云南省2023届高三第二次高中毕业生复习统一检测数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页云南省2023届高三第二次高中毕业生复习统一检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件价格37元32元30元27元25元张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件4．若直线与圆交于A、B两点，则（

）A． B．12 C． D．5．在的二项展开式中，的系数是（

）A． B． C． D．6．如图，E是正方体的棱上的点．若，则直线与直线的夹角的正切值等于（

）A． B． C． D．7．设是关于x的方程的根．若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种二、多选题（本大题共4小题）9．下列命题，错误的是（

）A．若随机变量X服从正态分布，且，则B．100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X服从二项分布C．将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化D．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越小，则模型的拟合效果越好10．若，则（

）A．是偶函数 B．在区间上单调递增C．的最小正周期为 D．在区间上的最小值为111．已知抛物线C：的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段的中点为M．若点T的坐标为，则（

）A．点M的横坐标为2 B．点M的纵坐标为3C．直线l的斜率等于2 D．12．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，球的表面积为，三棱锥的体积为，记点到平面的距离为，则（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面向量，．若，则__________．14．某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图：该校体重（单位：）在区间上的男生大约有_________人．15．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，分别为双曲线C的左、右焦点，分别为双曲线C的左、右顶点，直线l过点且与以为直径的圆相切于点M．若直线l与双曲线C的右支交于点A，且，则双曲线C的离心率等于_________．16．已知是自然对数的底数，函数只有一个零点，则实数a的取值范围为_________．四、解答题（本大题共6小题）17．某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的200名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：男性女性合计喜欢153045不喜欢8570155合计100100200根据上述信息，解决下列问题：(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；(2)现从被调查的200名观众中，随机依次抽取2人作为幸运观众（注：第一次先从200名观众中随机抽取1名，第二次再从剩下的199名观众中随机抽取1名）．求在第一次抽到的是喜欢该影片的观众的条件下，第二次抽到的是不喜欢该影片的观众的概率．附：，其中．0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.82818．中，内角、、的对边分别为、、，．(1)若，．求证：；(2)若为边的中点，且的面积为，求长的最小值．19．已知数列的每一项都是正数，，．记数列的前项和为，，数列的前项和为，数列的前项和为．(1)求、；(2)直接写出与的大小关系（不要求证明）．20．如图，四棱锥中，四边形是平行四边形，点E为线段的中点．(1)求证：∥平面；(2)若四边形为菱形，且平面，求平面与平面所成二面角的正弦值．21．已知椭圆E的中心是坐标原点O，焦点在y轴上，离心率等于，F是椭圆E的上焦点，点P在第一象限，点P和点都在椭圆E上，且的面积等于，A、B是椭圆E上异于P的不同的动点，且．(1)求椭圆E的方程；(2)求证：直线的斜率是定值．22．已知，是自然对数的底数，函数．(1)若，求函数的极值；(2)是否存在实数m，，都有？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】A【分析】根据集合补集的概念和运算求解即可.【详解】,根据集合补集的概念和运算得：，，故选：A2．【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的几何意义可得出结论.【详解】因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.3．【答案】C【分析】根据题意，设购买的件数为，花费为元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当时，求出的最大值即可.【详解】设购买的件数为，花费为元，则，当时，，当时，，所以最多可购买这种产品件，故选：C.4．【答案】C【分析】由圆的方程可得圆心为，半径，可求得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可得.【详解】由圆的方程为可知圆心为，半径；则圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式可得.故选：C5．【答案】B【分析】写出二项展开式的通项公式令，即得解；【详解】由题意，二项展开式的通项为：令因此二项展开式中的系数是：；故选：B.6．【答案】D【分析】由正方体可得，所求的角即为直线与直线所成的夹角，在中可得，即可得出答案.【详解】根据题意可知，连接，如下图所示：则直线与直线的夹角即为直线与直线所成的夹角，上图中即为直线与直线的夹角，不妨设正方体的棱长为，由可得利用勾股定理可得，又易知平面，平面，所以，即在中，.故选：D7．【答案】A【分析】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围.【详解】由题意知，函数开口方向向上，若，则函数须同时满足三个条件：当时，，代入解得，恒成立；当时，，代入解得；当时，，代入解得，综上，实数a的取值范围是.故选：A.8．【答案】A【分析】将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：A.9．【答案】BCD【分析】利用正态分布的性质即可判断选项A；根据二项分布的特点判断选项B；根据随机变量的性质判断选项C；根据一元线性回归模型分析即可判断选项D.