工程基础及控制 16

第三章控制系统的时域分析Lecture6稳定性概念劳斯稳定判据相对稳定性2026/8/4Whatwewilllearn?2of50一个控制系统能够正常工作的首要条件是它必须是稳定的。绝对稳定性：指系统是否稳定。相对稳定性：指系统稳定的程度。2026/8/4稳定性概念3of50系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某一状态，并且维持在此状态不再发生变化时，称这种状态为系统的平衡状态。A点为此单摆系统的平衡位置。稳定性概念2026/8/44of50由于扰动作用，使系统的工作状态发生变化，当扰动消失后，如果系统的状态能回复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。2026/8/4稳定性概念5of50线性系统在初始条件作用下，如果其输出量最终返回到原平衡状态，那么系统是稳定的；如果输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定；如果输出量无限制地偏离原平衡状态，则称系统是不稳定的。稳定临界稳定不稳定稳定性概念2026/8/46of50在初始条件为零时，如果线性系统的单位脉冲响应随时间收敛于原平衡工作点，则系统稳定；若发散，则系统不稳定；若趋于某常数（非原平衡工作点）或者出现等幅振荡，则系统临界稳定。稳定临界稳定不稳定稳定性概念2026/8/47of50在初始条件为零时，如果一个系统对任意的有界输入，其输出是有界的，则称该系统是有界输入有界输出稳定，即BIBO稳定。稳定性概念2026/8/48of502026/8/4塔科马海峡大桥在风暴中剧烈扭曲，塔科马，华盛顿，1940年稳定性概念9of502026/8/4稳定性概念塔科马海峡大桥在风暴中剧烈扭曲，塔科马，华盛顿，1940年10of50系统的闭环传递函数为：2026/8/4q(s)=0的根称为系统的极点

p(s)=0的根称为系统的零点稳定性概念11of50系统的单位脉冲响应为(whenN=0)：2026/8/4为了得到有界响应，闭环系统的极点必须在s左半平面稳定性概念12of50闭环极点的位置与稳定性的关系2026/8/4Theconceptofstability稳定临界稳定不稳定13of502026/8/4UnstableStable稳定性概念14of50线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：系统特征方程所有根（系统的特征根）都具有负实部，或系统的所有极点都位于左半s开平面（即不包含虚轴的左半平面）上。2026/8/4稳定性概念15of50目的：

避免对特征方程直接求解，根据系统特征方程的系数来判别系统稳定性。系统稳定的必要条件：系统特征多项式的全部系数同号，且无一系数为零。2026/8/4劳斯稳定判据16of50Example12026/8/4系统的特征方程为：判断该系统是否稳定？解:特征方程中s3的系数为负，不满足系统稳定的必要条件，故系统不稳定。劳斯稳定判据17of50Example22026/8/4系统的特征方程为：判断该系统是否稳定？解:特征方程的所有系数同号，且不为零。满足系统稳定的必要条件。到目前为止，我们尚无法确定该系统是否稳定。劳斯稳定判据18of50系统的特征方程为：:首先，构造劳斯表的前两行2026/8/4劳斯稳定判据19of50完成劳斯表的构造2026/8/4?!劳斯稳定判据20of50计算第三行元素2026/8/4劳斯稳定判据21of50计算第四行元素2026/8/4劳斯稳定判据22of50劳斯稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳斯表首列非零且不改变符号。如果劳斯表首列中无零，则首列元素符号变化的次数等于系统特征方程的正实部根的数目。2026/8/4劳斯稳定判据23of50劳斯判据以闭环特征方程判定闭环系统稳定性劳斯表一行中所有各数都乘以或除以一个正数，不影响系统稳定性的判断劳斯表的行数等于方程阶次加1，最后两行每行只有一个元素。当系统的特征方程为代数方程，并且所有系数都是实数时，劳斯判据才可适用。2026/8/4劳斯稳定判据24of50四种情况劳斯表首列的系数没有出现零;劳斯表某行第一列的系数等于零，此行其余项不全为零;劳斯表中某行的所有系数都为零;劳斯表中某行的所有系数都为零，且虚轴上有重根。2026/8/4劳斯稳定判据25of50Example2(cont’d)2026/8/4Case1:劳斯表首列的系数没有出现零26of502026/8/4Example2(cont’d)27of502026/8/4Example2(cont’d)28of502026/8/4Example2(cont’d)变号两次，有两个根在右半s平面。29of50解法：以一无穷小的正数ε

代替0，然后继续排劳斯表。2026/8/4Case2:劳斯表某行第一列的系数等于零，此行其余项不全为零30of50Example3系统的特征方程为：试判断该系统的稳定性。解：该特征方程的所有系数同号且非零，满足系统稳定的必要条件。为判断系统的稳定性，需要列写系统的劳斯表。2026/8/431of50Example3(cont’d)2026/8/4首列元素为零，以无穷小的正数ε替换零，然后继续排劳斯表ε趋于零时，此项小于零ε

趋于零时，此项大于零首列元素符号变化两次，有两个根位于右半平面32of50在劳斯表中有一行系数全为零，说明存在因子(s+σ)(s-σ)

或(s+jω)(s-jω)

解法：利用全零行上面一行的元素组成辅助方程，对辅助方程求导，将所得的方程的系数代替零行的系数，然后继续排劳斯表。2026/8/4Case3:劳斯表中某行的所有系数都为零33of50如果劳斯表中某行第一列元素为零或出现全零行，那么系统必定不稳定（特殊情况临界稳定）解辅助方程可以得到对称的根。正根数可以根据劳斯表首列元素变号次数来定。2026/8/4Case3:劳斯表中某行的所有系数都为零34of50Example4系统的特征多项式为：

判断系统是否有位于虚轴或右半平面内的根？2026/8/435of50Example4(cont’d)2026/8/4劳斯表首列元素不变号，因此没有根位于开右半平面内。解辅助方程，可得位于虚轴上的根36of50Case4:劳斯表中某行的所有元素都为零，且虚轴上有重根2026/8/4auxiliarypolynomial37of502026/8/4auxiliarypolynomialCase4:劳斯表中某行的所有元素都为零，且虚轴上有重根38of502026/8/4劳斯表首列元素不变号，因此没有根位于开右半平面内。解辅助方程，得到位于虚轴的重根。Case4:劳斯表中某行的所有元素都为零，且虚轴上有重根39of502026/8/4Example5:Robotcontrol40of50Example5:Robotcontrol2026/8/4解辅助方程，得位于虚轴上的根41of50Example5:Robotcontrol2026/8/4劳斯表首列元素变号两次，说明有两个根位于开右半平面内。42of50Example6:Weldingcontrol2026/8/4Goal:

确定使系统稳定的K和a

的取值范围Answer:

系统的特征方程为：43of502026/8/4Example6:Weldingcontrol44of50相对稳定性闭环负极点离开虚轴越远，系统的相对稳定性就越好。2026/8/4图中极点r3的稳定性相对而言要比极点r2和r1好。45of50利用劳斯判据判断系统相对稳定性Step1：将虚轴移至s=-σ1处，即令s=z-σ1Step2：在新的坐标系中利用劳斯判据进行判断。如果所有特征根均在新虚轴的左边，则系统就有稳定裕量σ12026/8/4相对稳定性46of50系统的特征方程为：

试确定系统有多少个根位于s=-1的右边？2026/8/4相对稳定