初中数学九年级中考培优：二次函数实际应用题型深度研习教案

初中数学九年级中考培优：二次函数实际应用题型深度研习教案

一、课程基本信息

（一）学科：数学

（二）学段：初中九年级

（三）适用对象：参加河南省中考的九年级培优生

（四）课题：二次函数实际应用题型深度研习

（五）课时安排：3课时（每课时45分钟）

（六）课型：专题复习课／数学建模探究课

二、教学目标设计

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养导向，确立如下教学目标：

（一）知识与技能

1.能够从真实情境中准确识别常量和变量，建立规范的二次函数模型。【基础】

2.掌握二次函数最值的代数求法（配方法、公式法）与几何意义（顶点、对称轴），并结合自变量的实际意义确定最终答案。【重要】

3.理解并区分不同类型应用题（面积、利润、运动轨迹、拱桥、综合决策）的结构特征与建模通法。【非常重要】

（二）过程与方法

1.经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的完整数学建模流程，感悟函数是刻画现实世界的有效语言。【核心素养】

2.熟练运用数形结合思想，借助图像直观理解最值分布、取值范围与参数变化对模型的影响。【高频考点】

3.通过跨学科项目式学习（物理抛体、经济边际、工程设计），拓展数学应用的广度，形成跨学科解决问题的意识。【热点】

（三）情感态度价值观

1.体会数学从生活中来、到生活中去的价值，增强应用数学的自信心与责任感。

2.在严谨建模与反复校验中养成精益求精、实事求是的学习品格。

3.通过河南本土真题与古代桥梁文化（如赵州桥）的融入，厚植家国情怀与学科审美。

三、教学重难点定位

（一）教学重点

1.将实际问题中的文字语言转化为数学符号语言，准确列出二次函数解析式。【非常重要】【必考】

2.在自变量受实际条件制约的前提下，正确求解函数最值（顶点或端点）。【高频考点】

（二）教学难点

1.挖掘题目中的隐含不等关系，完整刻画自变量的取值范围。【难点】

2.多变量、多约束、分段条件下的综合优化问题，尤其是中考压轴题中的方案决策与整数解处理。【压轴】【热点】

四、教学策略与媒体

（一）教法学法

1.采用“一题多变、一题多解、多题归一”的变式教学策略，帮助学生实现从“懂一题”到“通一类”的跃升。

2.以“问题链”驱动深度学习，每课时设置一个核心情境，围绕该情境递进追问，引导思维逐层深入。

3.深度融合GeoGebra动态数学软件，将静态习题变为可拖拽、可观察的动态模型，实现数形实时联动。

（二）教学准备

1.教师：GeoGebra动态课件包（抛物线轨迹动画、矩形面积变化演示、拱桥水位变化模拟）；河南近五年中考二次函数实际应用题汇编；分层导学案。

2.学生：前置复习——二次函数y=ax²+bx+c的图像性质、顶点坐标公式；完成导学案“知识唤醒”部分。

五、教学实施过程（核心环节）

第一课时：建模初探——面积最值与抛物线型运动

【环节一】情境导入，唤醒经验（8分钟）

教师呈现河南中考高频情境：学校计划用总长20米的篱笆围成一个矩形花圃，一边靠墙（墙长15米），设靠墙一边长为x米，面积为S平方米。请学生口答S关于x的函数解析式并求S的最大值。学生迅速列出S=x(20-x)/2，化为S=-1/2(x-10)²+50，答出最大面积50平方米。教师追问：为什么顶点横坐标10就是最大值点？若墙长只有8米，答案还一样吗？学生顿悟——自变量取值范围改变，最值可能从顶点转移到端点。由此自然引出本节课两大主题：如何建模型、如何定范围。

