高中数学二年级《多边形组合计数》深度学习教案

高中数学二年级《多边形组合计数》深度学习教案

一、教材与学情分析

（一）教材地位与内容重构【基础】【核心概念】

本节课“多边形组合计数”位于高中数学选择性必修三第七章“计数原理”的拓展延伸部分，同时也是平面几何与排列组合知识的综合交汇点。传统教材往往将计数问题局限于数字、小球或排队模型，而本设计旨在打破这一局限，引导学生从“数形结合”的高度，将组合数学的思想方法应用于几何图形的计数之中。通过对多边形及其内部线段、三角形、四边形等图形的计数，学生不仅能巩固分类计数与分步计数原理，更能深化对几何图形结构特征的理解，体会数学知识之间的内在联系。本节课的内容是对数学抽象、逻辑推理与数学建模素养的一次综合训练，也是高考中能力立意题目的重要素材来源。

（二）学情分析【重要】

授课对象为高中二年级学生。知识储备上，学生已完成排列组合基本概念、公式以及平面几何基础知识的系统学习，具备进行逻辑推理和简单转化问题的能力。思维特征上，高二学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，他们对于直观的图形有较强的感知力，但面对复杂图形时，往往缺乏有序思考和分类讨论的策略，容易陷入重复计数或遗漏计数的困境。生活经验上，学生对于数图形问题并不陌生，小学、初中阶段已有数线段、数角的基础，但那些多依赖于直观枚举，尚未上升到用组合数模型进行统摄的高度。因此，本课的教学设计着力于在学生已有经验的基础上，设置认知冲突，引导其将“数”的精确性与“形”的直观性有机结合，实现思维水平的跃升。

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.知识与技能目标：掌握多边形中顶点、边、对角线的基本概念及其数量关系；理解并掌握在凸多边形中，以顶点为端点构成的线段、以顶点为顶点的三角形等基本图形的计数方法；能够运用分类讨论与组合数公式解决多边形内各类组合图形的计数问题。

2.过程与方法目标：经历从具体图形的枚举计数到抽象模型的组合计数的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法；通过图形特征的剖析，学会将几何问题转化为组合问题，建立恰当的计数模型，提升化归与转化能力。

3.情感态度与价值观目标：在探究多边形中图形计数规律的过程中，感受数学的对称美与秩序美；通过小组合作与问题辨析，培养严谨求实的科学态度和批判性思维；体验成功解决复杂问题的乐趣，增强学习数学的自信心。

（二）核心素养指向

1.数学抽象：能够从具体的多边形图形中抽象出顶点、边、对角线等几何元素，并将其视为独立的数学对象。

2.逻辑推理：在分类计数过程中，能够依据几何位置关系（如顶点共线、三线共点）进行严谨的逻辑划分，保证计数的“不重不漏”。

3.数学建模：针对不同类型的计数问题（如数三角形、数矩形），能够自主构建以组合数公式为核心的计算模型。

4.直观想象：借助图形直观，分析几何元素之间的位置关系对计数结果的影响，如对角线交点问题。

三、教学重难点

（一）教学重点【重要】【高频考点】

1.凸多边形顶点中任选三点构成三角形的计数通法，即C(n，3)及其限制条件的讨论。

2.多边形中，以顶点为端点的所有线段（包括边和对角线）的条数计算，即C(n，2)。

3.对角线在多边形内部交点的计数问题，其本质是四顶点确定一个交点。

（二）教学难点【难点】

1.当所计数的图形不仅仅以顶点为顶点，而是以对角线交点或其他几何元素为顶点时（如多边形内互不重叠的区域计数），如何合理构造计数模型。

2.处理复杂图形时，如何避免因图形对称性产生的错觉，进行科学的分类与分步。

3.将实际问题（如网格中的多边形）与组合计数模型进行精准匹配。

四、教学实施过程（核心环节）

（一）溯源启思：从“数线段”到“数交点”【基础】

1.情境引入

教师首先在黑板或多媒体上呈现一个凸六边形ABCDEF，并连接所有对角线，形成一个错综复杂的网格图形。教师提出问题：“同学们，我们小学时就学过数线段，请大家观察这个图形，它里面有多少条线段？这些线段除了六边形的边，还有大量对角线。如果让你来计算所有线段的条数，你会怎么做？”