【详解】对于A，因为随机变量X服从正态分布，因为，则，又因为，所以，故选项A正确；对于B，根据二项分布的性质可知，100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X不满足二项分布，故选项B错误；对于C，将随机变量进行平移，均值也随之平移，方差不发生改变，故选项C错误；对于D，在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越大，则模型的拟合效果越好，故选项D错误，故选：BCD.10．【答案】AD【分析】选项A：根据定义判断；选项B：，化简求解；选项C：根据判断；选项D：分区间讨论；根据三角函数性质求解得最小值.【详解】选项A：因为,，所以是偶函数，A正确；选项B：，又，所以在区间上单调递减，故B错误；选项C：根据，故C错误；选项D：分区间讨论，又，根据三角函数图像性质，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故同理根据三角函数图像性质得：当时，；故选项D正确；故选：AD.11．【答案】ACD【分析】根据切线交点的性质以及题目中交点坐标，求得设抛物线切点表示出切线方程，代入坐标即可求得切点弦方程，逐个判断选项即可求解.【详解】抛物线C：，直线AB：设显然当时，根据对称性易得点位于轴上，不合题意，故，且均大于0，，，，整理：，得：，①同理，②①②：，又因为直线由此知：故；因为，所以设交点，过点的切线斜率为，所以切线方程为，整理得，即，同理，过点的切线的方程为，又点T在直线上，代入得AB直线方程：故选项C正确；由消去整理得，因为直线与抛物线相交，设，则，故点M的横坐标故A正确，因为点M的横坐标所以，故选项B错误，D正确；故选：ACD12．【答案】BC【分析】求出球的半径，可判断B选项；计算出三边边长，结合勾股定理可判断D选项；利用等体积法可判断C选项；分析出点的轨迹，可知的长度不确定，可判断A选项.【详解】设球的半径为，则，可得.因为，，则，，设点到平面的距离为，则，所以，.对于B选项，，B对；对于D选项，在中，，，所以，，所以，，D错；对于C选项，取的中点，连接，由球体的几何性质可知平面，因为平面，则，所以，，，取的中点，连接、、，则，所以，，，，解得，C对；对于A选项，球上一点到平面的距离的最大值为，因为，所以，点的轨迹是与平面平行的平面与球的交线（圆），故的长度不确定，A错.故选：BC.13．【答案】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】因为平面向量，，且，则，解得.故答案为：.14．【答案】【分析】将体重（单位：）在区间上的男生所占的频率乘以可得结果.【详解】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：）在区间上的男生的人数为.故答案为：.15．【答案】【分析】利用已知条件，结合直角三角形以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解双曲线的离心率即可.【详解】作图，如图所示，可得：因为，所以，结合双曲线的定义，化简得：设则，故答案为：.16．【答案】【分析】由题可知函数只有一个零点等价于方程只有一个实数根，即函数图象与图象仅有一个交点，利用导数求出函数的单调性画出其图象利用数形结合即可得出实数a的取值范围为.【详解】根据题意可得令，可得；令，则，易知，令，则，即函数在上单调递增，且，因此存在，使得，且；因此当时，即，当时，，即；所以函数在上单调递减，在上单调递增；即存在极小值，也是最小值；由可得，可得，所以；当趋近于0时，函数趋近于，当趋近于时，函数趋近于0，画出函数图象如下图所示：若函数只有一个零点，等价于函数图象与图象仅有一个交点，由图可得当或时，满足题意；所以，实数a的取值范围为.故答案为：17．【答案】(1)认为观众喜欢该影片与观众的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05(2)．【分析】（1）计算的值，由此做出判断；（2）条件概率，记事件A：第一次抽到的是喜欢该影片的观众，事件B：第二次抽到的是不喜欢该影片的观众．根据计算即可.【详解】（1）零假设为：观众喜欢该影片与观众的性别无关联．由已知得．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为观众喜欢该影片与观众的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．（2）记事件A：第一次抽到的是喜欢该影片的观众，事件B：第二次抽到的是不喜欢该影片的观众．根据已知得．∴．答：在第一次抽到的是喜欢该影片的观众的条件下，第二次抽到的是不喜欢该影片的观众的概率为．18．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可证得结论成立；（2）由三角形的面积公式可求得的值，分析可知，利用平面向量的数量积运算可得出，利用基本不等式可求得长的最小值.【详解】（1）证明：，，，由余弦定理可得，．.（2）解：由可得．为边的中点，则，，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故长的最小值为.19．【答案】(1)，(2)当时，，当时，．【分析】（1）将等式变形可得出，可得出，可知数列为等差数列，确定其首项和公差，可求得，求出数列的通项公式，可求得；（2）令，考查数列的单调性，可得出与的大小关系.【详解】（1）解：，则，数列的每一项都是正数，则．所以，．等式两边同除以可得，数列是首项为，公差为的等差数列，故，数列的前项和为，则的前项和．且，则，．故，且，数列是首项为，公比为的等比数列．数列的前项和．（2）解：，令，则，所以，数列单调递增，因为，，所以，当时，，即；当时，，即.20．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，连接．利用中位线定理得到，然后利用线面平行的判定即可证明；（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）设，连接．∵四边形是平行四边形，∴O是的中点．∵点E为线段的中点，∴是的中位线．∴．又∵平面平面，∴平面．（2）设的中点为M，连接．∴是的中位线．∴．∵平面，∴平面．∵平面平面，∴．又∵四边形为菱形，∴．∴两两互相垂直．分别以射线为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设为平面的一个法向量，由得取，得．∴是平面的一个法向量．设是平面的一个法向量，由得取，得．∴是平面的一个法向量．设平面与平面所成二面角的大小为，则，且．∴．∴平面与平面所成二面角的正弦值为．21．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率、椭圆上的点以及的关系得到方程组，解出即可；（2）首先根据面积和椭圆方程求出P的坐标，从而得