高一数学人教A版集合与常用逻辑用语章节测试（含解析）

集合与常用逻辑用语章节测试人教A版·强化版（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：集合与常用逻辑用语第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x∈R，x2−2x+1≥0A．∀x∈R，x2−2x+1≤0 B．C．∀x∈R，x2−2x+1<0 D．【答案】C【详解】根据命题否定的定义可知，∃x∈R，x2−2x+1≥0的否定为∀x∈2．设全集U=1,2,3,4,5,6，集合S=1,3,5，T=2,4,5，则∁A．3,5 B．2,5 C．1,2,3,4,5 D．2,4,5,6【答案】D【详解】由全集U=1,2,3,4,5,6，集合S=1,3,5，得∁U所以(∁3．设集合A=x|x2−a+1x+a=0，集合A．a=3 B．a∈2,3 C．a=1 D．【答案】B【详解】集合B=x|集合A=x|当a=1时，A=1，A∩B=∅当a≠1时，A=1,a若A∩B=3，则a=3若a=3，则A∩B=3若a≠3，推不出A∩B=3所以a=3是A∩B=3a∈2,3是A∩B=a=1和a∈1,2都是A∩B=所以A∩B=3的一个必要不充分条件是a∈4．集合M={x|x=5k−2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈ZA．S⫋P=M B．S=P⫋M C．M⫋S⫋P D．P=M⫋S【答案】A【分析】由题意可得M={x|x=5k−2=5k−1+3,k∈Z}，【详解】集合M={x|x=5k−2=5k−1P={x|x=5n+3,n∈Z所以M=P，S={x|x=10m+3,m∈ZP={x|x=5n+3,n∈Z所以S⫋P=M.故选：A5．已知命题“∃x∈R,−axA．{a∣−4<a≤0} B．{a∣−4≤a<0}C．a∣−4≤a≤0 D．{a∣a<−4或a>0}【答案】A【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程−ax【详解】命题“∃x∈R, −a当a=0时，4≠0，符合题意，当a≠0时，即Δ=(2a)2综上：−4<a≤0.故选：A．6．已知p:A={x|−1≤x<3，q:B=x|ax+1≤0}，若¬p是qA．−1<a<2 B．−1<a<32 C．−1【答案】C【分析】根据¬p是q的必要不充分条件，可得B是∁RA的真子集，再分a=0，a>0和a<0三种情况讨论，求出集合【详解】由p:A={x|−1≤x<3，得¬p:因为¬p是q的必要不充分条件，所以B是∁R当a=0时，B=∅，符合题意；当a>0时，B=x因为B是∁RA的真子集，所以a>0−当a<0时，B=x因为B是∁RA的真子集，所以a<0−综上所述，实数a的取值范围是−1故选：C.7．已知集合U=x∈N∗x≤6，若A⊆U，且同时满足：①若x∈A，则3x∉A；②若x∈∁UAA．4 B．8 C．16 D．20【答案】C【分析】根据集合中元素性质判断出符合两个性质的所有元素，在求出其个数即可.【详解】由题意可知U=1,2,3,4,5,6结合两个性质可知若1∈A，则3∉A，若1∈∁UA若2∈A，则6∉A，若2∈∁UA因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制，所以符合题意的集合有1,2,2,3,故选：C8．定义集合运算⊕，A，B⊆R，A⊕B=A∪B∪xx=a+b,a∈A,b∈B，nA表示集合AA．若A⊕B=1,2,3,4，B=2B．若nA=nBC．nD．n【答案】D【分析】根据集合B只有一个元素，分析集合A只有2个元素，设A={x1,x2}，可得A⊕B，根据条件，分析计算，可求得集合A，即可判断A的正误；设A={c,d},B={e,f}，根据条件，计算可得nA⊕B的最大值为8，当有部分元素重合时，举例分析，可得nA⊕B=4，即可判断B的正误；根据所给定义，分析可得n(A∪B)≤n(A)+n(B)【详解】选项A：因为B=2，只有一个元素，则集合A所以设A={x1,因为A⊕B=1,2,3,4不妨设x1=1，则2+x所以2+x2=4同理，若x1=2，则2+x1=4综上A=1,2选项B：由题意，设A={c,d},B={e,f}，所以A∪B