一次函数也被称为线性函数。*由于两点确定一条直线，今后我们画一次函数的图像时，通常选取图像与坐标轴的两个交点比较简便：*与y轴的交点：令x=0，得y=b，所以交点坐标为(0,b)。*与x轴的交点：令y=0，得x=-b/k（k≠0），所以交点坐标为(-b/k,0)。*直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx沿y轴向上（当b>0时）或向下（当b<0时）平移|b|个单位长度得到的。四、一次函数的性质一次函数的图像是一条直线，这条直线的位置和倾斜程度是由谁决定的呢？我们主要通过常数k和b来分析。1.常数b的作用：如前所述，b决定了直线与y轴的交点位置(0,b)。当b=0时，直线过原点（正比例函数）；当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负半轴。2.常数k的作用：*倾斜方向与增减性：观察前面画出的y=2x+3和y=2x-2，它们的k值都是正数，图像从左到右呈上升趋势。这意味着，当x的值增大时，y的值也随之增大。我们再尝试画出y=-x+1和y=-0.5x-2的图像，观察当k为负数时，直线的倾斜方向和y随x的变化情况。（引导学生自己动手画图并总结）结论：当k>0时，直线y=kx+b从左到右上升，y随x的增大而增大。当k<0时，直线y=kx+b从左到右下降，y随x的增大而减小。*倾斜程度：k的绝对值|k|的大小决定了直线的倾斜程度。|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。（可以通过对比y=2x和y=0.5x的图像来理解）例题分析：已知一次函数y=(m-1)x+m²-1。(1)若函数图像经过原点，求m的值。(2)若函数图像平行于直线y=-2x，求m的值，并判断该函数的增减性。(3)若函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。（教师引导学生分析题目，运用一次函数的定义和性质解决问题）五、一次函数与实际问题一次函数在生活中有着广泛的应用。例如，水电费的计算、行程问题、销售利润问题等，都可能涉及到一次函数关系。实例：某通讯公司推出两种手机话费套餐：套餐A：月租费20元，通话费每分钟0.3元。套餐B：月租费0元，通话费每分钟0.5元。设每月通话时间为x分钟，两种套餐的费用分别为y₁元和y₂元。(1)分别写出y₁、y₂与x之间的函数关系式。(2)画出这两个函数的图像（草图）。(3)如何根据每月通话时间选择更优惠的套餐？（引导学生分析问题，建立函数模型，并通过比较函数值的大小来解决实际选择问题）知识梳理与总结通过本节课的学习，你有哪些收获？请尝试从以下几个方面进行总结：1.一次函数的定义是什么？它与正比例函数有什么关系？2.一次函数的一般形式是怎样的？其中各常数有何限制？3.一次函数的图像是什么？如何快速画出一次函数的图像？4.常数k和b分别对一次函数的图像有什么影响？5.如何根据一次函数的表达式判断函数的增减性？巩固与提升1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y=-3x+7(2)y=1/x(3)y=2x²(4)y=4-x(5)y=6x2.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(1,5)和(-1,1)，求这个一次函数的表达式。3.一次函数y=(2m-3)x+(n+1)。(1)当m为何值时，y随x的增大而减小？(2)当n为何值时，函数图像与y轴的交点在x轴的上方？(3)若函数图像经过原点，且y随x的增大而增大，求m、n的取值范围。4.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为30元，出厂价为50元。在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米的污水排出。为了净化环境，工厂设计了两种处理污水的方案：方案一：工厂自己处理污水，每处理1立方米污水所用的原料费为2元，并且每月排污设备损耗为3000元。方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费。设