2026-2027学年高二数学苏教版 第4章数列（单元测试·拔尖卷）

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第4章数列（举一反三单元测试·拔尖卷）【苏教版】考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2026高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列an的通项公式是an=n+64nA．18 B．20 C．32 D．662．（5分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）设等差数列an, bn的前n项和分别为Sn,A．74 B．118 C．193．（5分）（2026高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12n−1<f(n)A．2k−1项 B．2C．k−1项 D．k项4．（5分）（2026高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（

）A．22 B．26 C．35 D．515．（5分）（2026高二上·湖北黄冈·阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的17是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（

A．122 B．121 C．120 D．1106．（5分）（2026高二上·江苏·阶段练习）数列an满足a1+2a2A．161165 B．106165 C．49667．（5分）（2026高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列an满足a1=2,an+1=2an+2，设bA．−∞,3 B．4,+∞ C．3,+8．（5分）（2026高二上·黑龙江·期末）在等比数列an中，a1=2，4a4，2a5，a6成等差数列.若bnA．0,1 B．1,+∞ C．12,1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列an的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1,aA．0<q<1 B．a7<1 C．a8<1 10．（6分）（2026高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S26A．数列anB．当n=25时，SnC．使得Sn<0D．Sna11．（6分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列an中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为bnA．bB．bC．n≥2，n∈N∗，若数列an+λ⋅D．a第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2026高二上·全国·单元测试）设等差数列an的前n项和为Sn，若S14S7=713．（5分）（2026高二上·上海·阶段练习）数列bn满足bn=an−1,n>23−an+2,n≤2，n为正整数.若数列14．（5分）（2026高二上·全国·期末）已知数列an满足a1=2，a2=6，且an+2−2an+1+an=2，若x表示不超过x四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2026高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式：(1)−1,8(2)2,4(3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…．16．（15分）（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：(1)1+3+5+⋯+2n−1(2)1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+117．（15分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列an为等差数列，公差d≠0，ann∈N∗(1)求kn(2)设数列bn满足：bn=nkn+118．（17分）（2026高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列an满足a1=1，a2=3，且对任意正整数n≥3(1)证明：数列bn(2)设cn=2n−1bn，数列c①求Sn②若不等式λ−n2n−2<S19．（17分）（2026高二上·云南昆明·期末）对于∀n∈N∗，若数列xn满足x(1)已知数列1，m2−1，2m是“K数列”，求实数(2)是否存在首项为−2的等差数列an为“K数列”，且其前n项和Sn使得Sn(3)已知各项均为正整数的等比数列an是“K数列”，数列12an不是“K数列”，若bn第4章数列（举一反三单元测试·拔尖卷）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2026高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列an的通项公式是an=n+64nA．18 B．20 C．32 D．66【答案】B【解题思路】由题可知当n是64的因数时，an【解答过程】因为an所以当n是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，an当n=1或n=64时，a1当n=2或n=32时，a2当n=4或n=16时，a4当n=8时，a8故选：B．2．（5分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）设等差数列an, bn的前n项和分别为Sn,A．74 B．118 C．19【答案】A【解题思路】先对目标式合理变形得到a9【解答过程】由题意得a9因为SnTn故选：A.3．（5分）（2026高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12n−1<f(n)A．2k−1项 B．2C．k−1项 D．k项【答案】B【解题思路】根据给定条件，探讨n从k变到k+1不等式左边增加的部分即可得解.【解答过程】当n=k(k≥2,k∈N∗)当n=k+1时，不等式左边为1+1增加的项为12k+故选：B.4．（5分）（2026高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1,3,6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（

）A．22 B．26 C．35 D．51【答案】C【解题思路】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为4,7,10,13求解.【解答过程】解：如图，1,5,12,22称为五边形数，从第二项起，后项与前项的差依次为4,7,10,13，所以五边形数的第5项为22+13=35，故选：C.5．（5分）（2026高二上·湖北黄冈·阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：“把100个面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的17是较小的两份之和，求最小的一份的数量.”此题中，若要使得每个人获得的面包数都是整数个，则题中的面包总数“100”可以修改为（

