小学六年级数学上册第一次月考思维拓展专题教案

小学六年级数学上册第一次月考思维拓展专题教案

一、教学基本信息

（一）课题：小学六年级数学上册第一次月考思维拓展专题教案

（二）课型：思维拓展专题复习课/习题讲评与提升课

（三）课时：2课时（90分钟）

（四）授课对象：小学六年级学生

二、教学目标设计

（一）知识与技能目标：学生能够系统梳理并巩固第一单元《分数乘法》和第二单元《位置与方向（二）》的核心知识点，特别是分数乘法的意义、计算法则、混合运算及简便运算，以及根据方向和距离描述或绘制简单的路线图。学生能够灵活运用这些知识解决生活中的实际问题，并能够挑战具有高阶思维含量的综合题型。

（二）过程与方法目标：通过“典例精析—变式训练—归纳建模”的教学流程，引导学生经历观察、分析、比较、归纳、概括的思维过程。在解决拓展性问题的过程中，培养学生的数感、运算能力、空间观念、几何直观和模型意识，特别是运用数形结合思想、转化思想和方程思想解决问题的能力。

（三）情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣和挑战欲，培养其严谨的逻辑推理习惯和勇于探索的科学精神。通过小组合作与交流，增强学生的合作意识和表达能力，让学生在克服困难、解决问题的过程中获得成功体验，建立学好数学的自信心。

三、教学重难点

（一）教学重点：【基础】【高频考点】分数乘法的意义、计算法则、混合运算顺序及简便运算；【基础】根据方向和距离确定物体位置的方法。

（二）教学难点：【难点】【非常重要】理解分数乘法应用题中的单位“1”及数量关系，特别是当单位“1”未知时，如何逆向思考或列方程解决问题；【难点】在复杂情境中，综合运用分数乘法和位置与方向的知识解决问题，培养模型意识和应用意识。

四、教学实施过程

（一）第一课时：分数乘法的深度探索与拓展应用（45分钟）

1.情境导入，激活思维（5分钟）

教师创设生活情境：“同学们，双十一快到了，某书店为了促销，推出了一系列优惠活动。我们班要采购一批图书，需要运用数学知识来帮我们精打细算。今天，我们就一起走进‘分数乘法’的智慧王国，看看除了基本的计算，它还能解决哪些更有挑战性的问题。”通过贴近生活的情境，迅速拉近数学与学生的距离，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

2.典例精析，突破难点（25分钟）

【重要】环节一：聚焦“连续求一个数的几分之几是多少”的复杂问题。

出示例1：【高频考点】“六年级同学为准备国庆晚会做花。一班做了120朵，二班做的是一班的8/9，三班做的比二班的3/4多10朵。三班做了多少朵花？”

教师引导学生分步审题：

第一步，找关键句，确定单位“1”。引导学生找出“二班做的是一班的8/9”，明确这里是把“一班做的朵数”看作单位“1”。随后，再找出“三班做的比二班的3/4多10朵”，明确这里是把“二班做的朵数”看作单位“1”。

第二步，画线段图分析数量关系。【非常重要】教师示范并指导学生用线段图来表示数量关系。第一条线段表示一班（120朵），将其平均分成9份，取其中的8份表示二班。第二条线段在前一条基础上，将表示二班的线段平均分成4份，取其中的3份，再多画一小段表示“10朵”，整个线段表示三班。

第三步，列式计算。学生独立列式，教师巡视指导。抽取不同做法的学生板演并讲解思路。

解法一（分步）：先求二班：120×8/9=？朵。再求三班：120×8/9×3/4+10=？朵。

解法二（综合）：120×8/9×3/4+10

第四步，讨论与优化。引导学生讨论：为什么可以这样列式？每一步分别表示什么？重点强调：连续求一个数的几分之几，就是连续用乘法。计算过程中，能约分的要先约分，使计算简便。

【非常重要】环节二：聚焦“已知一个数比另一个数多（或少）几分之几，求这个数”的逆向思维问题。

出示例2：【难点】【高频考点】“修一条公路，第一个月修了全长的2/5，第二个月修了剩下的1/3，这时还剩下120米没有修。这条公路全长多少米？”

