简明理论力学课件 11动量定理

简明理论力学动力学第三篇第十一章动量定理动量定理是笛卡尔首先于1644年提出。

——武际可《力学史》2000年笛卡儿

(René·Descartes1596—1650)

法国数学家、科学家和哲学家。他是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”在力学方面，他提出了宇宙间运动量总和是常数的观点，创造了运动量守恒定律，为能量守恒定律奠定了基础。他还指出，一个物体若不受外力作用，将沿直线匀速运动（惯性定律）。

笛卡儿近代科学的始祖。笛卡儿是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。动力学普遍定理的回顾及动力学普遍定理的引出

质点系的运动微分方程:上述方程求解：（1）只能求解简单质点系；（2）不能求解刚体或刚体系统；实际问题并不需要求每个质点的运动与受力，只需知道系统的某些运动特征量，如：动量、动量矩、动能；物体质心的运动和绕质心转动等。动量定理动量矩定理动能定理动力学普遍定理：——都可由质点动力学微分方程推导出§11-1动量和冲量§11-2质点的动量定理§11-3质点系的动量定理§11-4质心运动定理第十一章动量定理几个有意义的实际问题太空拔河，谁胜谁负？几个有意义的实际问题？偏心转子电动机工作时为什么会左右运动；这种运动有什么规律；会不会上下跳动；利弊得失。几个有意义的实际问题？蹲在磅秤上的人站起来时磅秤指示数会不会发生的变化几个有意义的实际问题？

台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会发生什么现象几个有意义的实际问题？水池隔板光滑台面

抽去隔板后将会发生什么现象水几个有意义的实际问题11-1动量和冲量一、动量概念及计算1.质点的动量Oxyzm

质点的质量m

与速度v

的乘积——质点的动量pp=mv动量是描述物体机械运动强弱的运动特征量出膛的子弹大型轮船(a)矢量，方向与速度v的方向相同；(b)瞬时量；(c)单位（SI）：kg·m/s投影表达式：动量的属性：2.质点系的动量

质点系各质点的动量之和——质点系的动量（或质点系动量的主矢）投影表达式：二、利用质心的概念计算质点系的动量xyzOMiC质心：质点系质量分布对称中心，用“C”表示。xCyCzC——m=Σmi

为总质量质心的坐标：适用于任意质点系和刚体系统

质心坐标计算改写为:两边对时间求导：质心的矢径：于是得质点系动量的计算表达式为:对刚体系统动量的计算表达式为:——mi

、vci

分别为i个刚体的质量和质心的速度

以上公式提供了计算刚体和刚体系统动量计算的实用方法。投影表达式：vCO

C计算刚体的动量计算系统的动量质量为m质量为m1m2m2质量为mm3m1m2例题1

椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块

A和

B的质量均为m，曲柄

OC和连杆

AB的质量忽略不计；曲柄以等角速度

绕

O轴旋转。图示位置时，角度

t

为任意值。求：图示位置时，系统的总动量。AOB

tC

AOB

tC

解1：先计算各个质点的动量，再求其矢量和。

AB=DvBvAvC

ABAOB

tC

解2：先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。DvBvAvC

AB质点系的质心在C处，其速度矢量垂直于OC，数值为：系统的总质量:mC=mA+mB=2m系统的总动量大小:vC=

l

方向沿

vC

方向例2：

图示正弦机构。曲柄长度OA=r，重量为W；滑块A的重量为W；T形杆的重量为3W，重心在E点。已知曲柄的转动角速度为ω，图示位置OA与水平方向夹角为45°。求系统的动量。解：分析各刚体质心的速度；计算系统的动量：OA杆：滑块：T形杆：

图示正弦机构。曲柄长度OA=r，重量为W；滑块A的重量为W；T形杆的重量为3W，重心在E点。已知曲柄的转动角速度为ω，图示位置OA与水平方向夹角为45°。求系统的动量。解：分析各刚体质心的速度；OA杆：滑块：T形杆：计算系统的动量：动量的方向：例2：三、力的冲量力与力作用时间的乘积——力的冲量“I

”1.常力的冲量当F=常矢量，2.变力的冲量将力作用时间分成无数小区间dt，在每一小的时间区间上，近似认为力不变，则力在微小时间间隔上冲量为：——力的元冲量力在时间间隔（t2－t1

）内的冲量为冲量是度量力在一段时间内累积效应的量。冲量的投影表达式：3.合力的冲量若：则合力FR的冲量为(a)冲量也是矢量，方向与力相同。(b)冲量是过程量（累积量），不是瞬间量。(c)单位（SI）：N·s。(与动量量纲相同)动量的量纲：[M][L]/[T]冲量的量纲：

([M][L]/[T]2)[T]=[M][L]/[T]冲量的属性：动量和冲量的量纲：注意：动量和冲量区别与联系11-2质点的动量定理xyzOMM2M1如图所示，质点M沿某轨迹运动，任意瞬时速度为v

