人教版八年级数学下册专题讲解+课后训练及答案解析：特殊平行四边形

-4-八年级数学下册专题讲解+课后训练及答案解析：特殊平行四边形特殊平行四边形的综合重难点易错点辨析矩形、菱形、正方形题一：如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是()A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形金题精讲题一：如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．题二：(1)如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．(2)如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．(3)如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．题三：已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接DE，连接BG并延长交DE于F．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DA，判断四边形BGD是什么特殊四边形？并说明理由．题四：如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？(2)若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、M、N恰好能组成平行四边形？思维拓展题一：如图，四边形ABCD中，已知，CD=6，∠ABC=135°，∠BCD=120°，求AD的长．特殊平行四边形的综合讲义参考答案重难点易错点辨析题一：D．金题精讲题一：(1)略；(2)1；2．题二：(1)菱形；(2)矩形；(3)正方形．题三：(1)略；(2)平行四边形．题四：(1)8；(2)2或6．思维拓展题一：．特殊平行四边形课后练习说法中，正确的是()A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是()A．当AB=CD，AO=DO时，四边形ABCD为矩形B．当AB=AD，AO=CO时，四边形ABCD为菱形C．当AD∥BC，AC=BD时，四边形ABCD为正方形D．当AB≠CD，AC=BD时，四边形ABCD为等腰梯形如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

①求证：四边形EFGH是平行四边形．

②探索下列问题，并选择一个进行证明．

a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是矩形．

b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形．

c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．

(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；

(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)

①当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．

(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？

(3)若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：

(1)①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；

②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；

④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；

(2)请对(1)中①②你所写的结论进行证明．

(3)反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

(1)求证：△MBA≌△NDC；

(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q．

(1)试说明△PCM≌△QDM；

(2)当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线DCB方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．

(1)若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？

(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN过此交点，请求出运动的时间；如果线段MN不过此交点，请说明理由．

特殊平行四边形课后练习参考答案C．详解：A．对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；

C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；

D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；

故选C．C．详解：选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；

选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；

选项C的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；

选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；

故选C．见详解．详解：①连接AC，BD，

∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．

②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH是矩形．

b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=AC，EH=BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；

c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．

故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．见详解．详解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，

∴∠DBA∠FBA=∠FBC∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．

在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．

∴四边形ADFE是平行四边形．

(2)当∠BAC=150°，∠DAE=360°60°60°150°=90°，∴平行四边形DAEF是矩形．

当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．

当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．见详解．详解：连AC，设AC、BD相交于点O，

(1)∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，

∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；

(2)∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．

∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；

(3)四边形ABCD不是矩形．见详解．详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形；

(2)结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．

∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．

②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．

∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．

∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．

∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．

∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．

∴四边形EFGH为菱形．

(3)当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．

当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；

(2)四边形MPNQ是菱形．

理由如下：连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，

∴AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，

∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，

∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，

∵MP=BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．见详解．详解：(1)四边形ABCD是菱形；

(2)∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，∴∠MAD=∠DAC=∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN，∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，

∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，

∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．见详解．详解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，

∵M是CD的中点，∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；

(2)当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，

∵BCCP=AD+QD，∴8CP=5+CP，∴CP=(85)÷2=1.5，

∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．见详解．详解：(1)∵点N只在AD上运动，

∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，

即2.5＜t＜7.5，

设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：

①当M点在E点右侧，

如图：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，

∵DN=t，CM=2t5，∴AN=10t，EM=104(2t5)，

∴10t=104(2t5)，解得：t=1，

∵2.5＜t＜7.5，∴t=1舍去；

②当M点在B点与E点之间，如图，则MC=2t5，BM=10(2t5)=152t，

∴ME=4(152t)=2t11，2t11=10t，解得t=7，此时符合，

∴当t=7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；

(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，

在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM，

设N运动的时间是t秒，则10t=2t5，解得：t=5，即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．8．详解：∵AD