2025-2026学年山东省日照实验高级中学高一下册第二次阶段性考试数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.=（）A. B. C.32 D.2.在中，为钝角，则点（）A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限3.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）A. B.C. D.21+4.已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A. B.33 C. D.36.已知，，且b在a上的投影的数量为，则（）A. B. C. D.7.如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度AO为（）A. B.C. D.8.如图，在中，，BC=23，点在边上，，沿翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则的最大值为（）A.2 B. C. D.3二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A.若，则B.C.若，则是锐角三角形D.若a2+b10.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数f(xB.函数f(x)C.函数f(x)D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为11.若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（

）A.点形成的轨迹长度为B.有且仅有一个点使得C.四面体的体积取值范围为D.线段长度最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则_________.13.已知sinα+π14.若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若y=2，则该多面体的表面积为_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：PC⊥（2）证明：平面．16.已知m=−1,23，n（1）求函数fx的解析式及周期T（2）角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若，fB=1，求周长的最大值.17.如图，四边形中，，，，且∠ABC为锐角．（1）求；（2）求△ACD18.如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）求点到面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由.19.在中，角，，所对的边分别为，b，，点为内的一点，且.（1）当时，（ⅰ）求角；（ⅱ）若，a=2，求的值；（2）若，且，，求的最小值.

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.=（）A. B. C.32 D.答案：B解析：思路：根据给定条件，逆用差角的正弦公式即可计算作答.解答过程：.故选：B2.在中，为钝角，则点（）A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限答案：D解析：思路：根据题意，得到为钝角，所以为锐角，可得，，即可求解.解答过程：因为中，为钝角，所以为锐角，可得，，所以点在第四象限.故选：D．3.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）A. B.C. D.21+答案：B解析：思路：把直观图还原成原来的图形，则原图形是平行四边形，根据斜二测画法法则求得原图形的面积.解答过程：直观图还原成原来的图形O′A由斜二测画法，得O′A′=OA所以原图形平行四边形O′A′4.已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：利用线面的位置关系，以及相应的性质定理，结合图形逐项分析即可.解答过程：对A选项：如图所示，由图可知，若，则还有可能相交，故A选项不正确；对B选项：如图所示，由图可知，若，则还有可能m⊂α故B选项不正确；由线面垂直的性质定理可知，若，则成立，故C选项正确；对D选项：如图所示，若，则还有可能n⊂α，故D选项不正确；故选：C.5.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A. B.33 C. D.3答案：C解析：思路：求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解答过程：解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由，得，又，所以，解得；所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．故选：C．6.已知，，且b在a上的投影的数量为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果.解答过程：由题意可得向量b在向量a上的投影数量为：，又，，则，所以.故选：D.7.如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度AO为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据锐角三角函数，分别用含OA的式子表示出和OC，再结合已知条件，列方程求解即可．解答过程：在中，，所以，在中，，所以，因为，两点间距离为，所以，解得．故选：C．8.如图，在中，，BC=23，点在边上，，沿AE翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则的最大值为（）A.2 B. C. D.3答案：C解析：思路：在平面中过作，其中为垂足，在平面中过作AC，连接，利用空间垂直关系的转化可得，利用三角变换结合正弦函数的性质可得，由余弦定理可求的最大值.解答过程：在中，，BC=23由余弦定理知，故，因为，故，在平面中过作，其中为垂足，在平面中过作AC，连接，因为平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.而平面，故平面，而平面，故，因为，故，所以因为，故，故，故，故，故的最大值为，故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A.若，则B.C.若，则是锐角三角形D.若a2+b答案：ABD解析：思路：利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD.解答过程：对于A，在中，，A正确；对于B，，B正确；对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误；对于D，由a2+b2<c2故选：ABD10.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数f(xB.函数f(x)C.函数f(x)D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为答案：ACD解析：思路：根据给定函数的图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项分析求解即可.解答过程：观察函数图象，，函数f(x)的周期为，，由，得，而，则，，对于A，函数f(x)对于B，，函数f(x)的图象关于对于C，当时，，当，即时，f(x)取得最大值2，C正确；对于D，当时，，由，即，得或，解得x=0或，显然，D正确.故选：ACD11.若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且M为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（

）A.点形成的轨迹长度为B.有且仅有一个点使得C.四面体的体积取值范围为D.线段长度最小值为答案：AC解析：思路：A选项，根据题意得所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界）；B选项，寻找到不止一个点使；C选项，根据点不同位置求出点到平面的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积；D选项，结合的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出长度最小值.解答过程：A选项，由线面角的定义可知，，即，故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界），即圆的，轨迹长度为，A正确；如图，设点的轨迹与交于点，B选项，不妨点与点重合，此时，由余弦定理可得：，则，同理可得：，则，故不止一个点使得，B错误；C选项，如图，平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，且平面平面，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离相等，如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为，此时四面体的体积为，当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为，因为，所以，所以最小体积为，故四面体的体积取值范围为，C正确；D选项，当取最小值时，线段长度最小，由三角形两边之和大于第三边知：当A,P,即，则，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则_________.答案：##解析：思路：根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值.解答过程：因为，所以，所以，解得x=故答案为：.13.已知sinα+π答案：##0.28解析：思路：根据诱导公式及二倍角余弦公式求解即可.解答过程：因为sinα+π所以cos214.若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知是CD的中点，，且，沿剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型.若连结这个几何模型的12个顶点得到一个多面体（如图二连结其中三个顶点得到多面体的一个面），若y=2，则该多面体的表面积为_________．答案：解析：思路：根据所给图象观察可知多面体为正二十面体，根据矩形为黄金矩形可得正多面体每个三角形面的边长，利用正三角形面积公式求解即可.解答过程：由图可得：该多面体上部分有5个面，对应的下部分也有5个面，中间部分的前半部有5个面，对应的后半部分也有5个面，所以该多面体为正二十面体.∵，若y=2，则，∵该多面体为正二十面体，∴每面为正三角形，其边长为，∴.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：PC⊥（2）证明：平面．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）先证AC⊥BD和，再由线线垂直证明线面垂直，易得；（2）取的中点，易证，得到，则得，由线线平行即得线面平行.（1）如图，连接AC,BD交于点O，由四边形是正方形，可得AC因平面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）如图，取的中点，连接，由分别是棱的中点．可得，又，则，即得，所以因EF⊄平面，平面，所以平面．16.已知m=−1,23，n（1）求函数fx的解析式及周期T（2）角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若，fB=1，求周长的最大值.答案：（1），（2）33思路：（1）由向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换化简fx（2）由fB=1，求得（1）fx周期；（2）由fB=1可得2sin又0<B<π，则，则，所以.由余弦定理知：b2∴3=a∴，当且仅当时“=”成立，此时为等边三角形，又，所以的周长的最大值为33.17.如图，四边形中，，，，且∠ABC为锐角．（1）求；（2）求△ACD答案：（1）（2）33思路：（1）由三角形面积公式求得∠ABC，利用余弦定理求得AC，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解；（2）由面积公式即可得解.（1）由已知，∵∠ABC是锐角，∴．由余弦定理可得，则．∵，∴BD是四边形外接圆的直径，∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知（2）由，，，，则,,又，则，因此，故△ACD的面积为318.如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.（1）证明：平面；（2）求点到面的距离；（3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出CF的长，若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.解析：思路：（1）利用面面垂直的性质推理即得.（2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解.（3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果.（1）在三棱台中，平面平面，，而平面平面，平面，所以平面.（2）由棱台性质知：延长交于一点，由A1B1=12AB，得，点到平面ABC于是，由平面，得为点到平面的距离，又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形，设，则，，解得x=2，，由平面，得，