，加速度为a

，质量为m

，则由牛顿第二定律，有因为质量为常量，上式可改写为——微分形式的质点动量定理将上式两边乘以dt

，并在时间间隔（t1－t2）内积分，得——积分形式的质点动量定

理，也称质点的冲量定理。投影表达式：——求未知力——求速度等量xyzOMM2M1——微分形式的质点动量定理将上式两边乘以dt

，并在时间间隔（t1－t2）内积分，得——积分形式的质点动量定理，也称质点的冲量定理。几点说明：（1）作用于质点的力F为合力；（2）积分形式只涉及质点运动的两个状态，不涉及中间变化过程。（适用于中间过程变化复杂的情形，如：碰撞等问题。）（3）守恒情形：（a）若：则：（b）若：则：11–3质点系的动量定理Mi一、质点系的动量定理质点系：n个质点。质点

Mi：mi

，vi

，——外力——内力由质点的动量定理——n个方程将上述方程两边相加，得1.微分形式Mi利用：得：——质点系总动量；——内力主矢恒为零；

质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和（外力系主矢量）。——微分形式的质点系动量定理一、质点系的动量定理1.微分形式——微分形式的质点系动量定理将上述方程两边对时间间隔（t1－t2

）内积分，得在某一力学过程中，质点系动量的增量等于质点系所受的外力冲量的矢量和。

——积分形式的质点系动量定理，也称质点系的冲量定理。2.积分形式3.投影表达形式二、质点系的动量守恒定理积分形式的质点系动量定理：（1）若：则有：（2）若：则有：——质点系动量守恒定理三、定理应用说明（1）内力不能改变质点系的总动量，但在质点系内部之间动量可以互相传递；（2）宜求解质点系内部作用复杂的问题，如：流体在管道中的流动问题等；（3）宜求解中间过程复杂的问题，如：碰撞问题、射击过程中的反冲后座问题等；（4）变质量系统问题；（5）若系统动量守恒，求某些物体的运动速度。BA例3：图示质点系：物块A和楔块B。已知：PA、PB、倾角α；初始静止；某瞬时，物块A相对于楔块B下滑的速度u；不计各处摩擦。求楔块B的速度。解：研究对象：物块A和楔块B受力分析：PA、PB、

FNxy显然有：——水平方向质点系动量守恒u运动分析：物块B:物块A：——初始：vB0=0，任意瞬时：vB

（假定）——初始：vA0=0，任意瞬时：vBvB解：研究对象：物块A和楔块B受力分析：PA、PB、

FNxy显然有：——水平方向质点系动量守恒u运动分析：物块B:物块A：——初始：vB0=0，任意瞬时：vB

（假定）——初始：vA0=0，任意瞬时：vBvB由水平方向动量守恒，有：负号说明vB

实际的方向为向左。

注意：动量定理中各运动量均为绝对运动量

BA例4：流体在管道中流动的动压力问题。有关流体的假定：不可压缩定常流动定常流动：管道内各处速度分布不随时间变化。已知：管中流体单位时间内流过的体积qv

为常量；流体单位体积的质量（密度）ρ

也为常量。

求：管壁受到动压力。解：研究对象：一段流体ABCD受力分析：F1、F2、W、FN分析运动的变化：ABCDabcd计算上述过程中动量的变化：解：研究对象：一段流体ABCD受力分析：F1、F2、W、FN分析运动的变化：ABCDabcd计算上述过程中动量的变化：两边同除以Δt，并取极限：由动量定理：得——欧拉流动方程管壁作用于流体的约束反力：将FN分成两部分：——由于W、F1、F2

引起的（流体静压力）——由于流体流动引起的（动反力）显然有——欧拉流体静力学方程

流体作用于管壁的动压力与上述动反力为作用与反作用力。例5：水在等截面弯管中流动，管道直径d=100mm，试就以下三种情况，求水流作用于管壁的动压力：（1）θ=30°，流量qv=0.03m3/s；（2）θ=60°，流量qv=0.03m3/s；（3）θ=30°，流量qv=0.05m3/s；解：如图管道中流体——研究对象水的密度：等截面弯管：（1）情形（1）：d=100mm，试就以下三种情况，求水流作用于管壁的动压力：解：求得：合成：情形（2）：情形（3）：所求动压力为其反作用力。例5：（1）θ=30°，流量qv=0.03m3/s；（2）θ=60°，流量qv=0.03m3/s；（3）θ=30°，流量qv=0.05m3/s；11-4质心运动定理

Olsabxxym1gm2gm1gm2g一、质心运动定理的导出将上式代入质点系动量定理的微分形式整理有

质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和——质心运动定理——质心运动微分方程几点说明：1.质点系的内力不影响其质心的运动；2.质心运动定理仅为动量定理的另一种形式。已知质点系的动量计算公式：质心运动定量的投影表达式:——直角坐标形式——自然坐标形式二、质心守恒(a)若：——质心做匀速直线运动——质心位置不变。(b)若：——质心在x方向速度不变——质心x坐标不变。——质心运动守恒定理三、质心运动定理的应用（1）已知质心的运动，求作用于质点系的外力（反力）；（2）已知作用于质点系外力，求质心的运动；（3）若某一方向质点系只受内力作用（如：

