山东省聊城市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

山东聊城市2025-2026学年第二学期期末教学质量检测高二数学试题一、单选题1．随机变量，，则，分别为（

）A．2，1.6 B．4，3.2 C．4，6.4 D．8，6.42．对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（

）A． B． C． D．3．有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则等于（

）A． B． C． D．4．已知函数，则（

）A． B． C． D．5．4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（

）A．36种 B．72种 C．144种 D．576种6．已知在的展开式中，的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．7．若恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，“经过5次摸球停止摸球”的概率是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列线性回归分析与分类变量独立性检验的相关说法中，正确的有（

）A．相关系数的绝对值越大，变量线性相关程度越强B．决定系数越大，模型对数据的拟合效果越差C．绘制残差图时，残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明回归模型的预测精度越高D．独立性检验中，随机变量的值越大，作出推断“认为两变量和不独立”犯错误的概率越小10．设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（

）A． B．C． D．11．设函数和图象交点的横坐标为，下列说法正确的是(

)A．若在定义域上不单调，则B．若和有相同的最小值，则C．当时，D．当时，若，，则三、填空题12．元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______．13．已知函数没有极值点，则________．14．已知某产品在2月份到6月份销量如下表：月份23456销量42536680109设关于的函数，则当取最小值时，的值为________．四、解答题15．某班级学习小组共有9名学生，其中男生5名女生4名，计划参与校园文化节相关活动．(1)活动要求小组至少派1人参与，参与人数不限，每名学生均可选择参与或不参与，请问共有多少种不同的参与方案？(2)若小组9名学生都获得了活动入场资格，现要从9人中随机抽取4人作为活动志愿者．（i）求抽取的4人中女生人数不超过2人的选法种数；（ii）求抽取的4人中至少有1名女生的概率．16．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．17．某学校高二年级开展课外活动兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从艺术类和体育类中选择最喜欢的一类，喜欢艺术类的归为甲组，喜欢体育类的归为乙组．调查发现：甲组成员共人，其中男生人．(1)根据以上数据，完成如下列联表：甲组乙组合计男生女生合计(2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢艺术类还是体育类是否与性别有关；(3)从该校全体女生中按照表中分组比例采用分层抽样的方式，抽取人，再从这人中随机抽取人，设抽取的女生中喜欢体育类的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．参考公式：，其中．参考数据：18．已知函数，且．(1)求值；(2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，求实数的取值范围．19．信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小，设随机变量的分布列为，，定义的信息熵．(1)若，，求；(2)若随机变量，求的最大值；(3)证明：．参考答案1．C解析：首先明确二项分布的数字特征：若随机变量，则期望，方差,本题中，即；代入得：，.因为，根据期望和方差的线性运算性质可得,.2．A解析：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是负相关，相关系数小于0，图2和图4是正相关，相关系数大于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1，由此可得．3．D解析：因为，所以.故选：D.4．B解析：由求导得，因.5．C解析：第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种，因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种.6．B解析：分两类计算的系数：第一类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选，则该项次数为，其中且.