A．122 B．121 C．120 D．110【答案】C【解题思路】根据等差数列的求和公式及通项公式列方程求首项及公差可得解.【解答过程】假设等差数列的公差为d，首项a1为最小的一份，100修改为：则5a1+5×42因为要使得每个人获得的面包数都是整数个，所以x是120的正整数倍，结合选项可知x=120.故选：C.6．（5分）（2026高二上·江苏·阶段练习）数列an满足a1+2a2A．161165 B．106165 C．4966【答案】A【解题思路】先根据已知条件求出数列an的通项公式，再得到数列a【解答过程】数列an满足a当n=1时，a1当n≥2时，a1①−②得nan=2又因为a1故an=当n≥2时，ann+2=设数列ann+2的前9项和为则S=1故选：A.7．（5分）（2026高二上·福建龙岩·阶段练习）已知数列an满足a1=2,an+1=2an+2，设bA．−∞,3 B．4,+∞ C．3,+【答案】D【解题思路】由递推公式结合等比数列定义可得数列an+2的通项公式，则可计算出【解答过程】an+1=2a所以an+2是以所以an所以bn若数列bn是递增数列，则b所以b=2n+1+1−λ=2n+2−λ>0恒成立，所以λ<2n+2恒成立，所以λ<2n+2所以实数λ的取值范围是−∞故选：D.8．（5分）（2026高二上·黑龙江·期末）在等比数列an中，a1=2，4a4，2a5，a6成等差数列.若bnA．0,1 B．1,+∞ C．12,1【答案】B【解题思路】设等比数列an的公比为q，根据4a4，2a5，a6成等差数列列方程，即可解得公比q，即可得通项公式an【解答过程】设等比数列an的公比为qq≠0，依题意，4a又a1=2，则4q4=4所以q−22=0，解得q=2，所以因此，bn当n为偶数时，由λbn+1>bn所以λ>2n+2因为y=12+故λ>1当n为奇数时，由λbn+1>bn所以λ>2n−2因为y=12−32n+1+2综上所述，λ>1.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列an的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1,aA．0<q<1 B．a7<1 C．a8<1 【答案】ACD【解题思路】对于A，分q<0，q≥1讨论可得0<q<1；对于B、C，借助0<q<1，得an为递减数列，即a7>a8>0，结合a7−1a8−1<0，得a7【解答过程】对于A，由等比数列性质可得a6若q<0，因为a1>1，所以a7=a若q≥1，因为a1>1，所以a7所以0<q<1，故A正确；对于B、C，因为a1>1,0<q<1，an又a7−1a8−1对于D，由B，C可得当n≤7时，an>1，当n≥8时，所以Tn的最大值为T故选：ACD.10．（6分）（2026高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S26A．数列anB．当n=25时，SnC．使得Sn<0D．Sna【答案】AB【解题思路】根据等差数列前n项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件S26<S24<S25，分析数列的单调性、前n【解答过程】对于AB：因为S26<S因为S24<S25，所以且d=a26−且a1则当n=25时，Sn最大，故AB对于C:由上述分析可知，当n≥25时，Sn且S49所以使得Sn<0成立的最小自然数n=50，故对于D：因为当n≤25时，an>0,S当n≥50时，an<0，Sn当26≤n≤49时，an<0,S且0>a则有0<a所以S26a26所以Snan故选：AB.11．（6分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）有一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列an中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为bnA．bB．bC．n≥2，n∈N∗，若数列an+λ⋅D．a【答案】BD【解题思路】根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列{bn}中的项，发现数列{bn【解答过程】由题意，斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋯，各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为bn可得数列{bn}所以数列{b因为2019=336×6+3，所以b2019因为b1+b所以b=336×8+bn≥2，n∈N∗，若数列an则an+1+λ⋅a则λ+1a则λ+1=q，且λq=1，则λ=q−1，且λq=1，故C错误；因为a3=a2+a1将上面各式相加得，a3即a3则an+2即a1故选：BD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2026高二上·全国·单元测试）设等差数列an的前n项和为Sn，若S14S7=7【答案】18【解题思路】设公差为d，应用等差数列前n项和公式求解.【解答过程】设等差数列an的公差为d由S14S7=7，得S14则S21S14故答案为：18713．（5分）（2026高二上·上海·阶段练习）数列bn满足bn=an−1,n>23−an+2,n≤2，n为正整数.若数列【答案】2,3【解题思路】由题意列不等式即可求解.【解答过程】由题意若数列bn是严格增数列，则当且仅当a>13−a>0a所以实数a的取值范围为2,3.故答案为：2,3.14．（5分）（2026高二上·全国·期末）已知数列an满足a1=2，a2=6，且an+2−2an+1+an=2，若x表示不超过x【答案】2027【解题思路】先根据等差数列定义得出等差数列通项，再结合累加法计算得出所以an【解答过程】因为an+2−2a因为a1=2，a2=6，所以a2由累加法可知当n≥2时，an−a所以an=n+2n−1+所以n+12当n=1时，b1当n≥2时，1<1+1n≤所以bn的前2026项和为b故答案为：2027.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2026高二上·全国·课后作业）写出下列各数列的一个通项公式：(1)−1,8(2)2,4(3)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…．【答案】(1)a(2)a(3)a【解题思路】（1）（2）根据分子分母各自的规律即可求解，（3）根据奇偶性，结合−1n【解答过程】（1）数列的奇数项为负，偶数项为正．把−1看成−33，则各项的绝对值的分母依次为3,5,7,9,⋯可写成分子依次为3,8,15,24,⋯可化为1×3,2×4，3×5,4×6,⋯可写成nn+2所以数列的一个通项公式为an（2）数列可写成212×1−1,22（3）将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1，7+0,8+1,9+0,⋯，所以数列的一个通项公式为an16．（15分）（2026高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：(1)1+3+5+⋯+2n−1(2)1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）记Sn=1+3+5+⋯+2n−1=n2，验证当（2）记Tn=1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1=nn+12n∈【解答过程】（1）证明：记Sn当n=1时，则有S1假设当n=kk∈N+则Sk+1这说明当n=k+1k∈故对任意的n∈N+，（2）证明：设Tn当n=1时，T1假设当n=kk∈即Tk所以，T=k+1这说明当n=k+1k∈所以，对任意的n∈N+，17．（15分）（2026高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列an为等差数列，公差d≠0，ann∈N∗(1)求kn(2)设数列bn满足：bn=nkn+1【答案】(1)k(2)S【解题思路】（1）设等差数列an的首项为a1，进而根据a52=a1a17（2）结合（1）得bn【解答过程】（1）解：根据题意，设等差数列an的首项为a因为ann∈N∗的部分项所以a1,a所以a1+4d2所以，an所以ak所以ann∈N∗的部分项ak所以，其通项公式为ak又因为akn=因为d≠0，所以k（2）解：因为由（1）得kn所以b所以Sn3S两式相减得：−2S所以，Sn18．（17分）（2026高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列an满足a1=1，a2=3，且对任意正整数n≥3(1)证明：数列bn(2)设cn=2n−1bn，数列c①求Sn②若不等式λ−n2n−2<S【答案】(1)证明见解析(2)①Sn=6−【解题思路】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证．（2）运用错位相减求和法求Sn，根据数列单调性处理不等式恒成立，进而求出实数λ【解答过程】（1）证明：因为an所