2026年全国高中数学联赛预赛试题-广东省

PAGE100页/2872026年全国高中数学联赛预赛试题-填空题(880分设Sa:a22026,Ta:关于x的一元二次方程x24xa0有整数根}.则ST的元素个 x2log2xlog3x2

,则xy 2412友之间恰好隔了3名小朋友，则共 种配对的方法在平面直角坐标系中,

A30B30,M

MAMB6,Mn1a0a1,ana02026a1对k1,2,,n1，有ak1 .2akak则正整数n的最大值 ABCDAB3BC2.ABCDACDABC.DABC的体积最大时,直线AC,BD所成角的余弦值 6 设整数1aaa100，则l1的最小可能值 注:[x]表示不超过实数x的最大整数

l1al四个互不相等的复数z1z2z3z4的实部和虚部都是非负整数,z1z2z3z4 则z1z2z3z4 A10B23C22.过Ax2y21 2PQ,

的取值范围 设H是锐角三角形ABC的垂心,三角形

ABHBCHCAH2,3,4,则三角形ABC3a26a 解答题(11,123a26a

设ABCD是一个凸四边形,DCABE.

BEAB,BDADACBC1AB,CD

513.(1)证明:0ba1abab内分母最小的分数是唯一的(分母必须是1的分数)；(2)m2abmm

ab

mm1

b

m证明:abm14.有100名乒乓球选手参加一次单打联赛，每两人最多打一场，每一场比赛都会分出胜负.都恰胜了一场.求比赛场数的最大可能值.2026年全国高中数学联赛预赛试题-广东省-填空题(880分1.设Sa:a22026,Ta:关于x的一元二次方程

x24xa0}.S

d非负454d2450d7,8d,8a42 ,故a形如4 ,这里d是整数, x24xa0x,a4x答案:8T的元素都是整数,S4544,45,T的条件2.已知log2xlog3ylog5x ,则xy 2,2,y 3，因此xy 6t单调递减及f112a1x 2 3由ft 5 52 3 解:设logxa,则x2,y3,xy5,故 ,因答案 62412答案:解:1,2,...,24,4(24意义下),4的余数分组答案:解:1,2,...,24,4(24意义下),4的余数分组,每一组(例如,1,5,9,13,17,21号小朋友)只能在他们内部配对,2种配对方式(15913,172112159,1317),2416种在平面直角坐标系中,

A30B30,M

MAMB6,M答案:答案:1y42x218y2x418x245y1t9x28,M22,1M22,1t218ty2t2, xyt,则yxx2y2218y2x245n1a0a1,ana02026a1对k1,2,,n1，有ak1 .2akak则正整数n的最大值 符合题目条件.nn1014,b10140,a10130,a1012a1011a00,2a1a00不能作分母,与条件矛盾.另一方面，令a1,aa,a a,, 1k ,则 是以-2026为首项,2为公差的等差数列.如k2.bk 解:(2)答案:ABCDAB3BC2.ABCDACDABC.DABC的体积最大时,直线AC,BD所成角的余弦值 故故EF 13, 13 13.设直线ACBD, 如下图建立空间直角坐标系,由勾股定理知AC13,BEDF 13,AFCE 解:DABC的体积最大时,DABC的距离最大,DABC上,ADCABC垂直97DBDB6 1a

l1

的最小可能值 注:[x]表示不超过实数x的最大整数

l1alaa1a3a8a15a29a57,a100时ll1 ll b59.另一方面,l6 6 l9,9l1 l l答案:9解:令b ,bl1,i2,34,56, abl bl13,b1b2,b61时取到,l322222296矛盾.因 b14

的实部和虚部都是非负整数,则z1z2z3

z1z2z3z4

答案:答案:1201.z1z2z3z4的模长的平方都是正整数2026210131013是素数,1z1z2z3z41,剩余两个模长分别为2和1013.11i,模长为21i,模长为10132223i2322i,无论哪种情况,均有z1z2z3z4 1201A10B23C22.过Ax2y21 2PQ,

的取值范围 22PR1,3,BPPR O00R20,OAAR1OA2APAQ,APRQ共圆,OPOQORPORQPxPRQ上,故RPRQRPRQRO213.BRCy轴的直线上,且按此顺序排列,PRBQRC,RPRQ3RBRCPRBCRQ,2213,HABC的垂心,接圆的面积

