第25章 一元二次方程 全章高频重点题型突破（专项训练）（解析版）

第二十五章一元二次方程全章高频重点题型突破基础拿分：高频题型归纳题型1一元二次方程的概念与一般形式题型2直接开平方法题型3配方法 题型4公式法题型5因式分解法题型6选择最优解法题型7根的判别式题型8根与系数的关系核心提升：重难题型归纳题型1增长率/降低率问题题型2几何面积问题题型3握手/互赠问题题型4营销利润问题题型5含参方程与判别式题型6根与系数的关系变形求值题型7整体思想与换元法题型专练：高频重难特训◆◆题型1一元二次方程的概念与一般形式1.下列方程中，不是一元二次方程一般形式的是（） 【答案】C【详解】A.只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二次方程的定义.B.方程，移项可得，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二次方程的定义.C.方程，左边是分式形式，不满足一元二次方程是整式方程的条件，所以不是一元二次方程.D.方程，移项可得，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二次方程的定义.2.【易错题】若关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（） A.0 B.±3 C.3 D.−3【答案】D【详解】移项整理得∵不含一次项，∴，解得.综上3.若x=-1是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0【答案】【详解】把代入中得解得将一元二次方程x=3-2x2化为一般形式为________________，其中二次项系数a=________，一次项系数b=________，常数项【答案】a=2,b=1,c=-3【详解】移项得，所以a=2,b=1,c=-3◆题型2直接开平方法5.解方程.【答案】【详解】6.解方程 【答案】【详解】7.解方程【答案】【详解】8.解方程【答案】【详解】◆题型3配方法9.用配方法解一元二次方程x2+8x-1=0，将它转化为(x+m)2【答案】21【详解】 10.【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式x2+8x+18【详解】所以代数式x2+8x+18◆题型4公式法用公式法解方程【详解】 解方程【详解】13.解方程x(2x-4)=-5-8x【详解】展开整理：22a=2, b=4, c=5Δ=∴原方程无实数根.◆题型5因式分解法14.解方程3(x-3)=2x(3-x)【详解】原方程化为：3(x-3)=-2x(x-3)3(x-3)+2x(x-3)=0(x-3)(3+2x)=0∴x-3=0或3+2x=0∴15.若代数式x2+2x的值为0，则x的值为（A.2 B.0 C.−2或0 D.−2【答案】C【详解】xx(x+2)=0x=0或x+2=0∴x选C.◆题型6选择最优解法16.选择适当的方法解方程 【详解】17.选择适当的方法解方程【详解】18.解方程【详解】因式分解，得◆题型7根的判别式19.已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根C.有两个相等的实数根 D.无法判断【答案】A【详解】∵P(a,c)在第四象限，∴a>0, c<0Δ=∵a>0, c<0, ∴ac<0, ∴-4ac>0又b∴Δ=∴方程有两个不相等的实数根，选A.20.若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有实数根，求k【答案】k≤1且k≠0【详解】∵是一元二次方程，∴k≠0有实数根，∴Δ≥0Δ=(-636≥36kk≤1又∵k≠0∴k≤1且k≠0◆题型8根与系数的关系21.若m，n是一元二次方程3x2-5x+1=0的两个实数根，求m+n−mn【详解】由韦达定理：m+n=53∴m+n-mn=22.已知方程x2-kx-3=0的两个根互为相反数，则k=________【详解】设两根为x1, x由韦达定理：x∴k=0方程化为x2-3=0，x∴23.若x1，x(1)（x₁−3）（x₂−3）；(2)（x₁−x₂）².【详解】由韦达定理：x1+(1)(==-=-=(2)(=(=(-2=4+6=10◆题型1增长率/降低率问题1．今年3月份某图书角中有藏书2500册，到今年5月份藏书数量增长到3600册.求该图书角这两个月藏书的平均增长率.【详解】设平均增长率为x，则：2500(1+x(1+x1+x=±1.2x=0.2=20%或x=-2.2（不合实际，舍去）∴平均增长率为20%.2.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由每平方米40000元下降到每平方米32400元，求最近两年该市房价的年平均下降率.【详解】设年平均下降率为x，则：40000(1-x(1-x1-x=±0.9x=0.1=10%或x=1.9（不合实际，舍去）∴年平均下降率为10%.3.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑被感染.(1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑；(2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600台？【详解】(1)设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑.第一轮后共有(1+x)台被感染；第二轮后共有(1+x)2台被(1+x1+x=±5x=4或x=-6（不合实际，舍去）∴每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑.(2)四轮后共有(1+4)625>600∴四轮感染后，被感染的电脑超过600台.◆题型2几何面积问题4．某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条"之"字路，余下部分绿化，绿化的面积为551m².已知整个长方形空地的长为30m、宽为20m，求道路的宽.【详解】设道路宽为x m利用平移法，两条“之”字路可平移为矩形两条边的宽度：绿化部分长(30-x) m，宽(20-x) (30-x)(20-x)=551600-30x-20x+x(x-1)(x-49)=0x=1或x=49∵x<20（宽为20 m∴x=49不合实际，舍去.∴道路的宽为1 m5．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.如果要使这两个正方形的面积之和等于17cm²，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？【详解】设一段长为x cm，则另一段长(20-x) 两个正方形边长分别为x4 cm和xxxx2x(x-8)(x-12)=0x=8或x=12∴铁丝剪成的两段长度分别为8 cm和12 ◆题型3握手/互赠问题6.毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有多少位同学？【详解】设毕业晚会上一共有n位同学.每人给其他(n-1)人各送一张，共n人：n(n-1)=90n(n-10)(n+9)=0n=10或n=-9（不合实际，舍去）∴毕业晚会上一共有10位同学.7.于老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有x名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生.【详解】于老师向每位同学赠送：共x张同学间互赠：共x(x-1)张x+x(x-1)=2304x+xx=±48∵x>0，∴x=48∴该班级有48名学生.◆题型4营销利润问题8..某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件.如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？【详解】设每件降价x元，则每件盈利(40-x)元，每天售出(10+2x)件.(40-x)(10+2x)=700400+80x-10x-2-22x(x-5)(x-30)=0x=5或x=30∵尽可能让利于顾客，∴取较大降价.∴每件降价30元.9.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就减少10个.要实现每月10000元的销售利润目标，且售价不能低于60元/个，(1)求这种台灯的定价；(2)商场应进货多少个？【详解】设每个台灯涨价x元，则售价为(40+x)元，销量为(600-10x)个.(1)每个利润为(40+x-30)=(10+x)元.(10+x)(600-10x)=100006000-100x+600x-10-10x(x-10)(x-40)=0x=10或x=40当x=10时，售价=40+10=50<60，不合题意.当x=40时，售价=40+40=80≥60，符合题意.∴台灯的定价为80元.(2)月销售量=600-10×40=200（个）∴商场应进货200个.◆题型5含参方程与判别式10.已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则【详解】∵是一元二次方程，∴m-2≠0，即m≠2∵有两个不相等的实数根，∴Δ>0Δ=(-44m<24m<6又∵m≠2∴m<6且m≠211.已知关于x的一元二次方程3x2+mx-2=0，求证：无论m【详解】Δ=∵∴即Δ>0恒成立∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.◆题型6根与系数的关系变形求值12.已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且，求m【详解】（1）Δ=(m-2==∵∴即Δ>0恒成立∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.（2）由韦达定理：x1+13.已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2(a+1)x+a(1)若(m−1)(n−1)=28，求a的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若m，n恰好是△ABC另外两边的长，求△ABC的周长.【详解】由韦达定理：m+n=2(a+1)，mn=方程有实数根：Δ=4(a+1∴a≥4(1)(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1===a(a-6)(a+4)=0a=6或a=-4∵a≥4，∴a=-4舍去.∴a=6(2)①当7为底边长时，此时方程x2-2(a+1)x+a②当7为腰长时，设m=7.将m=7代入方程，得解得当a=10时，方程变为，解得x=7或x=15当a=4时，方程变为综上，的周长为17.◆题型7整体思想与换元法14.对于实数a，b，定义运算"※"：a※b=a2-2b，例如：5※1=5²−2×1=23.如果x※x【详解】xx(x-2)=0x=0或x=215.