人教版九年级数学上册《第二十五章一元二次方程》单元测试卷（带答案）

第页人教版九年级数学上册《第二十五章一元二次方程》单元测试卷（带答案）【人教版2026】考试范围：人教版第二十五章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟注意事项：1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。4．请仔细审题，认真作答。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是（

）A．1，4，1 B．2，-5，0 C．3，4，0 D．-2，-5，13.将方程配方后，原方程变为（

）A． B． C． D．4．若一元二次方程的两根为，则的值是（

）A． B． C． D．5．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表：据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（

）A． B． C． D．6.已知关于x的方程，下列说法中正确的是（

）A．当时，方程有两个不相等的实根B．当时，方程无解C．当时，方程只有一个实根D．当时，方程一定有两个不相等的实根7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（

）A． B．C． D．8.如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（）新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中…开启新对话给发送消息88深度思考（）联网搜索+A．1 B． C． D．1或9．定义新运算：，例如：．若，则的值为（

）A． B．或 C． D．或10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（

）A． B． C． D．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．．若关于x的方程是一元二次方程，则______．12已知则______．13．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第个图．14如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______．15．在菱形中，点、分别是、边上的点，将沿翻折在同一平面内，使点的对应点落在上，与的角平分线交于点，点为的中点，连接，若，AB=9，则．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．(本小题8分)解方程：(1)；(2)；(3)（用配方法）；(4)．17.(本小题8分)下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：二次项系数化为1，得，……第一步移项，得，……第二步配方，得，……第三步，……第四步由此可得，……第五步解得……第六步(1)任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．18.(本小题8分) 关于x的一元二次方程．(1)判定此方程根的情况；(2)等腰的两边的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值．19.(本小题8分)配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值我们可以通过以下方法求代数式的最小值．解：当时，有最小值．请根据上述方法，解答下列问题：(1)若，则________；________．(2)求代数式的最值；20(本小题10分)在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．(1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？(2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．21.(本小题10分)某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标．(1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率；(2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现．22(本小题12分)2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，该商店推出促销活动，已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件(1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元，则当天销售量为_________件；(2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元；(3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．23(本小题12分）如图，在矩形中．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为．(1)当__________时，四边形是矩形；(2)当__________时，四边形是菱形；(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．(4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．参考答案与解析一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C解：A．方程中含有两个未知数x和y，是二元二次方程，不符合一元二次方程的定义，故A不符合题意；B．方程中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；C．方程仅含一个未知数x，且x的最高次数为2，同时为整式方程，符合定义，故C符合题意；D．方程中含有分式，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故D不符合题意．故选：C．2．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是（

）A．1，4，1 B．2，-5，0 C．3，4，0 D．-2，-5，1【答案】B解：原方程为展开左边得移项，得方程化简为可得故选：B．3.将方程配方后，原方程变为（

）A． B． C． D．【答案】C解：∴；故选C．4．若一元二次方程的两根为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D解：∵方程中∴∴．5．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表：据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C解：时时关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为故选：C．6.已知关于x的方程下列说法中正确的是（

）A．当时方程有两个不相等的实根B．当时方程无解C．当时方程只有一个实根D．当时方程一定有两个不相等的实根【答案】A解：A：当时方程为解得有两个不相等的实根正确．B：当时方程为解为有解原说法错误．C：当时方程为：判别式方程有两个不相等的实根原说法错误．D：当时判别式．当时方程有两个相等实根故“一定有两个不相等的实根”错误．故选A．7.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步面积是平方步问长比宽多几步？若设长为步根据题意可列方程是（

）A． B．C． D．【答案】A解：设长为步长和宽的和为步宽为步矩形面积长宽已知矩形面积为平方步可列方程为8.如图是小明与的对话在深度思考后给出的正确答案是（）新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方再减去这个数最后加上1其运算结果和这个数相同．深度思考中…开启新对话给发送消息88深度思考（）联网搜索+A．1 B． C． D．1或【答案】A解：设这个数为x由题意得：整理得：解得：这个数为1故选A．9．定义新运算：例如：．若则的值为（

）A． B．或 C． D．或【答案】D解：∵而∴①当时则有解得；②当时解得综上所述x的值是或．故选：D．10．如图将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形则该等腰三角形的底边长为（