令，得，解得可行解或.当：系数为；当：系数为，故第一类对应的系数为.第二类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选，则该项次数为，其中且.令，解得可行解或.：系数为；：系数为，故第二类对应的系数为.综上可得的展开式中的系数为.根据题意列方程：，解得.因此实数的值为.7．D解析：设，，，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，，即恒成立，设，由条件恒成立，得恒成立，即恒成立，设，，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，取得最大值，则.8．A解析：设事件：经过次摸球未能停止摸球；事件：经过次摸球停止摸球，“3次摸球停止”等价于前3次恰好取到1、2、3三个编号，即为3个元素全排列，共种情况，摸3次球的总基本事件数为，因此3次停止的概率，则3次未能停止的概率：，5次摸球的总事件数为，选取前4次出现的2个编号有种，前4次仅用这2个编号且均至少出现1次，有效情况数：种（减去全程只出现单个编号的2种极端情况），第5次必须摸到剩余1个未出现的编号，仅1种情况，综上，符合条件的总事件数：，因此事件的概率：，因为真包含于中，所以，则.9．ACD解析：选项A：相关系数的取值范围是，越接近1，说明变量间的线性相关程度越强，因此越大线性相关程度越强，A正确；选项B：决定系数反映回归模型对数据的拟合效果，越大，说明模型能解释的因变量变异占比越高，拟合效果越好，B错误；选项C：残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明残差的波动幅度越小，回归模型的拟合效果越好，预测精度越高，C正确；选项D：独立性检验中，值越大，对应的“两变量独立”的概率越小，因此推断“不独立”时犯错误的概率越小，D正确.10．AC解析：对于A，因为正态密度曲线关于直线对称，由图可知的对称轴在的对称轴左侧，所以，故A正确；对于B，因为正态密度曲线越“高瘦”，越小；曲线越“矮胖”，越大，由图可知的曲线比的曲线更“高瘦”，所以，故B错误；对于C，因为随机变量，其密度曲线关于对称，所以.因为在的右侧，所以，则，即，故C正确；对于D，根据正态分布的概率性质，，，因为，所以，故D错误.11．ABD解析：对于A，的定义域为，，若在定义域上不单调，则在上有解，解得，因为，所以，即，故A正确.对于B，，若有最小值，则，令，得，故的最小值为，若有最小值，则，令，即，得，故的最小值为，若和有相同的最小值，则，当时，等式成立，故B正确.对于C，因为，所以，整理得，当时，，，故,即，得，因为，所以只需大于某个小于的数即可，并非，故C错误.对于D，当时，，，若，则，变形得，构造函数，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，若，则仅当时等号成立，即，故D正确.12．/解析：用表示任选一题选到灯谜题目中逻辑推理，传统灯谜，一中文化，则，记伟同学任意抽取一道题目答对为事件为，则，所以.故答案为：.13．解析：由，得，因为无极值点，所以，所以，即，即，所以，解得，所以，.14．/解析：依题意，，，依题意，，当取最小值时，.15．(1)511(2)（i）105；（ii）解析：（1）每个学生都有参与、不参与两个结果，因此9名学生的不同参与结果有种，又活动要求小组至少派1人参与，则符合题意的结果中不含9名学生都不参与的情况，所以不同的参与方案共有511种.（2）（i）抽取的4人中女生人数不超过2人有三种情况：抽取的4人全是男生，有种；抽取的4人中有1名女生，有种；抽取的4人中有2名女生，有种，所以抽取的4人中女生人数不超过2人的选法种数是.（ii）从9名学生中任抽4名，有种，其中抽取的4人全是男生，有种，所以抽取的4人中至少有1名女生的概率为.16．(1)0(2)(3)6561解析：（1）解：由，令，可得，令，可得，所以.（2）解：由，所以.（3）解：由，可得展开式中的系数为，所以都大于零，而都小于零，则，令，可得，所以．17．(1)列联表如下：甲组乙组合计男生女生合计(2)依据小概率值的独立性检验，认为学生喜欢艺术类还是体育类与性别有关；(3)的分布列为：数学期望解析：（1）由题意得，男生共人，甲组男生人，因此乙组男生人数为；甲组共人，因此甲组女生人数为；女生共人，因此乙组女生人数为；乙组总人数为，总样本量为，据此填写列联表如下：甲组乙组合计男生女生合计（2）提出零假设：学生喜欢艺术类还是体育类与性别无关.由，所以，小概率值对应的临界值，由于，因此推断不成立，即认为学生喜欢艺术类还是体育类与性别有关.（3）女生中喜欢艺术类、体育类的人数比为，按分层抽样抽取人时，抽取的喜欢艺术类的人数为，喜欢体育类的人数为.从人中随机抽取人，的所有可能取值为，所以服从超几何分布，概率计算公式为.，，，据此得到的分布列：数学期望.18．(1)(2)或解析：（1）令，可得：，由于，所以，则，所以，解得：（2）由（1）可得，由，可得，所以曲线在点处的切线为，即，由曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，则，即有两个解，令则将问题转为直线与的图象有两个交点，，令，解得或，令，解得，所以的单调增区间为，减区间为：，极大值为，极小值为，当时，，当时，所以要使直线与的图象有两个交点