2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+等差数列的前n项和公式

4.2.2等差数列的前n项和公式第一课时等差数列的前n项和公式[目标导航]课标要求1.了解等差数列前n项和公式的推导过程2.掌握等差数列前n项和公式及其应用新知导学·素养启迪新知梳理等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式

(1)等差数列前n项和公式的特点①两个公式共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、通项和前n项和.五个量中可“知三求二”.(2)等差数列前n项和的函数特点小试身手1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于

.

302.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11+a13=9,则S17=

.

513.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S6=a17,a4=16,则an=

.

5n-44.已知数列的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn=

.

课堂探究·素养培育等差数列的基本量运算[例1]

已知等差数列{an}.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.即时训练1-1:(1)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S5=-5,则S6等于(

)A.-20

B.-15

C.-10

D.-5B(2)在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.等差数列前n项和公式的实际应用[例2]

某抗洪指挥部接到预报,24

h后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,需调用

20辆同型号的翻斗车,平均每辆车工作24

h.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集

25辆,那么在24

h内能否构筑成第二道防线?即时训练2-1:甲、乙两物体分别从相距70

m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2

m,以后每分钟比前1分钟多走1

m,乙每分钟走5

m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1

m,乙继续每分钟走5

m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?(1)与等差数列前n项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下两点:①抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型.②深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求前n项和Sn,还是求项数n.数列{|an|}的前n项问题[例3]

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且

S7=35,a2a4=45.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.即时训练3-2:

数列{an}的前n项和Sn=n2-16n,求数列{|an|}的前n项和Tn.解:当n=1时,a1=S1=-15,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-16n-[(n-1)2-16(n-1)]=2n-17.因为n=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n-17(n∈N*).由an=2n-17≥0,得n≥8.5,即当n≤8时,an<0;当n≥9时,an>0.①当n≤8时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+16n.若{an}为等差数列,求数列{|an|}的前n项和Tn的方法:(1)首先由通项公式an求出数列正项和负项的临界项数n0.当堂即练·素养达成1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7=14,则

S9=(

)A.21

B.63

C.42

D.126当堂即练B2.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位撰,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是以珠算盘为计算工具的数学著作.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来争三岁,共年二百七岁期(注:一共207岁),借问长儿多少岁?各儿岁数要详推.这个老人最大的儿子年龄为(

)A.8岁

B.11岁

C.20岁

D.35岁D3.数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,则它的通项公式是an=

.

-2n+2(n∈N*)解析:当n=1时,a1=S1=-1+1=0;当n≥2且n∈N*时,an=Sn-Sn-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n-1)]=-2n+2,经检验,n=1也适合该式.故an=-2n+2(n∈N*).1221当n≥5时,an<0.T12=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+…+|a12|=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+a12)=S4-(S12-S4)=2S4-S12=6-(-15)=21.课堂小结1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量.3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用:若m+n=p+q,则an+am=ap