）A． B． C． D．【答案】D解：如图等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形根据题意得∴解得：(负值舍去)∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形∴即：∴即：．故选：D．二填空题：本题共5小题每小题3分共15分。11．．若关于x的方程是一元二次方程则______．【答案】解：∵是一元二次方程∴且解得且故；故答案为：．12已知则______．【答案】—2026解：由题意得且可知是一元二次方程的两个不相等的实数根根据根与系数的关系得．13．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感还存在数学规律的图案请仔细观察按此规律如果某个图中小圆的个数恰好为60个那么它应该是第个图．【答案】7解：由题意可知第1个图形有小圆个；第2个图形有小圆个；第3个图形有小圆个；第4个图形有小圆个；∴第n个图形有小圆个设第x个图中小圆的个数恰好为60个根据题意得解得（不符题意舍去）所以第7个图中小圆的个数恰好为60个．故答案为：7．14如图1为一矩形纸板长宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形然后将四周凸出部分折起就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______．【答案】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为．根据题意得．整理得．解得．当时不合题意舍去．所以即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1．故答案为：1．15．在菱形中点分别是边上的点将沿翻折在同一平面内使点的对应点落在上与的角平分线交于点点为的中点连接若则．【答案】解：连接过点作交延长线于点作交于点过点作于点∵四边形是菱形∴∴∴在中在中设则∴∵∴∵翻折∴设∵在中∴解得：（舍）∴∴∴在中∵∴∵∴解得：∵与的角平分线交于点∴∵∴∴∴∵点为的中点∴故答案为：．四解答题：本题共8小题共75分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。16．(本小题8分)解方程：(1)；(2)；(3)（用配方法）；(4)．（1）解：．（2）解：或．（3）解：．（4）解：整理得：．17.(本小题8分)下面是小明同学解一元二次方程的过程请认真阅读并完成相应任务．解：二次项系数化为1得……第一步移项得……第二步配方得……第三步……第四步由此可得……第五步解得……第六步(1)任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？②哪一步首先出现错误错误的原因是什么？(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．解：（1）①根据题干信息解此一元二次方程的方法是配方法配方法依据的数学公式是完全平方公式②第三步首先出现错误配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方右边未同时加上该数等式不成立．（2）二次项系数化为1得移项得配方得即由此可得解得．18.(本小题8分) 关于x的一元二次方程．(1)判定此方程根的情况；(2)等腰的两边的长是方程的两个实数根第三边的长为5求k的值．（1）证明：．方程有两个实数根；（2）解：由且得∴即的长为当时三边为551满足三角形构成条件此时解得；当时三边为511不满足三角形构成条件．综上所述．19.(本小题8分)配方法是代数变形的重要手段是研究相等关系和不等关系的常用方法配方法不仅可以用来解一元二次方程还可以用来求某些代数式的最值我们可以通过以下方法求代数式的最小值．解：当时有最小值．请根据上述方法解答下列问题：(1)若则________；________．(2)求代数式的最值；解（1）：∵∴∴故答案为：2；1．（2）由题意得∵∴当时有最小值无最大值．20(本小题10分)在我国端午节作为传统佳节历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有两条不同的粽子生产线生产线每小时加工粽子个生产线每小时加工粽子个．(1)若生产线一共加工小时且生产粽子总数量不少于个则B生产线至少加工多少小时？(2)原计划生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺在实际生产过程中生产线每小时比原计划多生产个（）生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时生产线每天比原计划少工作小时这样一天恰好生产粽子个求的值．解：（1）设生产线加工小时则生产线加工小时根据题意可得：

解得：答：生产线至少加工小时；（2）由题意可得：

整理得：

解得（不符合题意舍去）

答：的值为．21.(本小题10分)某工厂为了提高生产效率正对生产线进行技术改革在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标第三试验阶段实现了日产量2160件的目标．(1)如果第二阶段第三阶段日产量的增长率相同求该生产线日产量的增长率；(2)按照（1）中的日产量增长率该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件请通过计算说明他们的目标能否实现．解：（1）该生产线日产量的增长率依题意得：解得：（不合题意舍去）．答：该生产线日产量的增长率为；（2）能理由如下：依题意（件）．他们的目标能实现．22(本小题12分)2026年4月伴随着”城市荣耀绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身以球兴城”的初心彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱该商店推出促销活动已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元经市场调研发现当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时每天可销售280件；当销售单价每增加1元每天的销售数量将减少10件(1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元则当天销售量为_________件；(2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时该产品的当天销售利润是2610元；(3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能请求出此时的销售单价；若不能请说明