2025-2026学年山西省忻州市某校高一下册5月阶段检测（人教A卷）数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.为了解某校学生每天课外运动时长，按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三中共抽取130名学生进行调查，已知该校高一有1500名学生，高二有1200名学生，高三有1200名学生，则高一、高二共抽取（）A.40名学生 B.50名学生 C.80名学生 D.90名学生4.在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（）A. B. C. D.5.已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是（）A.若，则，共面B.若，则与有公共点C.若与无公共点，且，则D.若存在平面，使得，，，则6.在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（）A.3 B. C. D.28.已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（）A.南偏西方向 B.南偏西方向 C.南偏西方向 D.南偏西方向二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组从小到大排列的数据2，3，4，4，5，，7，10的上四分位数为6，则（）A. B.该组数据的众数为4和5C.剔除该组数据中的后，剩下数据的平均数变小 D.剔除该组数据中的后，剩下数据的方差变大10.已知复数，满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.11.如图，梯形为圆台的轴截面，已知，，且梯形的面积为，则（）A.圆台的母线长为3B.圆台的体积为C.已知点为上靠近点的三等分点，则沿着圆台表面从到的最短路径的长度为D.在该圆台内能放入一个可以绕正方体中心自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体棱长的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知（，，i为虚数单位），则_________.13.已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________.14.已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位.（1）求；（2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.16.2026年春晚节目中机器人完美展示了中国武术，激发了同学们对人工智能的强烈兴趣．某校组织开展人工智能知识竞赛（满分100分），随机抽取了30名男生的成绩和30名女生的成绩，得到如下统计表：竞赛成绩/分男生人数/人510105女生人数/人6996（1）分别估计该校男生成绩的平均分与女生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）定义波动参数，其中表示区间的个数，表示第个区间中学生的成绩，取该区间的中点值为代表，表示学生成绩在第个区间的人数，表示样本的平均值，．参数越小，表示学生成绩的波动性越小．请通过计算，比较男生、女生成绩的波动性．17.如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求三棱锥的外接球的表面积.18.设的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）证明：；（2）若，，求的面积；（3）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围.19.如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点.（1）证明：平面平面.（2）若线段上存在点，使得平面平面，（i）猜想的值，并说明理由；（ii）求二面角的正弦值.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，解得．2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以.3.为了解某校学生每天课外运动时长，按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三中共抽取130名学生进行调查，已知该校高一有1500名学生，高二有1200名学生，高三有1200名学生，则高一、高二共抽取（）A.40名学生 B.50名学生 C.80名学生 D.90名学生答案：D解析：解答过程：由，所以高一、高二共抽取名学生.4.在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值.解答过程：，则，，解得5.已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是（）A.若，则，共面B.若，则与有公共点C.若与无公共点，且，则D.若存在平面，使得，，，则答案：D解析：思路：根据异面直线的定义、面面平行、垂直的性质逐一判断即可.解答过程：当与相交时，因为，，所以，异面，A错误；当，时，因为，所以，此时与没有公共点，B错误；若与无公共点，则，因为，如图，但与不垂直，C错误；因为存在平面，使得，，所以，因为，，所以，，所以，D正确.6.在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，当且时，过作轴于点，则，所以（当或4时也成立），则，，，所以，当时，取得最小值-5；当或4时，取得最大值0.故的取值范围为.7.如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（）A.3 B. C. D.2答案：B解析：思路：结合面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理和性质定理，作出为平面，再运用勾股定理计算平面与直三棱柱的侧面的交线的长度.解答过程：如图，作，为垂足，又，，平面，所以平面，连接，过作，交于点，因为平面，平面，所以，且，平面，所以平面，又平面，则，易知，，又，且，，所以，则，即，所以.连接，过作，交于，因为，所以，则平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，则，因为，，，平面，所以平面，连接，则平面就是平面.由，得，则，所以，所以.8.已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（）A.南偏西方向 B.南偏西方向 C.南偏西方向 D.南偏西方向答案：C解析：思路：根据方位角推导三角形内角度数，依次在用正弦定理求、在用余弦定理求，最后在中用余弦定理推导出处的方位角.解答过程：为东西航道，在中，，，，因此由正弦定理，代入得，在中，，，由余弦定理：

