第13讲 相似三角形的性质与图形的位似-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（原卷版）

第13讲相似三角形的性质与图形的位似【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【基础知识】一．相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．二．位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．二．作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．【考点剖析】一．相似三角形的性质（共6小题）1．（2020秋•南京期末）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是它们的中线，求证：AD：A′D′＝AB：A′B′．2．（2020秋•渠县期末）如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．3．（2020秋•合肥期末）如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．4．（2020秋•台江区校级月考）如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：＝．5．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；（2）若AP＝，求BE；（3）若△PFD∽△BFP，求．6．（2020秋•历下区期中）如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．二．位似变换（共3小题）7．（2018秋•邵阳县期末）如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？8．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2，若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．9．如图，AB与CD相交于点E，AC∥DB，△ACE与△BDE是位似图形吗？三．作图-位似变换（共3小题）10．（2021秋•南岗区期末）在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1，画出按1：3缩小后的图形，并直接写出缩小后的图形的周长．11．（2021秋•郾城区期末）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）B点的对应点B′的坐标是；C点的对应点C′的坐标是（3）在BC上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′的坐标是．12．（2021秋•槐荫区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；（2）求出△A'B'C'的面积．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•凉州区模拟）已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝（）A．2 B． C．3 D．2．（2022•泸县一模）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝5，A'D'＝3，则△ABC与△A'B'C'面积的比是（）A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：93．（2022•大足区模拟）若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：14．（2022•滦南县模拟）如图，△ABO与△A'B'O'是以点M为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点M到点A和点A'的距离之比（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：35．（2022•成都模拟）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，使它与△ABC的相似比为2，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣26．（2021秋•运城期末）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长比为（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：9二．填空题（共10小题）7．（2021秋•高阳县期末）如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为．8．（2022•蓬江区校级一模）两个相似三角形的面积比为4：9，其中一个三角形的周长为12cm，则另一个三角形的周长是cm．9．（2021秋•澧县期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，点D为边AB的中点，点E在边AC上，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．10．（2021秋•天府新区期末）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为．11．（2022•乌鲁木齐一模）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应周长的比值是．12．（2022•淮安区模拟）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为．13．（2021秋•禅城区校级月考）若两个相似三角形的相似比是5：7，则它们的对应高线的比是．14．（2022春•崆峒区校级月考）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A'B'CD'E，已知OA＝10cm，OA'＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A'B'CD'E'的周长比是．15．（2021秋•兴宁市期末）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的动点，请你在不增加任何辅助图形与字母的情况下，补充一个条件，使图中的两个三角形是以点C为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是．16．（2021秋•揭西县期末）在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是（2，3），以原点O为位似中心把△ABC放大，使放大后的三角形与△ABC的相似比为3：1，则点A的对应点A′的坐标为．三．解答题（共6小题）17．（2020秋•市中区期中）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．18．如图，△ABC与△DEF相似，∠C＝∠F＝35°，∠B＝115°，求未知边x，y的长度和∠D的度数．19．（2016秋•鼓楼区校级期中）如图△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，AD＝2，求AB及BC的长．20．（2020秋•香坊区期末）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上．（1）在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；（2）在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；（3）请直接写出图形①的面积与图形②的面积的最简整数比为．21．（2021•淮南一模）平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；（2）以点M（1，2）为位似中心，在网