【环节二】类型一：面积最值问题深度解析（22分钟）

1.核心模型全景扫描【基础】

（1）一边靠墙型：篱笆总长L，靠墙边为x，则另一边为(L-x)/2，面积S=x·(L-x)/2。顶点在x=L/2，需对比墙长与L/2的大小。

（2）三边靠墙型（如鸡舍隔墙）：用总长L围成两间矩形，需设两个变量并利用总长消元，化为一元二次函数。

（3）直角三角形内接矩形：利用相似三角形对应边成比例，将矩形另一边用含x的代数式表示，建立二次函数。

（4）半圆内接矩形：通过勾股定理或垂径定理，将矩形的高与半圆半径建立关系，常见于圆拱形大棚设计。

2.高频错因深度剖析【重要】

（1）定义域遗漏：只列解析式，不写自变量取值范围，或取值范围只写x>0而忽略墙长、材料长度等上限。

（2）顶点盲信：不验证顶点横坐标是否在定义域内，直接代入顶点公式，导致端点最值被遗漏。

（3）单位误判：条件中长度单位不一致（如米与分米）未先换算，造成函数系数错误。

3.变式阶梯与思维进阶【非常重要】

变式1：矩形花园中间修一条等宽的小路，剩余部分种花，求种花面积最大值。此时代入关系需减去道路面积，函数形式不变但参数意义变化，考查学生对“有效面积”的提取能力。

变式2：已知最大面积反求篱笆总长。设总长为L，得最大面积表达式，建立方程求解L，渗透方程思想与逆向思维。

变式3：场地中有不可占用区域（古树、水池），矩形需避开该区域，此时可行域被分割，函数需分段表达并逐段求最值后比较。此变式直指中考压轴题对分类讨论的考查。

4.跨学科视野拓展【热点】

引入物理并联电路问题：两个定值电阻R₁、R₂，且R₁+R₂=10Ω，求并联总电阻R并的最小值。教师引导学生写出R并=(R₁·R₂)/(R₁+R₂)，分子为R₁(10-R₁)，化为关于R₁的二次函数，并注意R₁>0且R₂>0。学生惊喜地发现数学最值模型竟能解释电学现象，极大激发探索欲。

【环节三】类型二：抛物线型运动轨迹问题（15分钟）

1.物理情境数学化【难点】【高频考点】

以2021年河南中考真题“篮球投篮”为蓝本：小明站在距篮圈水平距离4米处投篮，篮球出手高度2.25米，篮圈高度3.05米，篮球运行路线为抛物线，在距小明水平距离3米时达到最高点3.5米。问此球能否投中？

学生自主建立坐标系（以出手点正下方地面为原点或出手点为原点），设顶点式y=a(x-3)²+3.5，代入(0,2.25)求a，再检验(4,3.05)是否在抛物线上。

2.关键能力定点突破【非常重要】

（1）坐标系选择原则：使尽可能多的已知点落在坐标轴上，简化待定系数。

（2）已知顶点设顶点式，已知任意三点设一般式，已知与x轴交点设交点式——灵活选形。

（3）“能否通过”“是否命中”本质是点与抛物线的位置关系：将点横坐标代入解析式，比较纵坐标与实际高度。

3.动态演示深化理解

GeoGebra呈现：拖动抛物线的顶点或另一点，开口大小与位置即时变化，学生观察a与最高点、对称轴的联动关系。教师总结：a的绝对值决定抛物线的“胖瘦”，顶点坐标决定“位置”。

4.模型迁移应用

过渡至“喷泉落水点”“足球弧线球”“掷实心球”等同类情境，强调尽管背景不同，数学结构均为“已知两点加顶点（或三点）求解析式，再判断某点是否在图像上”。此环节不求题量，重在通法提炼。

【环节四】课堂小结与作业布置（5分钟）

1.师生共建建模流程图：审（圈关键词）→设（选变量建系）→列（找等量写解析式）→定（由实际意义定范围）→求（顶点或端点最值）→答（回归问题写结论）。

2.分层作业：

（1）基础巩固：完成培优册题型3的A组第1、3、5题，要求写出完整取值范围并画草图。

（2）能力提升：B组第2题（含参数面积最值），探讨墙长变化对最值点的影响。

（3）跨学科探究：查阅资料，简述二次函数在“撑杆跳高”或“射箭”中的体现，形成80字微观点。

第二课时：经济决策——利润问题与方案优化

【环节一】问题驱动，直击利润核心（5分钟）

屏幕展示河南某特产店销售数据：核桃糕进价20元/盒，售价30元/盒时日均售200盒；每涨价1元，日均少卖5盒；每降价1元，日均多卖10盒。为获最大利润，应涨价还是降价？学生立即列出涨价模型w=(10+x)(200-5x)与降价模型w=(10-x)(200+10x)，并各自求最值。教师聚焦关键：二次项系数均为负，图像开口向下，顶点处取最大值，但必须比较两个最值的大小。由此揭示利润问题的基本结构与分段特征。

