新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定（教学用书）教学设计 新人教A版必修第二册

新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定（教学用书）教学设计新人教A版必修第二册课题：课时：授课时间：设计意图本节课旨在引导学生通过探究活动，理解平面与平面垂直的判定定理，掌握其证明过程，并能灵活运用定理解决实际问题。通过本节课的学习，学生能够提高空间想象能力，培养逻辑推理能力，为后续学习空间几何知识打下坚实基础。核心素养目标分析1.提升空间想象能力，通过观察、操作和思考，帮助学生建立对空间中直线与平面关系的直观认识。

2.培养逻辑推理能力，引导学生通过证明过程理解平面与平面垂直的判定定理，并学会运用定理解决问题。

3.发展数学抽象能力，使学生能够从具体情境中抽象出数学概念，形成空间几何的数学模型。

4.强化数学建模意识，通过实际问题引导学生将数学知识应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了平面几何的基本知识，包括点、线、面等基本概念，以及直线与平面、平面与平面之间的关系。此外，学生应具备一定的证明能力，能够进行简单的几何证明。

2.在学习兴趣方面，学生对立体几何通常表现出较高的兴趣，因为其直观性和空间感较强。能力上，学生具备一定的空间想象能力，但可能存在抽象思维能力不足的问题。学习风格上，部分学生可能更倾向于通过观察和操作来学习，而另一部分学生可能更依赖逻辑推理。

3.学生在学习平面与平面垂直的判定时可能遇到的困难和挑战包括：理解空间中直线与平面的关系，特别是垂直关系的直观性；掌握判定定理的证明过程，需要较强的逻辑推理能力；将定理应用于解决实际问题，可能需要较高的空间想象能力和实际操作能力。此外，对于抽象思维能力较弱的学生，理解定理的证明过程可能存在困难。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过讲解平面与平面垂直的判定定理，帮助学生理解其基本概念和证明过程。

2.讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题，共同探讨解决方法，提高学生的参与度和合作能力。

3.实验法：利用立体几何模型或虚拟现实技术，让学生通过实际操作感受空间几何关系，加深对定理的理解。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示空间几何图形，直观展示平面与平面垂直的判定过程。

2.教学软件：运用几何软件进行动态演示，让学生观察平面与平面垂直时的变化，增强空间感。

3.纸笔练习：提供丰富的练习题，让学生在纸上进行实际操作，巩固所学知识。教学过程一、导入新课

同学们，我们已经学习了平面几何中的很多知识，今天我们要一起探索一个新的领域——立体几何。在立体几何中，我们将学习如何描述和理解空间中的直线和平面之间的关系。今天，我们将重点研究平面与平面垂直的判定定理。

二、新课讲授

1.引入概念

同学们，我们先来回顾一下平面几何中的一些基本概念。我们知道，在平面几何中，直线和平面是基本元素。那么，在立体几何中，这些元素是如何相互作用的呢？今天，我们将探讨平面与平面之间的关系，特别是它们垂直的情况。

