2025-2026学年山西省晋城市高平市部分学校高二下册6月月考数学试卷（含解析）

/数学（满分：150分；考试时间：120分钟）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（）A.1 B. C.2 D.2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.3.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（）A.144 B.114 C.94 D.784.2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（）A. B.C. D.与6的大小关系不确定5.正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（）A.10 B.9 C.8 D.76.已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（）A. B. C. D.7.已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8.不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.样本数据的第75百分位数为23B.若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052C.若随机变量服从二项分布，则D.若随机变量服从正态分布，且，则10.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（）A. B.C. D.11.已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（）A.双曲线C的方程为 B.双曲线C的渐近线方程为C.的最小值为 D.的最小值为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.13.若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______.14.已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.现有两种脑机接口技术和，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表：技术类型任务结果合计成功失败技术501060技术303060合计8040120（1）根据小概率值的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关；（2）已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术和的概率分别为，.将上述试验中使用技术，时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率.附：，0.050.0100.0013.8416.63510.82816.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求.17.已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面BCN夹角的正弦值；（3）求三棱锥的体积．18.已知函数.（1）当时，求的极值点；（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围.19.已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，.（1）求的方程；（2）求证：的值为定值；（3）设，的中点分别为，，求证：直线过定点.数学（满分：150分；考试时间：120分钟）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：解答过程：所有样本点都在直线上，是完全线性相关.斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数.2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量的计算公式求解即可.解答过程：设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:，又因为，，所以，，，所以向量在向量上的投影向量：，故A选项正确.3.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（）A.144 B.114 C.94 D.78答案：B解析：思路：使用先分组后分配，间接法求解.解答过程：将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法，所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法.4.2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（）A. B.C. D.与6的大小关系不确定答案：A解析：思路：先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案.解答过程：由题意，服从二项分布，则，要使最大，则且，解得，又，所以当为整数时，，；当不为整数时，，，故.5.正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（）A.10 B.9 C.8 D.7答案：C解析：解答过程：设，，则，因为，可知数列为递增数列，则当时，，可知，所以．6.已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据所给的值有相同的形式，进而构造函数，并用函数的导数判断函数的单调性，再利用单调性判断函数值的大小可得.解答过程：因为，，，令，则.又因为，令，得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因为，所以，因此.7.已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由弦心距小于等于半径，列不等式计算即可求解.解答过程：设．∵，∴，化简整理，得，∴点在以为圆心，为半径的圆上，由题意可知，直线与圆有公共点，∴，解得．8.不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可.解答过程：由题意可得，.令，则在上单调递增，又，，所以，所以，即在上恒成立.令，则，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是（）A.样本数据的第75百分位数为23B.若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052C.若随机变量服从二项分布，则D.若随机变量服从正态分布，且，则答案：BC解析：解答过程：选项A，样本共个数据，，第75百分位数为第8项数据24，A错误；选项B，方差，因为，故样本均值，样本总和为，B正确；选项C，若，则，根据期望性质，得，C正确；选项D，正态分布的对称轴为，由对称性得，则，D错误.10.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（）A. B.C. D.答案：CD解析：思路：研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误.解答过程：已知，根据商的求导法则求导得：.由题知，因此在上单调递减.因为，结合单调递减性得：.由，即，整理得.由，即，整理得.综上，选项A、B错误，选项C、D正确.11.已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（）A.双曲线C的方程为 B.双曲线C的渐近线方程为C.的最小值为 D.的最小值为答案：ABC解析：思路：根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断.解答过程：令双曲线的半焦距为，则，由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，，则，解得，于是，双曲线的方程为，而点，则，解得，双曲线C的方程为，A正确；双曲线C的渐近线方程为，B正确；，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得，即，因此，当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确；设点，，则，，当且仅当时取等号，D错误.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.答案：①.②.解析：思路：根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得.解答过程：因为直线与互相平行，所以，解得，则，所以与之间的距离.故答案为：；.13.若的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x2的系数为______.答案：－448解析：思路：令，和联立求解可得和的值，化简通项，由的指数等于2可解.解答过程：由题意得，所以，所以的展开式的通项为，令，解得.所以的系数为.故答案为：－44814.已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______．答案：解析：解答过程：因为，，成等差数列，所以，当时，可得，解得，当时，可得，则，得到，化简得，设，则，得到，则，即数列是公比为2的等比数列，得到，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.现有两种脑机接口技术和，用于完成某项意念控制任务.研究人员从我市随机抽取了120名志愿者参与试验，得到如下列联表：技术类型任务结果合计成功失败技术501060技术303060合计8040120（1）根据小概率值的独立性检验，分析任务结果是否与技术类型有关；（2）已知市民甲使用脑机接口技术体验该项意念控制任务，其使用技术和的概率分别为，.将上述试验中使用技术，时任务结果为成功的频率视为概率，求甲体验的任务结果为成功的概率.附：，0.050.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）有关（2）解析：思路：（1）计算出卡方即可得解；（2）根据全概率公式求解即可.（1）零假设：任务结果与技术类型无关，根据列联表中数据，得，依据小概率值的独立性检验，推断假设不成立，即任务结果与技术类型有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.（2）设试验中使用技术时任务结果为成功为事件，试验中使用技术时任务结果为成功为事件，甲体验的任务结果为成功为事件，由题意，，，，，则.16.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求.答案：（1）（2）解析：思路：(1)利用求出数列首项,再通过与作差得到递推关系,判定为等比数列,进而求出通项公式并验证首项符合.(2)由得出,利用错位相减求和即可.（1）因为①，当时,可得，即，当时，②.由①②得，即，即是以1为首项，为公比的等比数列，所以,当时满足上式，所以.（2）因为，所以，，两式相减得，即，则故.17.已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求与平面BCN夹角的正弦值；（3）求三棱锥的体积．答案：（1）证明见解析.（2）（3）解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理求解；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解；（3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解.（1）连接，，四边形为矩形，为的中点，与交于点，为的中点，又N为的中点，，又平面，且平面，平面.（2）由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，因为平面即平面，，，，取，则，从而，设所求线面角为，，，所以与平面夹角的正弦值为.（3）设点到平面的距离为，，，已知，则，所以.18.已知函数.（1）当时，求的极值点；（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围.答案：（1）极小值点为，极大值点为0（2）解析：思路：（1）对求导，得到，令，得到或，进而得到函数的单调性，再求解极值点即可；