【环节二】类型三：利润与营销问题精讲（25分钟）

1.三量关系固本强基【基础】

总利润=单件利润×销售数量

单件利润=售价-进价

售价变化⇒单件利润变化±Δp

售价变化⇒销售数量变化∓Δq（正相关或负相关）

2.建模规范与易错雷区【非常重要】【高频考点】

（1）区分涨价与降价两个独立区间，不可合并为一个表达式，除非题目明确为“价格调整”且变化规律一致。

（2）自变量x代表“涨价（降价）的金额”，通常默认x≥0，但降价模型中x>0表示降价，实际售价为原价减x，需保证售价≥进价。

（3）销量变化率必须严格对应。如“每涨价a元，销量减少b件”，若涨价x元，销量减少(b/a)·x件，切忌直接写减少b件。

（4）最值确认：先求顶点横坐标，若在取值范围内，顶点即最值点；否则在最近端点处取得最值。

3.典型例题精析与变式网络

例：某电子词典进价100元，原售价140元，月销600台。市场调查显示：售价每涨5元，月销减少30台；售价每降5元，月销增加20台。求月利润最大时的售价。

师生分步拆解：

涨价部分：w₁=(40+x)[600-(30/5)x]，化简得w₁=-6x²+240x+24000，x∈[0,40]（售价≤180元，实际由材料隐含）

降价部分：w₂=(40-x)[600+(20/5)x]，化简得w₂=-4x²+160x+24000，x∈[0,40]（售价≥100元）

分别求顶点：涨价顶点x=20，w₁=26400；降价顶点x=20，w₂=25600。比较得涨价20元、售价160元时利润最大。

追问：若题目要求售价为整数元，答案变吗？若要求月利润不低于26000元，应如何定价？（转化为一元二次不等式，数轴标根）

4.高阶思维与初高衔接【热点】

教师简介经济学“边际利润”概念：每多售一件所增加的利润。对于二次函数模型，边际利润是一次函数，其零点恰好对应总利润函数的最值点。这一视角让学生从“变化率”高度理解顶点意义，为高中导数学习埋下伏笔。

【环节三】类型四：桥梁与隧道问题（10分钟）

1.模型识别与坐标系定位【重要】

抛物线拱桥、隧道洞口的共性：对称性。通常将拱顶置于原点或最高点置于y轴，设解析式为y=ax²（顶点在原点）或y=ax²+k（顶点在纵轴上）。

2.三步解题法

（1）建系：使抛物线对称轴与y轴重合，简化方程。

（2）求式：代入已知点（通常为水面端点、拱脚、顶点）求a、k。

（3）判通：已知车辆宽、高，将车宽一半的横坐标代入，比较纵坐标与车高。

3.中原文化浸润

以“河南汝州赵州桥式石拱桥”为背景，呈现桥拱跨度12米，拱高4米，求桥拱解析式。学生计算得y=-1/9x²+4。教师补充：隋朝李春设计的赵州桥并非抛物线而是圆弧拱，但现代钢筋混凝土拱桥多采用抛物线，以降低弯矩。数学与工程的完美结合，激发民族自豪感与专业志向。

4.易错点睛【重要】

当水位变化时，求水面宽度实质是已知纵坐标（水位高）求对应的横坐标差。部分学生误将水位高直接代入y值求x，而忽略水位是在桥面以下还是拱顶以下，导致坐标系混淆。

【环节四】当堂检测与反馈（5分钟）

限时完成两道变式：1.某电商销售文创产品，价格调整与销量关系题，求最大利润及此时利润率；2.抛物线形隧道，卡车能否通过。教师手持平板实时投影典型错误：未写取值范围、降价模型自变量理解错误。即时讲评，强化规范。

第三课时：综合决策——多变量约束与压轴题攻略

【环节一】类型五：综合决策与优化问题（20分钟）【非常重要】【压轴题】

1.问题特征宏观画像

此类问题通常出现在河南中考第22—23题，题干长、信息密、变量多。核心是“在若干约束条件（如资金、场地、产能）下，设计生产或分配方案，使利润最大、成本最小或效率最高”。函数模型以二次函数为主干，常融合一次函数、不等式组、整数解讨论。

2.通用解题程序【通法】

（1）设元：设其中一个关键量为x，其余量尽可能用x表示。

（2）列式：根据总利润（或总费用）=单项×数量，汇总成关于x的二次函数。

（3）定域：逐条翻译“不超过”“不少于”“至少”等不等关系，联立不等式组求出x的整数（或实数）范围。

（4）寻最：判断顶点横坐标是否在定义域内；若不在，则取域内最靠近顶点的端点或整点；若需整数解，比较所有可行整数对应的函数值。

（5）决策：若涉及两种以上方案，需分别建模后综合比较。

3.河南中考真题还原与拆解（2022年真题精编）

题目：某工厂生产A、B两种型号的教具。每套A成本20元、售价25元；每套B成本30元、售价38元。每月A最多产400套，B最多产300套，且总产量不超过600套。生产一套A需2个工时，一套B需3个工时，每月总工时不超过1500小时。设每月生产A产品x套，总利润为w元。

（1）求w与x的函数关系式，并写出x的取值范围。

（2）求每月总利润的最大值，并指出此时A、B的产量。

教师逐句拆读：

1.由“总产量≤600”得B产量≤600-x，又B≤300⇒600-x≤300⇒x≥300；再由B≥0得x≤600。结合A≤400，初步定x∈[300,400]。

