高考数学一轮复习 10.1 计数原理与排列组合

第10章计数原理第一节计数原理与排列组合知识点1两个计数原理1.分类加法计数原理完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的办法,在第2类办法中有种不同的方法,,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3.两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.知识点2排列组合1.排列问题（1）定义:从个不同元素中取出（）个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.（2）排列数的公式:.特例:当时,;规定.（3）排列数的性质:①;②；③.（4）解排列应用题的基本思路:通过审题,找出问题中的元素是什么,是否与顺序有关,有无特殊限制条件（特殊位置,特殊元素）.2.组合问题（1）定义:从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合;从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.（2）组合数公式及其推导,求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑:第一步,先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数;第二步,求每一个组合中个元素的全排列数;根据分步计数原理,得到;因此.这里,且,这个公式叫做组合数公式.因为,所以组合数公式还可表示为:.特例.注释:组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法!在以后学习排列组合的混合问题时,一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题.（3）组合数的主要性质:①；②.题型1约数问题如果一个正整数分解质因数，其中均为质数，则的约数个数为（1+,所有约数之和为【例1】2520有多少个约数,偶约数有多少个?【例2】216所有约数之和为多少?题型2立体几何的计数问题【例3】正方体的8个顶点可连成多少对异面直线_____.【例4】（2022·苏州模拟）如图,已知点在四边形所在平面外,如果把两条异面直线看成一对,那么与四边形四个顶点连线以及此四边形的四条边所在直线共8条直线中,异面直线共有_____对。题型3捆绑法（相邻问题，用捆绑法，注意内部存在一定的顺序）【例5】4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（）A.48B.96C.120D.240【例6】（2022·新高考II）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【例7】要为5位同学和2位老师拍照留念,要求排成一排,且2位老师相邻,不同的排法有_____种.【例8】2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A.18种B.24种C.30种D.36种题型4插空法（不相邻问题用插空法,先排列不受限的事物,再插空不相邻的事物）【例9】（2020・章丘区模拟）若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻坐法有_____种。【例10】（2024春·汨罗市期末）某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有_____种。【例11】（2020春·洮北区期末）四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是_____.【例12】一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（）A.120种B.60种C.40种D.20种【例13】张老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性,抽血必须作为第一个项目完成,而张老师决定腹部彩超和胸部两项不连在一起检查,则不同的检查方案一共有_____种。【例14】要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不在排头,且任何两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法总数为_____.题型5特殊元素（位置）法（限制条件下，优先考虑并满足有限制的事物，然后再考虑不受限的事物）【例15】用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的五位数?五位倚数?五位偶数?【例16】甲、乙等6个人按下列要求站成一横排，甲不站在最左端，乙不站在最右端，有多少种不同的站法?【例17】（2023·乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种 C.120种 D.240种【例18】某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（）A.18 B.21 C.23 D.72【例19】（2023·甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120 B.60 C.40 D.30【例20】某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙、衡阳、郴州、株洲、益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站、第二站、第三站、第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（）A.96种B.84种 C.72种 D.60种【例21】要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法种数为（）A.24 B.72 C.144 D.288【例22】以编号为1,2,3,4,5的5个球中任取4个,放在编号为的4个盒子里,每盒一球,且2号球不能放在盒中的不同的方法数是（）A.24B.48C.54D.96题型6间接法（正难则反）【例23】从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种?【例24】从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有_____种。【例25】某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有_____种.【例26】（2018・新课标I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生人选，则不同的选法共有_____种。（用数字填写答案）题型7重排问题求幂策略（解决可重复问题）【例27】有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（）A.243B.125C.60D.120【例28】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，有_____种不同的冠军获得情况.【例29】把6名实习生分配到7个车间实习，共有_____种不同的分法.题型8组合问题【例30】（2023·新高考II）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有（）A.种B.种C.种D.种【例31】（2023·新高考I）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有_____种（用数字作答）。【例32】（2020・上海）从6个人挑选4个人去值班,每人值班一天,第一天安排1个人,第二天安排1个人,第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有_____种安排情况.【例33】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为（）A.484B.472C.252D.232【例34】某校计划选拔4名学生参加科技创新大赛.现从3名女生、5名男生中进行选择，要求队伍中至少包含男、女生各1名，则不同选法的总数为（）A.65B.60C.35D.30【例35】（2023·甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务,则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【例36】（2020・山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.120种B.90种C.60种D.30种题型9分组分配问题1.