学生自然会想到可以一条一条地数，但很快会发现图形复杂，容易出错。此时教师引导学生转换视角：“线段是由什么确定的？两个端点。那么，这个图形中线段的端点都有哪些？”学生通过观察，发现所有线段的端点都是多边形的顶点。

2.模型初建【核心模型】

教师顺势引导：“既然是顶点之间的连线，那么任意两个顶点是否唯一确定一条线段？”学生肯定回答。教师追问：“那么，在一个凸n边形中，有多少个顶点？”学生回答n个。“从n个顶点中任意选取2个，可以连成一条线段，这种选取方式有多少种？”学生顺利答出C(n，2)种。

教师进行板书：凸n边形中，所有顶点间的连线（包括边和对角线）总数为C(n，2)=n(n-1)/2。

以六边形为例，C(6，2)=15，学生对照图形验证，发现确实有6条边和9条对角线，共计15条，与模型计算吻合。这一环节通过将“数”转化为“算”，初步建立了“图形元素”与“组合模型”之间的联系，为后续深入学习打下坚实基础。

（二）进阶探究：多边形中的三角形计数【重要】【高频考点】

1.问题变式

在完成线段计数后，教师提出问题：“同学们，我们刚才用组合的思想解决了线段的计数问题。现在，请观察这个布满对角线的六边形，它内部包含着大量的三角形。我们如何来数出所有三角形的个数呢？注意，这些三角形的顶点可能是原多边形的顶点，也可能是对角线的交点。”

教师将一个简单问题作为铺垫：“如果只考虑顶点都是原六边形顶点的三角形，有多少个？”

学生经过思考，指出这相当于从6个顶点中任选3个，只要这三个点不共线（在凸多边形中，任意三个顶点都不共线），就能构成一个三角形。因此，个数为C(6，3)=20。

教师予以肯定，并指出这是多边形中三角形计数最简单、最基础的情形。

2.深度探究【难点突破】

教师将问题深化：“现在，我们将所有对角线的交点也纳入考虑。也就是说，三角形的三个顶点可以是原多边形的顶点，也可以是对角线的交点。这样的三角形总数怎么求？我们以五边形为例进行研究，因为五边形的对角线交点相对简单。”

教师引导学生画出凸五边形及其所有对角线，五条对角线会形成一个五角星，内部有一个小的五边形和若干个三角形。

教师组织小组合作探究：要求各小组通过分类讨论的方式，找出所有三角形，并尝试用组合数计算。学生通过讨论，发现直接枚举非常困难，必须找到合理的分类标准。

各小组汇报后，教师引导总结分类方法。根据三角形顶点的来源，可以分为三类：

（1）【基础类】三个顶点都是原五边形的顶点。数量为C(5，3)=10。

（2）【进阶类】两个顶点是原五边形的顶点，一个顶点是对角线的交点。这类三角形如何计数？学生观察发现，对角线交点是由两条对角线相交而成，而每条对角线的端点都是两个顶点。一个交点对应着两条对角线，即对应着四个顶点。在这四个顶点中，任选两个作为原五边形的顶点，与这个交点是否能构成三角形？需要仔细分析。实际上，对于五边形，每一个内部交点都是由两条对角线相交而成，这个交点与这四个顶点中的任意两个（非共线组合）可以构成三角形。但这种方法计算复杂，容易重复。另一种更清晰的视角是：每一个这样的三角形，都可以看作是从五边形顶点中先选出四个顶点，它们构成一个四边形，这个四边形的两条对角线交于一点，那么以这个交点和这四个顶点中的某两个顶点（位于同一条对角线上除外）构成三角形。此阶段重在思路引导，不要求学生立刻得出精确数字，而是体验分类的复杂性。

