高考数学一轮复习 10.2 二项式定理与杨辉三角

第二节二项式定理与杨辉三角1.二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理定义:一般地,对于任意正整数,都有:,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做的二项展开式.式中的做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:,其中的系数叫做二项式系数.（2）二项式的展开式的特点:①项数:共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数:第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数:各项的次数都等于二项式的幂指数.字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到,每一项中,次数和均为;④项的系数:二项式系数依次是，，，，，如的系数是与的系数（包括二项式系数）.（3）两个常用的二项展开式:①②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项:公式特点:①它表示二项展开式的第项,该项的二项式系数是;②字母的次数和组合数的上标相同;③与的次数之和为.注释:①二项式的二项展开式的第项和的二项展开式的第项是有区别的,应用二项式定理时,其中的和是不能随便交换位置的.②通项是针对在这个标准形式下而言的,如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）.2.二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1,即;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即.②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,令,则,从而得到.⑤最大值:如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数,则中间两项的二项式系数相等且最大.（2）系数的最大项求展开式中最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为,,设第项系数最大,应有,从而解出求.3.二项式展开式中系数和有关问题（1）含变量的恒等式:是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立，所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质.（2）二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式.（3）常用赋值举例:.设，二项式定理是一个恒等式，即对的一切值都成立,我们可以根据具体问题的需要灵活选取的值.①令，可得:②令，可得:，即:（假设为偶数）,再结合①可得:B.若,则①常数项:令,得.②各项系数和:令，得.③奇数项的系数和与偶数项的系数和a.当为偶数时,奇数项的系数和为;偶数项的系数和为.（可简记为:为偶数,奇数项的系数和用“中点公式”,奇偶交错搭配）b.当为奇数时,奇数项的系数和为;偶数项的系数和为.（可简记为:为奇数,偶数项的系数和用“中点公式”,奇偶交错搭配）若,同理可得.注:常见的赋值为或,然后通过加减运算即可得到相应的结果.题型1二项式定理的正用与逆用二项式定理:,二项式定理的双向功能（1）正用:将展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.（2）逆用:将展开式合并成的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.例1二项式的展开式为（）A. B.C.D.例2化简的结果为（）A.B.C.D.题型2二项展开式的特定项、项的系数的求解求二项展开式的特定项问题,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围.（1）第项:此时，求出，代入通项；（2）常数项:即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；（3）有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解问题等都可依据上述方法求解.例3（2023·天津）在的展开式中，项的系数为_____.例4（2021·北京）在（的展开式中，常数项是_____.（用数字作答）例5二项式的展开式中,有理项有（）项A.5B.6C.7D.8例6（2021・上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则_____.例7已知,则（）A.224B.-224C.-448D.448题型3两个二项式乘积的展开式求多项式积的特定项的方法一一“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为:-,再依据题目中对指数的特殊要求,确定与所满足的条件,进而求出的取值情况.例8（2019·新课标III）的展开式中的系数为（）A.12B.16C.20D.24例9（2020·新课标Ⅰ）的展开式中的系数为（）A.5B.10C.15D.20例10若的展开式中不含项，则实数的值为（）A.-2B.-1C.0D.1例11若_____.题型4含有三项的二项展开式问题展开式中特定项的求解方法例12在的展开式中，常数项为（）A.15B.16C.30D.31例13的展开式中的系数为（）A.6B.8C.27D.33题型5二项展开式的系数和问题求展开式的各项系数之和常用赋值法根据题目要求,灵活赋给字母不同的值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令可得常数项,令可得所有项的系数之和,令可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差,而当二项展开式中含负值项时,令则可得各项系数绝对值之和.例14（2025北京）已知,则_____；_____.例15（2022·浙江）已知多项式,则_____，_____.例16在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（）A.-64B.64C.-32D.32例17（多选）若，则下列选项正确的有A.B.C.D.题型6二项展开式中的最大项问题1.二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对中的进行讨论:（1）当为奇数时，中间两项的二项式系数最大；（2）当为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求的展开式中系数最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项的系数分别为,且第项最大,应用解得,即得出系数最大的项.例18（多选）关于的展开式，下列结论正确的是（）A.奇数项的二项式系数和为32B.所有项的系数和为243C.只有第3项的二项式系数最大D.含项的系数为40例19已知二项式的展开式中只有第5项的二项式的系数最大,且展开式中项的系数为448,则实数的值为_____.例20已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是.（1）求二项展开式中各项二项式系数和；（2）求二项展开式中系数最大的项.例21在二项式展开式中，第3项的系数和第4项的二项式系数比为3，40.（1）求的值及展开式中的无理项有几项；（2）求展开式中系数最大的项是第几项.题型7二项式定理的应用1.应用二项式定理不仅可以对多项式展开,还可应用于以下几个方面:（1）证明某些整除性问题或求余数.（2）证明有关的等式与不等式.（3）进行近似运算或比大小.2.各种问题的常用处理方法（1）整除性问题或求余数问题的处理方法①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.②用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了.（2）证明等式或不等式问题的处理方法①解决这类问题，常利用构造恒等式的方法，对恒等式中的数据进行分析、整理.②在证明过程中常利用如下三种常见变形:1.;ii.;iii..（3）近似计算的处理方法对于二项式,当的绝对值与0相差很小且较大时,常用近似公式,因为这时展开式后面部分很小,可以忽略不计.类似地,有.但使用这两个公式时应注意的条件,以及对计算精确度的要求.要求选取展开式中保留的项,使最后一项小数位恰好符合要求即可,少了不符合要求,多了无用,且增加麻烦.例22已知,则的大小关系为（）A. B. C. D.例23被3除的余数为（）A.2 B.1 C.0 D.不确定题型8二项式定理与杨辉三角杨辉三角的性质:（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1.（2）从第三行起,不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.例24（2026·模拟）在2026年春晚节目《武》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武术元素,也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位,第行的第个机器人的动作难度为，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（）A.B.C.D.例25（2026春·武汉期中·多选）将按照二项式定理展开后,其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2）,则下列说法正确的是（）A.在“杨辉三角”中,第行的所有数字之和为B.在“杨辉三角”中,记第行的第个数为,则C.在“谢尔宾斯基三角形”中,第行全行都为黑色圆D.在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆少一个例26（2026春·温州月考·多选）“