中最多有4个元素，（c，d，e，f均不相同时），此时x当A∪B与{c+e,c+f,d+e,d+f}没有共同元素时，nA⊕B当A∪B与{c+e,c+f,d+e,d+f}有部分重复元素时，nA⊕B例如A={1,2}，A∪B={0,1,2}，xx=a+b,a∈A,b∈B此时A⊕B={0,1,2,3}，则nA⊕B所以nA⊕B选项C：n(A∪B)≤n(A)+n(B)，当A与B没有交集时取等号，因为a有n(A)种取法，b有n(B)种取法，所以nx因为A⊕B=A∪B∪x所以nA⊕B选项D：当A={0},B={0}时，A∪B={0}，xx=a+b,a∈A,b∈B所以A⊕B={0}，则nA⊕B=1，所以minn此时nA⊕B故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知全集U，若对任意的x∈A，都有x∈B，那么下列等式正确的是（

）A．A∩B=A B．A∪B=B C．A∩∁UB【答案】ABC【分析】根据集合的包含关系可判断AB；根据韦恩图可判断CD.【详解】由题，可得A⊆B，对于AB，因为A⊆B，所以A∩B=A，A∪B=B，故AB正确；对于C，如图所示，∁UB表示①，而①与②无公共部分，故对于D，∁UA表示①和③，故B表示②和③部分，故选：ABC.10．在下列四个命题中，正确的是（

）A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有B．命题“∃x∈R，x+1=0C．集合(x,y)y=x2D．已知集合A=m+2,2m2+m，若3∈A【答案】AD【详解】A选项：由命题的性质得，命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2B选项：因为x≥0，所以x+1≥1，则不存在实数x满足x+1=0C选项：集合(x,y)y=x2是点集，集合yy=x2是数集，则集合D选项：因为3∈A，若m+2=3，得m=1，此时A=3，不符合已知条件的集合A含有2个元素，故m=1若2m2+m=3，得m1=−32，m1=111．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k=A．2025∈B．−2024∈C．若a∈3,b∈D．整数a,b属于同一“类”的充分不必要条件是“a−b∈0【答案】AC【分析】根据“类”的定义可直接判断A、B，根据a∈3,b∈4可得a+b∈2判断C，整数【详解】对于A，易知2025÷5=405，能被5整除，因此可得2025∈0对于B，可得−2024÷5=−405⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，因此可得−2024∈1对于C，由a∈3,b∈4所以a+b=5k1+对于D，整数a,b属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，即a−b∈0若a−b∈0，则a,b除以5之后的余数相同，故整数a,b因此整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a−b∈0故选：AC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合A=1,a−1,a+2，且2∈A，则实数a【答案】3【分析】因为2∈A，则a−1=2或a+2=2，由此可解出a，再代入集合A【详解】因为2∈A，所以分为以下两种情况：①a−1=2⇒a=3或−1，当a=3时，集合A=当a=−1时，集合A=1,2,1②a+2=2⇒a=0，此时集合A=1,1,2综上所述，a=3.故答案为：3.13．已知命题P：“对任意2≤x1≤5，存在34+m≤x2【答案】54【分析】根据含量词命题的否定得到真命题，转化为(x【详解】“对任意2≤x1≤5，存在3则“存在2≤x1≤5，对任意的3即(x1)min<(故答案为：5414．已知集合A={x|x2+px+q=0},   B={x|qx2+px+1=0}同时满足①A∩B≠∅，②【答案】p=3q=2或【分析】易知x0∈A，则1x0∈B，即集合A,B中的元素互为倒数.