吉林省吉林市部分校2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题（含答案）

第页，共页吉林省吉林市桦甸市第四中学、磐石市第一中学校等2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．已知向量，.若，则的值为（

）A．1 B． C． D．3．已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．4．已知，在上的投影为，则（

）A． B． C． D．5．在中，内角所对的边分别为，且，则（

）A． B． C． D．6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（

）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于7．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（

）A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球8．若非零向量与满足，且，则为（

）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形二、多选题9．一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则（

）A．这组数据的平均数为6 B．这组数据的方差为16C．这组数据的极差为11 D．这组数据的第70百分位数为710．在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，11．如图，已知圆台的一个轴截面为为弧的中点，，圆台的体积为，则（

）A．B．异面直线与所成的角为C．过三点的平面与圆台下底面的交线长为D．二面角的正切值为三、填空题12．从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________.13．在中，，若此三角形恰有两解，则BC边长度的取值范围为___________．14．已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为___________．四、解答题15．已知向量．(1)求；(2)设向量的夹角为，求的值．16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME.(1)当时，证明：直线平面PAD；(2)当时，求三棱锥的体积.17．已知分别为三个内角的对边，且(1)求；(2)若，且△ABC的面积为，求.18．今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中x的值；(2)根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；(3)已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差．附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差．19．如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；(2)求与平面所成的角的大小.

参考答案题号12345678910答案ADBCBDDDADABD题号11答案AB1．A解析：，所以复数的共轭复数为．2．D解析：由，得，解得.故选：D.3．B解析：设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得，所以该圆锥的高，所以该圆锥的体积．故选：B．4．C解析：因为，在上的投影为，可得，所以.故选：C.5．B解析：由，根据正弦定理得，设，可得，故选：B.6．D解析：试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．7．D解析：恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确.故选：D.8．D解析：因为分别为与同向的单位向量，因为，可知的角平分线与BC垂直，则，又因为，即，且，则，所以是等边三角形.故选：D.9．AD解析：对A，这组数据的平均数为：，故A选项正确；对B，这组数据的方差为：，故B选项错误；对C，这组数据的极差为：，故C选项错误；对D，由，则第70百分位数是第5个数7，故D选项正确.故选：AD.10．ABD解析：对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，可得，，因，则，因，结合正弦函数的图象可知角B有两解，一个是锐角，另一个是钝角，故C错误；对于D，由余弦定理得，，故仅有一解，即D正确．11．AB解析：对于A选项，由，设圆台的高为，有圆台的体积为，可得，易求得，故A选项正确；对于B选项，如图，连接点和圆台底面的圆心并延长，与圆交于另一点，连接，，由，可得或其补角即是异面直线和所成的角．又由，有，可得，故B选项正确；对于C选项，的延长线与的延长线相交于点F，与圆台的底面圆周的交点为，由，有，可得，可得，故C选项错误；对于D选项，过作，连接NH，由平面，可得，又由，可得平面，可得，又由，可得为二面角的平面角，有，有，可得，故D选项错误．故选：AB.12．解析：从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个，所取2个数之和为9的基本事件有，共2个，故所求概率.故答案为：.13．解析：若恰有两解，则，解得，即边长度的取值范围为．故答案为：14．解析：设球的半径为，则，所以，因为，所以的外接圆的半径为，所以点到平面的距离为，设，则，所以，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的体积的最大值为．故答案为：15．(1)(2)解析：（1）由可得，，即，

所以，所以；（2）因为，

所以．16．(1)证明见解析(2)2解析：（1）取PD中点N，连接MN、AN，是的中位线，MN//CD，且，又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形，ME//AN又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.（2），P到平面ABCD的距离为3，点M到平面ABCD的距离为1，.17．(1)(2)解析：（1）由，结合正弦定理可得，展开右侧三角式得，消去同类项后化简为，整理得，由，得，解得.（2）由三角形面积公式，代入，得，由余弦定理，代入、，得，联立，解得.18．(1)0.015(2)76.25，75(3)17解析：（1）根据频率分布直方图，有，

解得；（2）学生成绩落在的频率为，学生成绩落在的频率为，学生成绩落在的频率为，学生成绩落在的频率为，学生成绩落在的频率为，

由，可得中位数为，学生成绩的平均数为；（3）这两组数据的平均数为，

这两组数据的总方差为