第10讲 成比例线段与平行线分线段成比例-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（解析版）

第10讲成比例线段与平行线分线段成比例【学习目标】1、了解比例线段的概念及有关性质；2、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；【基础知识】一．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．二．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．三．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．【考点剖析】一．比例的性质（共5小题）1．（2022•瑶海区校级开学）已知＝＝＝x，求x的值．【分析】分a+b+c＝0和a+b+c≠0两种情况，利用等比性质求解即可．【解答】解：若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，此时，x＝﹣1，若a+b+c≠0，则x＝＝＝＝＝2，综上所述，x的值为﹣1或2．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了等比性质，难点在于分情况讨论．2．（2021秋•怀宁县期末）已知＝＝，求的值．【分析】设比值为k，然后列方程组用k表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k，则，解得．所以，＝＝1．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”列方程求出a、b、c是解题的关键．3．（2020秋•徐汇区期末）已知，x：y＝3：5，x：z＝5：12，求x：y：z（用最简整数比表示）．【分析】根据比例的性质即可得出答案．【解答】解：∵x：y＝3：5＝15：25，x：z＝15：36，∴x：y：z＝15：25：36．【点评】本题主要考查比例的性质，关键是要把比例中x的值都扩大到15．4．（2021秋•大田县期中）若，且3x﹣2y+z＝18，求x+5y﹣3z的值．【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：设，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，又∵3x﹣2y+z＝18，∴9k﹣8k+5k＝18，∴k＝3，∴x＝9，y＝12，z＝15．∴x+5y﹣3z＝9+5×12﹣3×15＝24．【点评】本题考查了比例的性质，熟练运用比例的性质解答是解题的关键．5．（2022春•定海区校级月考）若，求的值．【分析】利用已知变形，进而代入原式化简得出答案．【解答】解：∵，∴y＝3x，∴．【点评】本题考查了比例的性质，关键是熟悉内项之积等于外项之积．二．比例线段（共5小题）6．（2020秋•崇川区校级月考）如图所示，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．（1）求和；（2）线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？【分析】（1）根据已知条件，代入和，即可求得结果；（2）根据和的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．【解答】解：（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝，＝＝（2）由（1）知＝＝，＝＝；∴＝，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．【点评】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．7．（2021秋•肇源县期末）在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离一比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离．再根据“时间＝路程﹣速度”即可求出．【解答】解：15÷＝900000000（厘米），900000000厘米＝9000千米，9000÷120＝75（小时），答：从甲地开往乙地，需要75小时．【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，以及行程问题中的基本数量关系“时间一路程+速度”的灵活应用．8．（2021秋•淮安区期末）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．【解答】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（负值舍去）．∴线段a，b的比例中项是3．（2）设x＝4k，y＝3k，∴＝＝﹣．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．9．（2021秋•道县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且．（1）求的值；（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．【分析】（1）直接设a＝5k，b＝4k，c＝6k，进而代入求出答案；（2）直接设a＝5k，b＝4k，c＝6k，进而代入求出答案．【解答】解：（1），∴．（2）∵△ABC的周长为60，∴a+b+c＝60，∴5k+4k+6k＝60，∴k＝4，∴a＝5k＝20，b＝4k＝16，c＝6k＝24，∴三角形的各边的长分别为20，16，24．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键．10．（2019秋•花山区校级期中）如图所示，在线段AB上有C、D两点，已知AB＝7，AC＝1，且线段CD是线段AC和BD的比例中项，求线段CD的长．【分析】根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：∵AB＝7，AC＝1，∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝6﹣CD，∵线段CD是线段AC和BD的比例中项，∴CD2＝AC•BD，即CD2＝1×（6﹣CD），解得：CD＝2．【点评】本题考查了比例线段，一元二次方程的解法，正确的理解题意是解题的关键．三．平行线分线段成比例（共4小题）11．（2021秋•长清区期中）如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴BC＝10，∴AC＝AB+BC＝5+10＝15．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．12．（2021秋•霍邱县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，＝，BF＝6cm，求EF和FC的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AE∥DF得＝，可计算出EF＝4，则BE＝BF+EF＝10，然后再由DE∥AC得到＝，可计算出CE＝，所以CF＝CE+EF＝．【解答】解：∵AE∥DF，∴＝，即＝，∴EF＝4，∴BE＝BF+EF＝6+4＝10，∵DE∥AC，∴＝，即＝，∴CE＝，∴CF＝CE+EF＝．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．（2021秋•秦都区期末）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．【分析】结合条件可得到GF∥AD，则有＝，由BF∥CD可得到＝，又因为AD＝CD，可得到GF＝FB．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BF∥CD，∴＝，∵FG∥BE，∴GF∥AD，∴＝，∴＝，且AD＝CD，∴GF＝BF．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．14．（2021秋•阳谷县期中）如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度．【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵b∥c，∴，∴OE＝EF＝，∵a∥c，∴，∴DO＝OF＝×（+5）＝，∴DE＝DO+OE＝+＝．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•常州模拟）已知实数a，b满足a＝2b，则的值是（）A． B． C．1 D．2【分析】把a＝2b代入，即可求出答案．【解答】解：∵实数a，b满足a＝2b，∴＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．2．（2021秋•定海区期末）已知＝，下列变形正确的是（）A．ab＝6 B．2a＝3b C．a＝ D．3a＝2b【分析】根据比例的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵＝，∴2b＝3a．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3．