Fxi=0

)，由质心守恒求质点系中某些物体的速度；

驱动汽车行驶的力★质心运动定理的实例分析跳高运动员的过杆姿势h3=254~305mmh3=51~102mm跳高运动员的过杆姿势第一种正式载入田径史册的跳高姿势是跨越式，它出现在1864年牛津大学和剑桥大学的田径对抗赛上。1895年，美国人改进了跨越式，其特点是运动员在杆上时，身体急速侧向转体，两腿交叉如剪刀，创造了1.97m的新高纪录.1912年，美国运动员在美国西部的斯坦福大学采用左侧斜向横杆助跑，在杆上以身体左侧滚过横杆，首次越过2m的高度。之后，20多年内世界纪录多次被刷新。1923年，苏联运动员率先采用俯卧式。1936年，美国运动员以2.07m的成绩创造了新的纪录，俯卧式得到人们的青睐，世界各国优秀运动员均采用这种技术。1970年，中国运动员倪志钦以2.29m的优异成绩将俯卧式推向了高峰。然而，在1968年第19届奥运会上，福斯贝里创造了以他的名字命名的背越式，随之风糜全球。朱建华1984年在联邦德国埃伯斯塔特举行的国际跳高比赛中，以2.39m的优异成绩第三次打破他自己保持的世界纪录；同年在洛杉矶第二十三届奥运会跳高决赛中，以2.31m的成绩获铜牌。取人与船组成质点系。因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影等于零，因此质心在水平轴上保持不变。

人走到船尾时，船移动的距离为s，则质心的坐标为解：

取坐标轴如图所示。在人走动前，质心的坐标为例题8Olsabxxym1gm2gm1gm2g由于质心在轴上的坐标不变，解得Olsabxxym1gm2gm1gm2g例：均质杆OA，长2l，重P，绕着通过O端的水平轴在铅垂平面内转动，转动到与水平线成角φ时，角速度与角加速度分别为ω及α，试求这时O端的反力。解：杆OA——受力分析：运动分析：列写质心运动微分方程：（1）（2）要点：质心的运动轨迹已知，需用自然坐标形式的方程。例11：

小车A，重Q，下悬一摆。摆按规律φ=φ0sinkt

摆动。摆锤B的重量为P，摆长为l，摆的重量与各处的摩擦不计。初始时，φ=0，且系统静止。试求小车的运动方程。解：整个系统——受力分析：xyxx1显然有x方向质心守恒建立适当的坐标系，写出任意瞬时质心坐标：（将坐标系原点选在系统质心初始位置）任意瞬时：初始时刻：因为水平方向质心守恒，且初始静止，所以有:例12：长2l的均质杆AB，其一

端B搁置在光滑的水平面上，并与水平面成角α0。试求杆由静止倒下时，A点的轨迹方程。解：杆AB——受力如图，显然水平方向质心守恒。xy建立图示坐标系yAA点的坐标：的确定：由水平方向质心守恒，且初始静止，可得将上式代入（1），有（1）（2）（3）（4）将上式（2）、（4）消去α——椭圆轨迹方程质心的运动轨迹：——铅垂线xC1五、跳高运动员的过杆姿势四、驱动汽车行驶的力三、用磅秤称重时的示数变化二、电动机的动反力一、射击时的后坐力动量定理的应用射击时，枪会后坐。一、射击时的后坐力设：子弹质量m1=8g，枪的质量m2=4kg，子弹出膛速v0=800m/s。假设子弹水平射出，枪所受水平摩擦力忽略不计。求子弹射出时枪的速度。解：具体分析与计算取枪和子弹所成系统为研究对象，设子弹射出时枪的速度为v:xyO枪和子弹所成系统在水平方向动量守恒。解：以枪为研究对象，枪后坐，受到人体的阻碍而停止运动，设阻力为FN：由力的作用与反作用原理，枪对士兵的作用力亦为128N。设枪后坐时间t=0.05s，还可以求出枪对人的撞击力。xyO偏心转子电动机如果放在光滑水平面上，工作时会左右运动，甚至会上下跳动。二、电动机的动反力偏心转子电动机如果固定在水平面上，工作时就会受到动反力作用。O例：如图所示，重P的电动机，在转动轴O上装一重Q

的偏心轮，偏心距为e，电机以匀角速度ω转动。（1）设电机用螺栓固定在基础上，求作用在螺栓上的水平力。（2）如果不用螺栓固定，问转速多大时，电机会跳离地面？O解：研究对象——整体；受力分析；PQFxFy选适当的坐标系；xy计算质心坐标：（任意瞬时）OPQFxFyxy代入质心运动定理：x：y：Fx