2025-2026学年山西省忻州市部分校高一下册6月联考数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.3.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量，的起点和终点均在格点上，则（）A.－10 B.5 C.15 D.205.在平行四边形中，为的中点，若，则（）A. B. C. D.6.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.若函数的部分图象如下图所示，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.48.某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得，且C，D的距离为米，则旗杆的高度为（）A.9米 B.12米 C.米 D.15米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（）A.中位数是3 B.第80百分位数是4C.平均数是3.5 D.方差是1110.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数为偶函数C.令函数，则不等式的解集为D.若函数，，，则11.已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（）A.B.的周长为C.若为的中线，则D.若为的角平分线，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________.13.若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________．14.点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.设复数，．（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求的共轭复数．16.已知向量，．（1）若，且，求向量与向量的夹角；（2）若，且，求向量的坐标．17.在中，角的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积．18.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数；（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数．19.如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若与平面所成角的正弦值为，求的值．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解出集合，利用交集定义即可得.解答过程：，则.2.已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解.解答过程：因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，所以该圆锥的母线长为2，所以.故选：B.方法提示：本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.3.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据直观图的平面图，再求出相关线段长，即可求出平面图的面积.解答过程：由直观图可得如下平面图形：则，，，所以.故选：D4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量，的起点和终点均在格点上，则（）A.－10 B.5 C.15 D.20答案：C解析：解答过程：建立如图所示直角坐标系，可得，，故，所以．5.在平行四边形中，为的中点，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：在平行四边形中，为的中点，所以，所以，又，所以，，所以．6.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分段函数在上单调递减，首先保证各段都单调递减，其次在分段地方，左边在断点处的函数值要不小于右边在断点处的函数值．解答过程：因为函数在上单调递减，则在上单调递减，故，解得；在上单调递减，则在上单调递增，故；，解得：恒成立，综上，的取值范围为．7.若函数的部分图象如下图所示，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解.解答过程：由图可得：，，所以的图像关于对称，所以，所以，所以.8.某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得，且C，D的距离为米，则旗杆的高度为（）A.9米 B.12米 C.米 D.15米答案：B解析：思路：先假设旗杆的高度为,利用在C、D处测得旗杆的仰角分别为把用表示出来，在中解三角形即可.解答过程：设旗杆的高度为，那么由在C、D处测得旗杆的仰角分别为可知，，在中，由于，故为等腰直角三角形，那么；在中，由于，那么；在中，由，，可知即解得，或（舍去），所以，旗杆的高度为米.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（）A.中位数是3 B.第80百分位数是4C.平均数是3.5 D.方差是11答案：AB解析：思路：根据中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可.解答过程：因为样本数据为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，所以中位数为，A正确；由于，所以第80百分位数是，B正确；平均数为，所以C错误；样本数据的方差为，所以D错误.10.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数为偶函数C.令函数，则不等式的解集为D.若函数，，，则答案：ABD解析：思路：求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D.解答过程：设幂函数的解析式为，因为幂函数的图象经过点，所以，解得，即，对于A，函数的定义域为，故A正确；对于B，因为，且的定义域为，故为偶函数，故B正确；对于C，，故为偶函数，因为在上为增函数，而在上为增函数，故在上为增函数，而即为，故，故即的解集为，故C错误；对于D，，而，因为，，故，当且仅当等号成立，故，故，即，当且仅当等号成立，故D成立.11.已知的内角的对边分别为，且，为线段上的一点，则下列结论正确的是（）A.B.的周长为C.若为的中线，则D.若为的角平分线，则答案：ABD解析：解答过程：因为，所以，A正确．由，得．由余弦定理，得，所以的周长为，B正确．，得，C错误．由，得，得，D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则___________.答案：解析：思路：根据余弦的二倍角公式即可计算.解答过程：.故答案为：.13.若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________．答案：解析：思路：先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间．解答过程：不等式，移项得，解得，且，若解集为空集，则与的根必须重合，故，的根应为，于是解得14.点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____．答案：解析：思路：过点作，设，中，利用余弦定理得的值，然后利用面面垂直证明平面，即得，在中，由勾股定理得与的关系式，可得当时，取得最小值．解答过程：解：过点作于点E，连接，如图所示．设，由则，，．在中，由余弦定理得，．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面．又平面，∴．在中，由勾股定理得，∴当时，取得最小值，为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.设复数，．（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求的共轭复数．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先求出a，再代入计算即可；（2）根据条件求出a，再求共轭复数即可.（1），是实数，，即，.（2）.是纯虚数，且，即，，的共轭复数为16.已知向量，．（1）若，且，求向量与向量的夹角；（2）若，且，求向量的坐标．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）借助向量垂直性质及数量积公式计算即可得；（2）借助向量平行性质计算即可得.（1）因为，所以，即，所以，即，所以，因为，所以；（2）因为，，所以，因为，设，则，解得，故或．17.在中，角的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式、诱导公式变形可得；（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算.（1）因为，所以由正弦定理得，整理得：，因为，所以，故，因为，所以．（2）由余弦定理，得，即，整理得，又，，所以，所以，故的面积为．18.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值；（2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数；（3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数．答案：（1）0.010（2）76.5（3）6解析：思路：（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，所以用各组组距乘以对应​的和等于1列方程，即可求解；（2）先确定每组的组中值，再计算每组频率，加权求和即可；（3）首先计算和两组的人数，结合总抽取人数，按比例计算组的抽取人数.（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是10．各组对应的小长方形面积之和等于1，所以．化简得，即，即，即．所以图中．（2）由第（1）问可得．因此各组的频率分别为，，，，对应这100名学生的人数分别为10，20，25，35，10．各组的组中值分别为55，65，75，85，95．所以这100名学生竞赛成绩的平均数估计为．计算得．所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分．（3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为35，成绩在内的人数为10，所以成绩在内的总人数为．现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人，则成绩在内被抽取的人数为．所以这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6．19.如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若与平面所成角的正弦值为，求的值．答案：（1）证明见解析（2）（3）或解析：思路：（1）通过证明，平面，证得平面.（2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值.（3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得.（1）连接，，，因为是长方体，M，N分别为棱，的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为，，所以，，，