第03讲 正方形的性质与判定-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第03讲正方形的性质与判定【学习目标】1．理解正方形的概念；2．掌握正方形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．【基础知识】一．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．二．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．三．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】一．正方形的性质（共4小题）1．（2022春•江北区校级期中）如图，已知边长为5正方形ABCD中，M、N分别为边BC、DC上的点，连接AM、AN，过N作NH⊥AM于点H，若∠ANH＝45°，连接MN．（1）证明：BM＝MN﹣DN；（2）求点A到MN的距离．2．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．3．（2021秋•南关区校级期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．4．（2021•陕西模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E，求证：DE＝CE．二．正方形的判定（共4小题）5．（2021秋•化州市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．6．（2018•舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．7．（2018春•邵阳县期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．8．（2018秋•巴州区校级期中）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．三．正方形的判定与性质（共4小题）9．（2021春•梁山县期中）如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长；（2）求证：CD＝DG+FC．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．（1）在直角三角形中作一个正方形AFMN，使得EF、EN分别在边AB、AC上，点M在BC边上，求正方形的边长．（2）将（1）中的正方形EFMN沿着射线AB以1cm/s的速度向右平移，当点E平移至与B重合时，正方形停止运动，设平移的时间为ts，正方形EFMN与Rt△ABC重叠部分的面积为S，求使用时间t表示S．12．如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2022•虞城县二模）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角2．（2022春•长沙期中）对角线长为的正方形，边长是多少（）A． B． C． D．13．（2022春•仓山区校级期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．轴对称图形 C．对角线互相平分 D．对角线平分每一组对角4．（2022春•晋安区期中）若四边形ABCD是_________，则四边形ABCD一定是_________，那么这两空依次可以填（）A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形5．（2021秋•武侯区期末）下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分二．填空题（共7小题）6．（2021秋•甘井子区期末）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（a，a），则点D的坐标为．（请用含a的式子表示）7．（2021春•前郭县期中）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为．8．（2022春•宜兴市校级月考）已知正方形的对角线长为6，则它的面积为．9．（2021秋•太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．10．（2022春•潮安区期中）如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝．11．（2021春•铁东区期中）一个正方形的对角线长为2，则其周长为．12．（2021春•盐都区期中）定义：有一组邻边相等的是正方形．三．解答题（共6小题）13．（2021春•永定区期中）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF，连接BE，AF．求证：AE＝DF．14．（2022•渭滨区一模）如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，并延长交CD于点F，过点C作CH∥AE，交BF于点H．求证：AG＝BH．15．（2021春•桓台县期末）如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．16．（2021•自贡模拟）如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：AE＝AF．17．（2021春•徐汇区期中）如图，P是边长