【阅读材料】解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时，可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程化为y2-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4.当y=1时，即x-1=1,解得x=2;当y=4时，即x-1=4，解得x=5,请利用上述方法解方程：(3x−5)²−4(5−3x)+3=0.【详解】∵(5-3x)=-(3x-5)∴-4(5-3x)=-4×[-(3x-5)]=4(3x-5)原方程化为：(3x-5设y=3x-5，方程化为：y(y+1)(y+3)=0y=-1或y=-3当3x-5=-1时，3x=4，x=当3x-5=-3时，3x=2，x=∴一、选择题1．一元二次方程(x-3)2=4的根的情况是（A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.无实数根 D.只有一个实数根【答案】B【详解】Δ：展开得x2-6x+5=0，Δ=36-20=16>0，有两个不相等的实数根.2.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况是（A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】D【详解】解：Δ=(-1)2-4×1×1=1-4=-3<0，没有实数根.选3.一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数为（）A.4人 B.5人 C.6人 D.7人【答案】B【详解】解：设参加聚会的人数为n，则n(n-1)2=10，n(n-1)=20，n=5.选故选：B．4.某市平均房价由每平方米40000元下降到每平方米32400元，设年平均下降率为x，则可列方程为（）A.40000(1−x)²=32400 B.40000(1+x)²=32400C.40000−2×40000x=32400 D.40000(1−2x)=32400【答案】A【详解】两年下降，列方程40000(1-x)2=324005.一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A.5% B.10% C.15% D.20%【答案】B【详解】200(1-x)2=162，(1-x)2=0.81，6.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.售价每上涨1元，月销售量就减少10个.要实现每月10000元的销售利润，且售价不能低于60元，则台灯的定价应为（）A.50元 B.60元 C.80元 D.50元或80元【答案】C【详解】由综合攻坚第8题可知定价为80元.选C.二、填空题7.关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，则实数【答案】m<【详解】Δ=9-4(m-1)=9-4m+4=13-4m>0，m<138.一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则n=________.【答案】n=6【详解】n(n-1)2=15，n(n-1)=30，9.某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________.【答案】300(1+x)10.某商品2022年每件进价为125元，2024年每件进价为80元，则这种商品每件进价的年平均下降率为________.【答案】20%【详解】125(1-x)2=80，(1-x)211.有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两轮传染后共有128人患流感.设每轮传染中平均一个人传染x个人，则可列方程为________________.【详解】2(1+x)12.n边形有________条对角线；若一个多边形有14条对角线，则它的边数为________.【答案】7【详解】n(n-3)2=14，n(n-3)=28，三、解答题13.选择适当的方法解下列方程：(1)2x²−16=0；(2)2x²−16x=0；(3)x²−4x−1=0（用配方法）.【详解】（1）（直接开平方法）2xx=±2∴（2）（因式分解法）2x(x-8)=02x=0或x-8=0∴（3）xx(x-2x-2=±x=2±∴14.某公司今年1月份盈利2万元，到今年3月份盈利4.5万元，假设每月盈利的平均增长率相同.(1)求每月盈利的平均增长率；(2)预计今年4月份盈利多少万元？【详解】(1)设每月盈利的平均增长率为x.2(1+x(1+x1+x=±1.5x=0.5=50%或x=-2.5（不合实际，舍去）∴每月盈利的平均增长率为50%.(2)4月份盈利=4.5×(1+50%)=4.5×1.5=6.75（万元）15.根据素材完成任务.(1)【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个.求4月份到6月份生产数量的平均增长率；(2)【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个.批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？【详解】(1)设平均增长率为x.100(1+x(1+x1+x=±1.2x=0.2=20%或x=-2.2（不合实际，舍去）∴平均增长率为20%.(2)设涨价y元，则售价为(40+y)元，销量为(600-10y)个.每个利润为(40+y-30)=(10+y)元.(10+y)(600-10y)=100006000-100y+600y-10y(y-10)