2.判定定理的提出

现在，让我们来看一个具体的例子。假设我们有两个平面，分别是平面α和平面β。我们想知道，这两个平面是否垂直。为了解决这个问题，我们需要一个判定定理。

3.判定定理的证明

-直线l垂直于平面α上的任意一条直线。

-直线l垂直于平面β上的任意一条直线。

由于直线l同时垂直于两个平面，我们可以得出平面α和平面β垂直的结论。

4.判定定理的应用

现在，我们已经有了判定定理，那么如何应用它来解决实际问题呢？我将通过几个例子来向大家展示。

例1：给定两个平面，我们需要判断它们是否垂直。

解答：首先，我们找到两个平面上的两条相交直线，然后判断这两条直线是否垂直。如果垂直，则根据判定定理，两个平面垂直。

例2：在空间中，我们需要找到一条直线，使得它同时垂直于两个给定的平面。

解答：我们可以通过构造两个平面的交线，然后找到这条交线上的一个点，从这个点到两个平面的垂线即为所求。

三、课堂练习

1.练习1：判断以下两个平面是否垂直。

-平面α：由点A(1,2,3)、B(4,5,6)、C(7,8,9)确定。

-平面β：由点D(1,0,0)、E(0,1,0)、F(0,0,1)确定。

2.练习2：找到一条直线，使得它同时垂直于平面α和平面β。

四、课堂讨论

1.讨论题目：在立体几何中，除了平面与平面垂直的判定定理，还有哪些判定定理？它们是如何应用的？

2.学生分组讨论，每组选择一个判定定理进行深入研究，并准备在下一节课上分享。

五、课堂小结

今天，我们学习了平面与平面垂直的判定定理，并通过实例了解了它的应用。希望大家能够通过今天的课程，加强对立体几何的理解，提高解决实际问题的能力。

六、课后作业

1.完成课后练习题，巩固今天所学的知识。

2.预习下一节课的内容，为下一节课的学习做好准备。

七、教学反思知识点梳理1.空间几何基本概念

-点、线、面的定义及其在空间中的位置关系。

-空间直线的定义和性质，包括直线的长度、方向等。

-空间平面的定义和性质，包括平面的面积、法向量等。

2.空间直线与平面的关系

-直线与平面的交点。

-直线与平面的夹角。

-直线与平面的垂直关系。

3.空间平面与平面的关系

-平面与平面的交线。

-平面与平面的夹角。

-平面与平面的垂直关系。

4.平面与平面垂直的判定定理

-如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面垂直。

-如果两个平面相交，它们的交线垂直于其中一个平面，那么这两个平面垂直。

5.平面与平面垂直的证明方法

-利用线面垂直的判定定理证明平面垂直。

-利用面面垂直的判定定理证明平面垂直。

-利用反证法证明平面垂直。

6.平面与平面垂直的应用

-利用平面与平面垂直的判定定理判断两个平面是否垂直。

-利用平面与平面垂直的性质解决实际问题，如空间几何体的计算、图形的构造等。

7.空间几何中的计算问题

-空间直线的长度计算。

-空间平面的面积计算。

-空间几何体的体积计算。

8.空间几何中的证明问题

-利用空间几何的基本概念和性质进行证明。

-利用空间几何的判定定理进行证明。

-利用反证法进行证明。

9.空间几何中的应用问题

-空间几何在工程、建筑、物理等领域的应用。

-空间几何在日常生活和科学研究中的应用。

10.空间几何的学习方法

-通过观察、实验、操作等方式建立空间几何的直观形象。

-通过逻辑推理、证明等方法提高空间几何的抽象思维能力。

-通过解决实际问题提高空间几何的应用能力。典型例题讲解例题1：已知平面α经过点A(1,2,3)，且垂直于直线l，直线l的方向向量为s=(2,1,-1)。求平面α的一个法向量。

解答：由于平面α垂直于直线l，直线l的方向向量s即为平面α的一个法向量。因此，平面α的一个法向量为s=(2,1,-1)。

例题2：已知平面α的法向量为n=(3,4,5)，平面β的法向量为m=(6,8,10)。判断平面α和平面β是否垂直。

解答：计算两个法向量的点积：n·m=3*6+4*8+5*10=18+32+50=100。由于点积不为零，平面α和平面β不垂直。

例题3：已知平面α的法向量为n=(1,2,3)，直线l的方向向量为s=(2,1,-1)。求直线l与平面α的夹角。

解答：直线l与平面α的夹角θ满足cosθ=|n·s|/(|n|*|s|)。计算得cosθ=|(1*2+2*1+3*(-1))|/(√(1^2+2^2+3^2)*√(2^2+1^2+(-1)^2))=|1|/(√14*√6)=1/√84。因此，θ≈arccos(1/√84)。

例题4：已知平面α的法向量为n=(1,2,3)，直线l的方向向量为s=(2,1,-1)。求直线l在平面α上的投影向量。

解答：直线l在平面α上的投影向量p可以通过以下公式计算：p=(s·n)/(n·n)*n。计算得p=(2*1+1*2+(-1)*3)/(1^2+2^2+3^2)*(1,2,3)=(2+2-3)/14*(1,2,3)=1/14*(1,2,3)。

例题5：已知平面α的法向量为n=(1,2,3)，点A(1,2,3)在平面α上，直线l的方向向量为s=(2,1,-1)。求点B(4,5,6)到平面α的距离。

解答：点B到平面α的距离d可以通过以下公式计算：d=|(n·(B-A))|/|n|。计算得d=|(1*3+2*3+3*3)/√(1^2+2^2+3^2)|=|18/√14|=18/√14。教学评价1.课堂评价：

在课堂教学中，我将通过提问、观察和测试等方式对学生的学习情况进行实时评价。提问环节将检验学生对基本概念和定理的理解程度，观察学生的参与度和表达是否清晰，测试则是对学生知识掌握程度的量化评估。通过这些方法，我可以及时发现学生的问题，如对定理的理解不透彻、应用能力不足等，并采取相应措施进行纠正和强化。

2.作业评价：

作业是检验学生课堂学习效果的重要手段。我将认真批改学生的作业，对每一题都进行细致的点评，不仅指出错误，更分析错误的原因，提供改进的建议。通过作业评价，我可以了解学生在独立完成作业时的能力表现，并及时调整教学策略，确保每个学生都能跟上教学进度。同时，我会定期向学生反馈作业评价结果，鼓励他们在后续学习中更加努力。

3.定期测试与反馈：

除了日常的课堂提问和作业批改，我还将安排定期的测试，以全面评估学生对平面与平面垂直的判定定理的理解和应用能力。测试后，我将及时公布成绩，并组织学生进行试卷分析，讨论解题思路，让学生了解自己的优势和不足，从而有针对性地进行复习和提高。

4.学生自我评价与同伴评价：

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