ABHBCHCAH2,3,4,则三角形ABCAHBCD,tanCBDADBDSABH1 AD 故R2 6,因此外接圆面积为R23569 1ABACsinAABCR,3 6,sinCtanAtanBtanCtanAtanBtanC得9k24k3,故k 6,因此tanA36,故sinA 27.同理可tanCSABH2,tanA3ktanB4ktanC2k.【题目】设H是锐角ABC的垂心,三角形ABH,BCH,CAH的面积分别为2,3,4，则ABC外接圆的 1:HABC的垂心 ––– AHBCAHHCHB ––– –– HAHBHAHCHBHC HAHBcosCHAHCcosBHBHCcosA cosA:cosB:

234,

sinC:sinA:sinBtanC:tanA:tanB2:3:4 HAHBsinC: HCsinA: HAHC tanA3ktanB4ktanC2kk0

––→ 则3k2k4k,k 618k

tanAtanBCtanBtanC1

,sinB

116k2

,sinC

14ksinAsinBsinC

3 6 39 又 12R2RsinAsinBsinC9,则186R2

,R235

SR23562:如图,由题知

B00Ca0AAm,n,Hm,n 3 1an9an18 12nm2mn6,ma BH33CA3nBHCA0,n–––––→–– 则 0,n ,a346又tanBAD3 , 63.2R34 34SR2703563563a26a 解答题(11,123a26a

an1an14an(10分bnan1,bn1bn14bn(15分n0a1112,b00,b11,bn23同理有a2 aa2解答:将 2a13a26a4移项,两边平方并整理 n1 aa22a3 (5分 n1 2a30an12an1,an1,an1ann1 ,x4a2xa2a30的两个根,an23 (20分设ABCD是一个凸四边形,DCABE.

BEAB,BDADACBC1AB,CD

5(20分2105k29k24 k2两边平方并去分母整理得85k4234k2171(15分k2k23k257(舍k23xx为根的一元二次方程的二次项系数与常数项符号相反 xx一正一负,符合题意因此tanAEDk 由此可得x1x2解答以ABO为原点,OEx轴正方向,1AB为单位长度建立平面直角坐标系,A20B20E60,BDADACBC2,由双曲线的第二定义可知,CDx 1上 (5分CDykx6,k2x623x21CDx1(10分k2105k2k再由CD 5AB5知xx4 13.(1)证明:0ba1abab内分母最小的分数是唯一的(分母必须是1的分数)；(2)m2abPAGE104页/287mm

ab

mm1

ba

m

证明:abm解答(1):ab内有分数，由最小数原理知存在分母最小的分数假设这样的分数不唯一,auvb m是正整数,uv是整数,

u,vm

都是最简分数

(10分由1bau1u m2um1,um11,,u1m1m个正整数则um1msu1m故u u1,这说明a,b内有以m1为分母的分数,与假设矛盾 m 因此假设不成立,原题结论得证 (20分(2) 1 2 m2m2m1 mm

mm

(30分且1 1 m11, mm mm1 mk

m21k1,2,,m2,m mm mm mk1km1km21k1,2,,m m mm mm m因此开区间a,b内必然包含1 ,2 ,,m2,m2,m1中的至少一个数mm

mm

m PAGE105页/287abm(40分14.有100名乒乓球选手参加一次单打联赛，每两人最多打一场，每一场比赛都会分出胜负.都恰胜了一场.求比赛场数的最大可能值.解:我们先证明,8名选手两两比赛过事实上,8名选手两两比赛过,那么他们之间的比赛中,必有一人胜利的场数不少于失败的场数,A1,4场.A142A2,A22A3A4,A1A2A3A4就不满足题目条件,矛盾因此不存在8名选手两两比赛过 (10分1001472152145,C22C25C2 时,由Turan定理,必然存在8名选手两两比赛过,矛盾.因此比赛场数不可能超过 (20分下面我们证明,7名选手两两比赛的一种结果,使得他们满足题述条件.7A1A2,A7AiAi1Ai2Ai4Ai3Ai5Ai6(7处理43名选手之间的比赛都不是每人恰胜一场，也就是有一人胜了另外两人.考虑其中胜场最多的选手X,如果X不是全胜,那么设XY,Y的总胜场数小于等于X