由①知可得x0=【详解】设x0∈A，则由x02+p所以1x0∈B由①知，存在x0∈A，使得1x0∈B由②知，A={1,−2}或A={−1,−2}，若A={1,−2}，则B={1,−12}，有1−2=−p若A={−1,−2}，则B={−1,−12}，有−1−2=−p综上，p=1q=−2或p=3故答案为：p=1q=−2或p=3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知集合A=x|x(1)求A的真子集(2)若A∪B=A，求a的值．【答案】(1)∅，2，3(2)a=0，a=−12【分析】（1）解方程得集合A=（2）因为A∪B=A，所以B⊆A，分a=0和a≠0进行求解.【详解】（1）解方程x2−5x+6=0得，x=2因此集合A=其真子集为∅，2，3，共3个．（2）因为A∪B=A，所以B⊆A，①当a=0时，B=∅，此时B⊆A符合题意②当a≠0时，因为B={x|ax+1=0}，此时易知B=要使得B⊆A，即−1a=2或−1a综上所述，要使得A∪B=A，则a=0，a=−12或16．(15分)已知集合A=x|2≤x≤6，集合B=(1)当m=−2时，求A∪B和A∩B；(2)若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【答案】(1)A∪B={x∣−4<x≤6}，A∩B={x∣2≤x<4}(2)m【分析】（1）先求出集合B，再根据并集、交集的定义求解即可；（2）分B=∅、B≠∅两种情况讨论求解即可.【详解】（1）当m=−2时，B={x∣−4<x<4}，又A=x∣2≤x≤6∴A∪B={x∣−4<x≤6}，A∩B={x∣2≤x<4}．（2）由A∩B=∅，若B=∅，则2m≥2−m，解得m≥2若B≠∅，则2m<2−m2−m≤2或2m<2−m2m≥6，解得综上所述，实数m的取值范围为mm≥017．（15分）已知命题p：∃x∈R，ax(1)求实数a的取值集合A；(2)设集合B=x6m−4<2x−4<2m，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数【答案】(1)A=(2)mm≤−3或【分析】（1）利用特称命题为假，分a=0和a≠0，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可.（2）先求出集合B，再根据必要条件对应集合包含关系，分B为空集和非空两类讨论求解即可.【详解】（1）命题p：∃x∈R，ax当a=0时，方程为2x−1=0，解得x=12，此时命题p当a≠0时，∃x∈R，ax2+2x−1=0所以Δ=22−4a×−1故实数a的取值集合A=a（2）由6m−4<2x−4<2m，得3m<x<m+2，即B=x因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A.当B=∅时，3m≥m+2，解得m≥1；当B≠∅时，3m<m+2m+2≤−1，解得m≤−3综上所述，实数m的取值集合为mm≤−3或m≥118．（17分）已知集合A=xx3(1)若A∩B=2，求：a(2)若x∈A是x∈B的必要条件，求：a的取值集合【答案】(1)1(2)1【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道2∈B且±1∉B，代入方程解得参数值，验证后得出结论.（2）找到集合A、B的关系，得到集合B的可能情况，代入验证即可得出结论.【详解】（1）化简x3−2x2−x+2=0得x−2所以A=−1,1,2因为A∩B=2，所以2∈B且±1∉B所以8a−6a2+1+4=0，即3a−1a−1当a=1时，2x2−6x+4=0解得x=1或x=2经检验，当a=1故a∈1（2）若x∈A是x∈B的必要条件，则B⊆A且B=∅，所以B=−1或1或2或−1,2或1,2或−1,1①由（1）可知，当B=1,2时，a=1②当B=1时，2a−3a2+1+4=0显然a=1不成立；当a=−13，显然③当B=2时，由（1）可得a=13或a=1当a=13时，显然④当B=−1时，2a+3故B=−1,2和B=综上所述：a∈19．（17分）已知整数m,n≥3，集合Xn=x1,x2,⋯,xn∣xi∈0,1,i=1,2,⋯,n.对于Xn中的任意两个元素(1)若A1=0,0,0,A(2)对给定的n∈N*,n≥3,∀A,B∈(3)设A,B,C是X3中的等距序列，求证：d【答案】(1)是，