2.工时约束：2x+3(600-x)≤1500⇒2x+1800-3x≤1500⇒x≥300，恰好与上一致。故定义域为300≤x≤400，x为整数。

3.利润函数：w=(25-20)x+(38-30)(600-x)=5x+8(600-x)=-3x+4800。咦？这是一次函数？学生诧异。教师引导：题目确实可以设计成一次函数，但若将A或B的成本与产量呈非线性关系（如批量折扣、加班附加成本），w就会变为二次函数。此处故意先用线性案例，降低入门难度，紧接着抛出二次型变式。

变式：若每月总工时限制不变，但A产品在产量超过300套后，超出部分每套成本增加2元（因加班）。此时w与x是分段函数，其中一段为二次函数。学生尝试列式，教师巡视指导。最后师生共同求解二次函数段的最值，并与一次函数段比较。

4.难点突破——整数解与方案列举【难点】

当顶点横坐标不是整数，且定义域内整数点较多时，不必逐一计算，可利用二次函数在顶点两侧的单调性，仅比较顶点左右两个整数点即可。教师通过几何画板演示“对称轴两旁对称点函数值相等”，强调当对称轴不是整数时，离对称轴最近的整数函数值最大。

【环节二】建模思想统摄与升华（10分钟）

1.二次函数实际应用的认知框架【非常重要】

教师板书核心思维导图：

1.2.一条主线：实际问题→抽象变量→等量关系→二次函数→实际解。

2.3.两个关键：解析式与定义域。

3.4.三种题型：几何型（面积、拱桥）、经济型（利润、营销）、物理型（运动、光学）。

4.5.四种思想：数形结合、函数与方程、分类讨论、化归转化。

6.跨学科大观念凝练

二次函数是描述“单峰”或“单谷”现象的通用语言。物理学中的简谐振动（后期）、生物学中的种群增长模型（逻辑斯蒂方程局部）、体育学中的投篮命中率，都能见到二次函数的身影。鼓励学生用数学建模的眼光审视日常生活中的优化问题，成为问题的解决者而非被动的答题者。

【环节三】真题实战，规范演练（10分钟）

发放河南近三年中考真题二次函数实际应用题真题页（隐去答案），学生独立完成2019年“旅游团票价优惠方案”、2020年“超市促销利润”两道真题。教师重点巡视答题卡规范：

1.设未知数必须带单位；

2.解析式需化为一般式或顶点式，不保留乘积形式；

3.最值答语要完整：“当售价为___元时，最大利润为___元”；

4.取值范围必须用不等式组清晰表达，并在数轴上标明。

投影展示优秀作答与典型病案，集体纠错。特别强调“验算”习惯：将最值点代回原题检验是否符合所有条件。

【环节四】总结反思，素养内化（5分钟）

学生静思3分钟，在导学案“反思栏”绘制本节课收获的思维简图。随后2分钟自由发言：

1.“我以前总是忽略自变量范围，现在知道范围就是题目的隐形手。”

2.“原来中考压轴题并不是天书，它只是把好几个简单模型串起来了。”

3.“我觉得最难的是把文字翻译成代数式，以后要多圈‘比…多’‘是…倍’这些词。”

教师总结：数学建模不是套用模板，而是创造性的转化。希望大家在未来生活中，遇到选择与决策时，能想起今天黑板上的“审设列定求答”，用数学的智慧做出最优解。

六、板书设计（结构型板书）

主板书（持续保留）：

二次函数实际应用——建模·定域·求最

一、四大模型

1.面积类：S=ax²+bx+c变量范围（几何边界）

2.运动类：y=ax²+bx+c坐标系选择

3.利润类：w=ax²+bx+c（a<0）涨价/降价分离

4.拱桥类：y=ax²+k对称轴为y轴

二、通法步骤

审→设→列→定→求→答

三、易错三警示

•有顶点，不盲目，范围端点要看住

•有单位，要统一，未知函数不乘积

•有整数，需比较，最近整点常是解

副板书（随堂生成）：

学生典型错例、GeoGebra截图关键点、各组探究结论关键词。

七、作业与拓展

（一）巩固性作业

完成培优册题型3所有C组题（培优篇）。要求：1.每道题均需写出完整的自变量取值范围推导过程；2.最值结果必须标注单位；3.错题用红笔在旁边进行归因分析（是审题不清、建模错误还是计算失误）。

（二）探究性作业

以4人小组为单位，从以下课题中任选其一，开展微项目研究：

1.学校食堂窗口排队时间优化（假设窗口数与排队时间满足某种二次关系，需实际测量数据）。

2.家用汽车油耗与速度的关系调查（查阅资料，寻找二次函数拟合实例）。

3.二手商品转售最佳时机分析（随时间推移，商品价值