，代入化简得，解得或，因为，且，所以.在中，，由余弦定理得，即，由余弦定理可得，，所以，是与正西方向的夹角，换算为南偏西方向：，因此在的南偏西方向.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组从小到大排列的数据2，3，4，4，5，，7，10的上四分位数为6，则（）A. B.该组数据的众数为4和5C.剔除该组数据中的后，剩下数据的平均数变小 D.剔除该组数据中的后，剩下数据的方差变大答案：ABD解析：解答过程：A，数据已从小到大排列：共8个数据，上四分位数（第75百分位数）的位置为，取第6个和第7个数据的平均值，即，解得，故A正确；B，此时数据为，众数为4和5（均出现两次），故B正确；C，原平均数，剔除后，新平均数为，平均数不变，故C错误；D，原方差，剔除后新方差，方差变大，故D正确.10.已知复数，满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：BCD解析：解答过程：设，则，所以，则与不一定相等，A错误；因为，，所以，B正确；，C正确；，所以，D正确.11.如图，梯形为圆台的轴截面，已知，，且梯形的面积为，则（）A.圆台的母线长为3B.圆台的体积为C.已知点为上靠近点的三等分点，则沿着圆台表面从到的最短路径的长度为D.在该圆台内能放入一个可以绕正方体中心自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体棱长的最大值为答案：ACD解析：思路：过作于，利用梯形的面积公式得，进而求得母线长，即可判断A，利用台的体积公式即可判断B，设，分别为圆台的上、下底面的圆心，将圆台补成圆锥，进而得，将圆锥的展开，进而判断C，求圆台内放入的最大球的半径即可判断D.解答过程：过作于，由，解得，所以，故A正确；由上可知，该圆台的高为，所以该圆台的体积为，故B错误；设，分别为圆台的上、下底面的圆心，将圆台补成圆锥，则，即，所以，圆锥的展开图如图，过点作于点，易知，，则所求的最短距离为，故C正确；圆台补成的圆锥的轴截面是一个边长为4的正三角形，且该正三角形的内切圆的半径为，因为，所以该圆台内能放入的最大球的半径为，设正方体棱长的最大值为，则，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知（，，i为虚数单位），则_________.答案：0解析：解答过程：依题意，则，解得，所以.13.已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为_________.答案：4解析：解答过程：过作轴，垂足为，过作轴，交轴于点，易知为等腰直角三角形，由，得，所以，故的边上的高为.14.已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则_________.答案：解析：思路：由结合平面向量的数量积的运算律可得，结合在上的投影向量为可得，进而得到，再根据向量夹角余弦公式求解，设，，，转化问题为点与点重合时，取得最小值，进而可得，，进而求解即可.解答过程：由，得，则，即，因为在上的投影向量为，所以，则，即，因此，所以，又，则.设，，如图所示，其中，则，显然当且仅当，即点与点重合时，取得最小值，所以，则，，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位.（1）求；（2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数表示实数和纯虚数的条件进行求解即可；（2）根据复数乘法、除法的运算公式，结合共轭复数、复数在复平面的位置特征进行求解即可.（1）设，因为为实数所以，解得.因为为纯虚数，所以，解得，故.（2）由（1）可知，.，由题意可知，，解得，故实数的取值范围为.16.2026年春晚节目中机器人完美展示了中国武术，激发了同学们对人工智能的强烈兴趣．某校组织开展人工智能知识竞赛（满分100分），随机抽取了30名男生的成绩和30名女生的成绩，得到如下统计表：竞赛成绩/分男生人数/人510105女生人数/人6996（1）分别估计该校男生成绩的平均分与女生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）定义波动参数，其中表示区间的个数，表示第个区间中学生的成绩，取该区间的中点值为代表，表示学生成绩在第个区间的人数，表示样本的平均值，．参数越小，表示学生成绩的波动性越小．请通过计算，比较男生、女生成绩的波动性．答案：（1）男生平均分为80；女生平均分为80（2）男生成绩的波动性比女生成绩的波动性小．解析：思路：（1）先确定四个成绩区间的中点值，再利用加权平均数公式，分别计算样本中男生、女生成绩的平均分，将其作为该校男生、女生成绩平均分的估计值；（2）分别把男女生各自的平均分、各区间中点值、对应人数和总人数代入波动参数公式，计算出男生和女生的波动参数，通过比较的大小即可判断成绩波动性的大小.（1）抽取的名男生成绩的平均分，所以该校男生成绩的平均分的估计值为80；抽取的名女生成绩的平均分，所以该校女生成绩平均分的估计值为80．（2）男生成绩的波动参数为．女生成绩的波动参数为，因为，所以男生成绩的波动性比女生成绩的波动性小．17.如图，在棱长为2的正方体中，为侧面的中心.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求三棱锥的外接球的表面积.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据线面平行的判定证明；（2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角,结合边长关系求解.（3）先证明三棱锥的外接球的球心在线段上，再结合勾股定理求解.（1）证明：连接，与交于点，连接，因为为侧面的中心，所以为的中点，连接，因为，，且，，所以，且，则四边形为平行四边形，因为为的中点，易知，又平面，平面，故平面.（2）连接，则，则，易知四边形为平行四边形，在正方体中，平面，又平面，所以，因为，故平面，即平面，所以为直线与平面所成的角，在中，易求，，所以，则.故直线与平面所成角的大小为.（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，因为的外接圆的圆心为，所以平面，由（1）可知，，平面，所以平面，因此球心在线段上，易求，，由，解得，故三棱锥的外接球的表面积为.18.设的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）证明：；（2）若，，求的面积；（3）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：(1)由二倍角公式结合余弦定理可得，化简可得.(2)由，得,结合正弦定理和余弦定理可求得，再利用面积公式求解.(3)由为锐角三角形可得，结合正弦定理可得，，从而求得的周长的取值范围.（1）由，得，由余弦定理，得，所以，因为，所以，又，所以或，因为，所以，所以.（2）由，得，由正弦定理和余弦定理，得，又，，所以，解得，则，所以，故的面积为.（3）由题意可知，即解得，由正弦定理得，则，所以，，则，所以的周长的取值范围为.19.如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点