（3）【高阶类】一个顶点是原五边形的顶点，两个顶点是交点；或者三个顶点都是交点。教师指出，这些情况更为复杂，其计数往往需要借助图论或递推关系。

教师总结：对于复杂的多边形内部三角形计数问题，分类必须遵循“不重不漏”的原则，且往往要借助图形本身的对称性和结构特征。本环节旨在通过认知冲突，激发学生的探究欲望，让他们意识到简单套用组合数是不够的，必须结合图形位置关系进行细致分析。

（三）专题精讲：核心模型深度剖析

1.模型一：多边形对角线交点计数【重要】【高频考点】

教师提出问题：“对于一个凸六边形，它的所有对角线在内部有多少个交点？（假设任意三条对角线不交于一点）”

学生思考后，有学生提出：两条对角线确定一个交点。但两条对角线的选取有什么要求？教师引导学生分析：要产生一个内部交点，这两条对角线必须是不共享顶点的。如果两条对角线共享一个顶点，那么它们交于该顶点，这是顶点，不是内部交点。

进一步分析：一个内部交点由两条对角线相交而成，而每条对角线由两个顶点确定。因此，一个内部交点本质上是由四个顶点确定的：这四个顶点构成一个凸四边形，这个四边形的两条对角线交于唯一的一点。反之，凸多边形中任意四个顶点，都可以连出一个四边形，其两条对角线会在多边形内部交于一点（凸多边形性质）。

至此，一个完美的数学模型建立起来：凸n边形中，其内部对角线的交点数（无三线共点情况）等于从n个顶点中选取4个顶点的组合数，即C(n，4)。

以六边形为例，C(6，4)=15，即内部有15个交点。学生验证图形（如六边形中对角线交点个数），加深理解。此模型将“交点计数”巧妙地转化为“顶点选取”问题，体现了数学建模的精髓。

2.模型二：对角线分割的区域计数

这是一个更高层次的问题。教师提出问题：“一个凸六边形，画出所有对角线，它内部被分割成了多少个互不重叠的小区域？”

这个问题极具挑战性。教师引导学生从简单情况入手：三角形，连接所有对角线（即三条中线），但三条中线交于一点，分割成6个区域。四边形，两条对角线交于一点，分割成4个区域。

对于n边形，区域数有一个著名的欧拉公式背景下的结论。但教师可以从本节课的模型出发，引导学生建立递推关系或利用组合计数原理。

思路一：从顶点出发的每一条对角线，都会被其他对角线截成若干段，每一段都会将一个已有的区域一分为二，从而增加区域数。通过计算所有对角线被分割成的总段数，再加上初始的1个区域（多边形本身），可以推导出公式。

思路二：利用欧拉公式V（顶点数，包括原顶点和内部交点）-E（线段数）+F（区域数，含外部区域）=1（对于连通平面图）。顶点数V=n（原顶点）+C(n，4)（内部交点）。线段数E如何求？可以从每个顶点的度数出发。原多边形每个顶点处有多少条线段？有n-1条连接其他顶点的线，但这些线都被内部交点分割。另一种方式：所有顶点（包括内部交点）的总度数之和的一半。这个探究过程虽然耗时，但能极大锻炼学生的综合思维能力。教师在此处重点在于展示思维路径，给出结论，并鼓励学有余力的学生课后推导。

（四）变式拓展：网格中的多边形组合计数【热点】

1.问题呈现

教师将情境从“任意凸多边形”迁移到“格点多边形”，即顶点都在方格纸格点上的多边形。例如，在一个2×3的网格矩形中，以格点为顶点，可以构成多少个不同的矩形？

这个问题是初中数学的经典问题，但其背后依然是组合计数原理。教师引导学生分析：要确定一个矩形，在网格中需要确定几条线？实际上，在由m条水平线和n条竖直线组成的网格中，一个矩形由其两条水平线和两条竖直线唯一确定。