平均分组问题【例37】导师制是高中新的教学探索制度,班级科任教师作为导师既面向全体授课对象,又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责，已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（）A.90B.15C.60D.180【例38】为提升教育教学质量,促进各分校区发展,西南大学附属中学开展本部一分校区联合教研.现计划从本部派出7男2女共9名老师到、、三个分校区开展教研，每个校区三人，则有（）种安排方案.A.1050B.1680C.2940D.3360【例39】中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15:37分,我国将“梦天实验舱”成功送上太空,完成了最后一个关键部分的发射,“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舲中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（）A.72种B.90种C.360种D.540种2.不平均分组问题【例40】现有高校进入高中校园组织招生宣传，4名男生、3名女生去参加，两所高校的志愿填报咨询会,每个学生只能去其中的一所学校,且要求每所学校都既有男生又有女生参加,则不同的安排方法数是（）A.42B.60C.84D.120【例41】教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（）种A.25B.60C.90D.150【例42】将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（）种.A.114B.150C.72D.100【例43】10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法?【例44】2023年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）种.A.540B.480C.360D.240题型10排列组合混合问题先选后排策略【例45】（2020·新课标II）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有_____种.【例46】将6名实习教师分配到5所学校进行培训,每名实习教师只能分配到1个学校,每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A.600种B.900种C.1800种D.3600种【例47】为了落实立德树人的根本任务,践行五育并举,某校开设三门德育校本课程,现有甲、乙、丙、丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）A.72种B.60种C.54种D.36种【例48】（2021・乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有A.60种B.120种C.240种D.480种【例49】（2020・海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2种B.3种C.6种D.8种【例50】（2017·新课标II）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A.36种B.24种C.18种D.12种题型11定序问题倍缩法（排列中涉及到定序的问题，则用除法，除去多余全排列中涉及到顺序的问题）【例51】某4位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,如果保持原来4位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为（）A.10B.20C.24D.30【例52】花灯,又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_____.【例53】书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有_____种不同的插法（具体数字作答）【例54】城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变,则不同的排法种数为（）A.110B.144C.132D.156题型12隔板法（相同元素的分配问题,用插板法进行求解）【例55】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（）种不同分配方案？A.9B.36C.84D.120【例56】已知不定方程,求:（1）不定方程正整数解的组数；（2）不定方程自然数解的组数.【例57】某高校举行一场智能机器人大赛.该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额,则该理学院参赛名额的分配方法共有（）A.20种B.21种C.28种D.35种题型13合理分类与分步策略（多面手问题）【例58】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞，现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法.A.675B.575C.512D.545【例59】3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少种乘船方法?【例60】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A.225B.185C.145D.110题型14涂色问题（先分配好颜色,再进行涂色,最后加法合并到一起）求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有:（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；（3）对于涂色（立方体）问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题【例61】（2010·天津）如图，用四种不同颜色给图中的，，，，，六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A.288种B.264种C.240种D.168种【例62】（2003·全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种.（以数字作答）【例63】用6种不同的颜色给如图所示的地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法有A.240B.360C.480D.600【例64】一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为,）等份,种植红、黄、蓝三种颜色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.（1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有_____种不同的种植方法；（2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有_____种不同的种植方法.【例65】（2021·武汉四调）某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为个部分，每个部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花.将总的栽植方案数用表示，则_____，_____.【例66】重庆位于中国西南部、长江上游地区,地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带.东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西，现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有_____种涂色方式.题型15标号排位问题（不配对问题）【例67】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A.6种B.9种C.11种D.23种【例68】编号为1,2,3,4的四位同学，分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为_____.题型16环排问题线排策略【例69】如图,某手链由10颗较小的珠子（每颗珠子相同）和11颗较大的珠子（每颗珠子均不相同）串成,若10颗小珠子必须相邻，大珠子的位置任意，则该手链不同的串法有（）A.种B.种C.种 D.种【例70】有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？题型17构造模型策略【例71】某排共有10个座位，安排4人就坐.若每人左右两边都有空位，则不同的坐法有_____种（用数字回答）.【例72】马路上有编号为1,2,3...,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种?题型18走楼梯问题（分类法与插空法相结合）【例73】（2023春·余姚市校级月考）如图，某城市的街区由