教师引导学生分析：

第一步，理解题意，抓不变量。此题中，公路的全长是总量，也是核心的单位“1”。

第二步，逆向推导，或画线段图正向分析。【非常重要】教师引导学生画出整体的线段图，将全长看作单位“1”。第一个月修了全长的2/5，那么剩下全长的（1-2/5）=3/5。第二个月修了剩下的1/3，这里的“剩下的”是第一个月修完后剩余的部分，是“全长的3/5”这个新的单位“1”。所以第二个月修了全长的（3/5×1/3=1/5）。那么，两个月一共修了全长的（2/5+1/5=3/5）。最后剩下的120米对应的分率就是全长的（1-3/5=2/5）。

第三步，列式解答。学生根据“量率对应”关系，列出算式：120÷(1-2/5-(1-2/5)×1/3)=120÷(1-2/5-3/5×1/3)=120÷(1-2/5-1/5)=120÷2/5=120×5/2=300（米）。

第四步，方法提炼。教师总结：【非常重要】解决较复杂的分数应用题，关键是要找准单位“1”，并理清每一步中分率所对应的“量”。当单位“1”未知时，我们通常有两种思路：一是通过“量率对应”用除法计算；二是列方程，设单位“1”为x，根据等量关系建立方程。此题也可以用方程思想来验证和加深理解。

3.变式训练，内化提升（12分钟）

【热点】环节三：混合运算与简便运算的技巧提升。

出示变式题组，学生独立完成，小组内互评，教师针对典型错误集中讲评。

变式1（简便运算）：2019×2017/2018

引导学生观察：2019与分母2018非常接近，可以将2019拆分成（2018+1），然后利用乘法分配律进行简便计算。即：(2018+1)×2017/2018=2018×2017/2018+1×2017/2018=2017+2017/2018=2017又2017/2018。

变式2（混合运算）：(5/6+7/12-3/8)×24

引导学生观察：括号内是异分母分数相加减，如果先通分再乘24，计算量较大。但24是括号内各分母（6、12、8）的公倍数，可以直接利用乘法分配律进行简算。即：5/6×24+7/12×24-3/8×24=20+14-9=25。

变式3（实际问题中的估算）：【重要】“一根绳子长10米，第一次用去全长的2/5，第二次用去2/5米，还剩下多少米？”

此题是高频易错题，学生常混淆“分率”和“具体量”。教师引导辨析：第一个“2/5”是分率，表示全长的2/5；第二个“2/5米”是具体的长度。所以，剩下的长度=全长-第一次用去的具体长度-第二次用去的具体长度=10-10×2/5-2/5=10-4-0.4=5.6米。通过此题强化学生对“分率”和“具体量”的区分意识。

4.课堂小结与作业布置（3分钟）

教师引导学生回顾本节课的重点：解决复杂分数乘法应用题的关键步骤——找单位“1”、画线段图、理清数量关系、列式计算。强调在计算中灵活运用运算定律可以使计算更简便。布置课后探究作业：【基础】完成练习册中相关拓展题，并尝试用两种方法（算术法和方程法）解决一道单位“1”未知的应用题。

（二）第二课时：位置与方向的综合应用及跨学科融合（45分钟）

1.复习引入，唤醒经验（5分钟）

教师通过提问：“同学们，在第二单元我们学习了如何描述和绘制物体的位置，谁能告诉我，确定一个物体的位置需要哪几个要素？”引导学生回顾：观测点、方向（角度）、距离，缺一不可。接着出示一个简单的校园平面图，请两位同学分别描述从校门到教学楼、从教学楼到图书馆的路线，复习“三段式”描述法（从A出发，向什么方向，走多远，到达B）。

2.思维拓展，综合应用（30分钟）

【非常重要】环节一：路线图与分数乘法的综合问题。

出示例3：【难点】【高频考点】“小明从家出发，先向东偏北30°方向走了800米到达学校。然后，他从学校出发，又向南偏东45°方向走了全程的3/4到达图书馆。已知小明从家到图书馆的直线距离是多少千米？”

教师引导学生合作探究：

第一步，理解题意，明确路径。此问题包含两个运动阶段，且第二阶段的距离是以第一阶段的路程为单位“1”给出的。

第二步，计算分段路程。第一阶段：800米。第二阶段：800×3/4=600米。

第三步，构建几何模型。【非常重要】这是本题的思维核心。教师引导学生在头脑中或草稿纸上构建路径图。第一段路线：从家（点A）向特定方向画一条3厘米（代表800米）的线段到学校（点B）。第二段路线：从学校（点B）向另一个特定方向画一条2.25厘米（代表600米）的线段到图书馆（点C）。然后连接A和C，要求的是线段AC的长度。