因此，矩形的个数为C(m，2)×C(n，2)。例如，在2×3的网格中，有3条水平线（2行格点）和4条竖直线（3列格点），则矩形个数为C(3，2)×C(4，2)=3×6=18。

教师进一步拓展：如果要求数的是正方形呢？那就要分类讨论边长为1、2、3……的正方形分别有多少个。这又涉及到了分类讨论与等差数列求和。

2.综合应用【核心素养提升】

教师给出一个更综合的问题：在一个由单位正方形组成的n×m的网格中，以格点为顶点，可以构成多少个三角形？这些三角形的顶点不能共线。

这是一个开放性问题。学生分组讨论，初步想法是：先计算所有格点中任选三点的组合数，再减去其中三点共线的情况。

设格点总数为N=(n+1)(m+1)。总组合数为C(N，3)。

三点共线的情况分为三种：

（1）水平方向共线：每一行有(m+1)个格点，共(n+1)行。每行中三点共线的组合数为C(m+1，3)。总水平共线数为(n+1)×C(m+1，3)。

（2）垂直方向共线：每一列有(n+1)个格点，共(m+1)列。总垂直共线数为(m+1)×C(n+1，3)。

（3）对角线方向共线（斜率不为0的直线）：这是最复杂的情形。需要找出所有斜率为正或负的直线上，至少有三个格点的情况。例如，在正方形网格中，斜率为1的对角线上，格点个数随着位置不同而变化。这需要根据网格的具体尺寸，进行分类枚举。例如，对于n=m的正方形网格，斜率为1和-1的直线族上的格点计数有对称性，可以利用等差数列求和。

此环节将本课的思维推向高潮，它要求学生不仅具备组合计数的能力，还要有敏锐的几何直观和严谨的分类讨论意识。教师在此过程中扮演引导者和组织者的角色，鼓励学生大胆假设、小心求证，对于复杂的斜线情况，不要求全部算出精确值，重在理解算法的原理和步骤。

（五）总结反思：构建知识体系

1.知识图谱梳理

教师引导学生回顾本节课的探究历程，从最初的数线段（C(n，2)），到数三角形（C(n，3)及其复杂情形），再到数对角线交点（C(n，4)），最后延伸到格点问题。师生共同绘制出知识树：核心是“组合数模型”，关键是“将几何元素对应到组合对象（点、线、面）”，灵魂是“分类讨论与化归思想”。

2.思想方法提炼【重要】

（1）对应思想：将图形的计数问题，转化为对图形中基本元素（如顶点、交点）的选取问题，从而用组合数进行表示。

（2）模型化思想：对于特定类型的问题，如“多边形对角线交点个数”，可以提炼出C(n，4)这一标准模型，实现快速求解。

（3）分类讨论思想：当问题复杂、单一模型无法覆盖时，需按照几何位置或构成要素进行科学分类，确保不重不漏。

3.学习评价与反思

教师对本节课各小组的表现进行点评，表扬在探究过程中有独到见解和严谨态度的学生。同时，提出一个课后思考题：“今天我们研究的都是凸多边形，如果多边形是凹的，上述结论（如对角线交点个数）还成立吗？如果不成立，会发生什么变化？”引导学生将探究延伸到课外，保持思维的连续性。

五、作业设计与拓展延伸

（一）基础巩固【基础】

1.一个凸八边形，连接所有对角线，求：

（1）共有多少条对角线？

（2）这些对角线在内部有多少个交点？（假设无三线共点）

2.在一个凸七边形中，以它的顶点为顶点的三角形共有多少个？

（二）综合应用【重要】

1.在由5行6列（即5×6）个点组成的网格点阵中，以这些点为顶点，可以组成多少个矩形