（2021秋•漳州期末）如果＝，那么的值等于（）A． B． C． D．1【分析】根据＝设a＝5k，b＝3k，把a＝5k，b＝3k代入，即可求出答案即可．【解答】解：设a＝5k，b＝3k，则＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．4．（2021秋•市中区期末）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（）A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米【分析】设乐山到峨眉的实际距离为xcm，利用比例尺的定义得到3.8：x＝1：1000000，然后利用比例的性质求出x，再化单位化为米即可．【解答】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，根据题意得3.8：x＝1：1000000，解得x＝3800000，所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．故选：B．【点评】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．5．（2021秋•巴中期末）对于线段a和b，若a：b＝2：3，则下列式子一定正确的是（）A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D．【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵a：b＝2：3，∴3a＝2b，，＝，无法得到b﹣a＝1．故选：C．【点评】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．6．（2021秋•金川区校级期末）下列各线段的长度成比例的是（）A．2、5、6、8 B．1、2、3、4 C．3、6、7、9 D．3、6、9、18【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、∵2×8≠5×6，故此选项不符合题意；B、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；C、∵3×9≠6×7，故此选项不符合题意；D、∵3×18＝6×9，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．二．填空题（共9小题）7．（2021秋•鼓楼区校级期末）若＝，则＝．【分析】根据“内项之积等于外项之积”解答即可．【解答】解：∵＝，∴y＝3x，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积是解答本题的关键．8．（2021秋•西湖区期末）若2y﹣x＝0，则x：y＝2：1．【分析】根据2y﹣x＝0求出x＝2y，把x＝2y代入x：y，再求出答案即可．【解答】解：∵2y﹣x＝0，∴2y＝x，即x＝2y，∴x：y＝2y：y＝2：1，故答案为：2：1．【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果＝，那么ad＝bc，反之亦然．9．（2021秋•门头沟区期末）如果＝，那么的值是．【分析】根据比例的性质设x＝2k，y＝3k，再代入计算可求解．【解答】解：由题意设x＝2k，y＝3k，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键．10．（2021秋•定海区期末）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为6．【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出结果．【解答】解：设线段a和b的比例中项为c，∵a＝9，b＝4，∴＝，∴c2＝ab＝4×9＝36，解得：c＝±6，又∵线段不能是负数，∴﹣6舍去，∴c＝6，故答案为：6．【点评】考查了比例中项的概念，掌握比例中项的概念是解决问题的关键．11．（2022•龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d＝9cm．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝3cm、c＝3cm，∴d＝9，则d＝9cm．故答案为：9．【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．12．（2022•醴陵市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OG平分∠AOC交AC于点G，则的值为．【分析】先根据直角三角形的性质得出OC＝AB＝OA，再根据等腰三角形的性质得出∠AGO＝90°＝∠ACB，最后利用平行线分线段定理得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴OC＝AB＝OA，∴OA＝OC，∵OG平分∠AOC，∴OG⊥AC（三线合一），∴∠AGO＝90°＝∠ACB，∴OG∥BC，∴，故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．13．（2022•东西湖区模拟）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC＝4，CE＝8，BD＝3，则DF的值是6．【分析】根据平行线分线段成比例得，即可得出DF值．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴即，∴DF＝6．故答案为6．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14．（2021秋•覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为．【分析】设CE＝AD＝x，则，求出CE，由EF∥DB可求出的值．【解答】解：设CE＝AD＝x，∵EF∥AC，∴，∴，解得x＝7.5，∴AF＝4.5，∵EF∥DB，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识．15．（2021秋•大连期末）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝5.4．【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴，解得CN＝3.6，∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4故答案为：5.4．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．三．解答题（共7小题）16．（2021•鄞州区模拟）若＝3，求的值．【分析】直接利用已知得出b＝3a，进而代入化简得出答案．【解答】解：∵，∴b＝3a，∴原式＝．【点评】此题主要考查了比例的性质，得出b＝3a是解题关键．17．（2020秋•包河区期中）已知：，求的值．【分析】直接利用已知设x＝2a，y＝3a，z＝4a，进而代入得出答案．【解答】解：∵，∴设x＝2a，y＝3a，z＝4a，∴＝＝＝．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．18．（2020秋•南山区校级期中）已知a：b：c＝2：3：5，如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．【分析】设a＝2t，b＝3t，c＝5t，则可得到6t﹣3t+5t＝24，然后解关于t的方程，从而得到a、b、c的值．【解答】解：∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2t，b＝3t，c＝5t，∵3a﹣b+c＝24，∴6t﹣3t+5t＝24，解得t＝3，∴a＝6，b＝9，c＝15．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质和等比性质．19．（2021秋•肃州区校级期中）如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝8，AC＝6，BD＝AE，求BD的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得＝，而BD＝AE，则CE＝AC﹣BD＝6﹣BD，所以＝，再利用比例的性质得到BD2+8BD﹣48＝0，然后解此一元二次方程即可得到BD的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD＝8，AC＝6，BD＝AE，∴CE＝AC﹣BD＝6﹣BD，∴＝，整理得BD2+8BD﹣48＝0，解得BD＝4或BD＝﹣12（舍去），∴BD的长为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．20．（2021春•津南区月考）如图所示，l1∥l2∥l3，且AB＝2BC，DF＝5cm，AG＝4cm．求GF，AF，EF的长．【分析】先由l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理得到＝，利用AB＝2BC即可得到GF＝2（cm）；则AF＝AG