第四步，引入“三角形”知识。这个图形构成了一个三角形ABC。已知AB=800米，BC=600米，那么AC的长度是否可以直接相加？显然不是，因为AB和BC不在一条直线上。那么如何求AC？这需要知道AB和BC之间的夹角。教师引导学生用量角器测量或根据方向推算夹角：第一段的方向是“东偏北30°”，即从正东方向向北偏转30°。第二段的方向是“南偏东45°”，即从正南方向向东偏转45°。这两个方向线之间的夹角是多少？教师带领学生一起推算：过B点的正东方向线和正南方向线是垂直的（夹角90°）。第一段偏离正东30°（向北），所以第一段与正南方向的夹角是90°+30°=120°。第二段偏离正南45°（向东），所以第二段与正南方向的夹角就是45°。因此，第一段路线AB与第二段路线BC之间的夹角（∠ABC）等于从AB方向转到BC方向所经过的角度，这个角度等于120°+45°？不对，需要画图仔细分析。最严谨的方法是，以B点为原点建立方向标（上北下南左西右东）。AB的方向是北偏东60°（因为东偏北30°等同于北偏东60°）。BC的方向是南偏东45°。那么，从AB（北偏东60°）到BC（南偏东45°）之间的夹角，可以计算为从北方向顺时针转到AB是60°，从北方向顺时针转到正南是180°，再到BC需要减去45°？这种推算对学生难度很大。教师可以引导学生直接用量角器测量所画图形中的角，或者采用更高级的几何方法：连接AC后，如果我们能知道三角形另外两个角或一条边上的高，可以通过构造直角三角形来求解。但这已经超出了六年级的一般要求。因此，此题在小学阶段通常不要求精确计算AC的长度，而是让学生体会“位置与方向”知识可以构建平面图形，为后续学习“三角形”、“解三角形”等知识埋下伏笔。此题的重点在于训练学生根据方向和距离准确画图，并认识到“直线距离”不等于“路程之和”，从而发展学生的空间想象力和几何直观。

【热点】环节二：绘制复杂路线图并描述。

出示例4：【重要】“根据下面的描述，画出红红从家到动物园的路线图。红红从家出发，先向北偏西40°方向走600米到超市；再向西偏南20°方向走400米到广场；最后向南偏西50°方向走800米到达动物园。”

学生分组活动：

第一，确定比例尺。引导学生根据给定的距离（600米、400米、800米）和图纸大小，选择合适的比例尺，例如1厘米代表200米。那么三段路在图上的距离分别为3厘米、2厘米、4厘米。

第二，分步骤画图。强调在绘制每条路线时，都必须先确定新的观测点，并以该观测点为中心画出方向标，再根据方向和距离确定下一个点的位置。

第三，描述路线。请一位同学根据所画路线图，完整地描述出红红从家去动物园的路线。要求语言规范、清晰、准确。【基础】描述示例：“红红从家出发，向北偏西40°方向走600米到达超市；再从超市出发，向西偏南20°方向走400米到达广场；最后从广场出发，向南偏西50°方向走800米到达动物园。”

第四，拓展延伸。如果红红要从动物园按原路返回家中，她应该如何描述路线？引导学生发现：返回时的方向与去时的方向正好相反（角度不变，但“东”与“西”、“南”与“北”互换）。例如，去时是“北偏西40°”，返回时则对应“南偏东40°”。

3.总结归纳，构建体系（7分钟）

教师引导学生回顾两节课的学习内容，构建知识网络图。板书关键词：分数乘法（意义、计算法则、混合运算、简便运算）、分数应用题（单位“1”、量率对应、数形结合、方程思想）、位置与方向（观测点、方向、距离、路线图绘制与描述）。强调这两部分知识并不是孤立的，它们可以结合解决更复杂的实际问题，如例3所示，在平面内移动的路径问题就为将来学习更复杂的行程问题、几何问题打下了基础。

4.分层作业，巩固提升（3分钟）

（1）【基础】完成一份关于分数乘法和位置与方向的基础练习卷，查漏补缺。

（2）【重要】设计一条从你家到学校的路线图，并用准确的语言描述出来。要求必须包含至少一次方向转变，并标出关键地标和大致距离。

（3）【挑战】【非常重要】思考题：甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行全程的1/10，乙车每小时行全程的1/15，两车几小时后相遇？如果相遇后，甲车立即掉头以原速返回A地，那么从出发到甲车返回A地一共用了多少小时？此题旨在初步渗透工程问题和分数应用题的结合，为后续学习做好铺垫。

五、教学反思

（预设）本次思维拓展