2025-2026学年陕西省渭南市韩城市高二下册期末检测数学试卷（含解析）

/数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列中，，公比，则（）A.6 B.18 C.27 D.542.已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（）A.第12项 B.第13项 C.第24项 D.第25项3.已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（

）A. B.C. D.4.某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若，则是该物体（）A.从到这段时间的平均速度 B.从到这段时间的平均速度C.在这一时刻的瞬时速度 D.在这一时刻的瞬时速度5.若数列满足，，则等于（）A. B.-1 C.2 D.6.宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（）A.3 B.5 C.7 D.97.已知是定义在上的可导函数，且满足．对任意实数，，若，则必有（）A. B. C. D.8.已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（）A.1013 B.1014 C.2025 D.2026二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）下列叙述错误的是（）A.数列10，9，8，7可表示为 B.数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列C.数列的项可以相等 D.数列和可能是同一数列10.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（）A.在上单调递减B.在处取得极小值C.D.在处取得极小值11.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（）A.数列是“调和数列” B.数列是递增数列C.数列的前项和为 D.对任意，都有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的导函数为，且，则__________．13.已知等差数列的前项和为，若，，则__________．14.已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求下列函数的导数：（1）；（2）．16.设等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及取得最大值时的的值．17.已知函数，是的导函数．（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程；（3）求的最小值．18.已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和．19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围；（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列中，，公比，则（）A.6 B.18 C.27 D.54答案：B解析：思路：利用等比数列的通项公式直接求解即可.解答过程：由等比数列的通项公式得到.2.已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（）A.第12项 B.第13项 C.第24项 D.第25项答案：D解析：思路：根据通项，列出等式解方程即可．解答过程：根据数列通项可知：，令，解得，故7是这个数列的第25项．3.已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（

）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率，由图知，.4.某物体做自由落体运动时的位移（位移单位：，时间单位：），若，则是该物体（）A.从到这段时间的平均速度 B.从到这段时间的平均速度C.在这一时刻的瞬时速度 D.在这一时刻的瞬时速度答案：C解析：解答过程：根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导，这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），可知表示在这一时刻的瞬时速度．5.若数列满足，，则等于（）A. B.-1 C.2 D.答案：C解析：解答过程：因为，，所以，，，所以数列为周期数列，周期为3，即，所以.6.宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共12行，总数恰为108座，自上而下每行的塔数构成数列，已知的前4项和，从第5项到第12项构成等差数列，，则（）A.3 B.5 C.7 D.9答案：B解析：思路：先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值．解答过程：因为数列从第5项开始是等差数列，所以，．7.已知是定义在上的可导函数，且满足．对任意实数，，若，则必有（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：令，求导，利用导数研究单调性，进而求解.解答过程：令，所以，所以在上单调递减，又，所以，所以.8.已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则（）A.1013 B.1014 C.2025 D.2026答案：A解析：思路：根据函数极值点的定义，结合等比数列下标的性质、对数的运算性质进行求解即可.解答过程：，因为方程的判别式，所以方程有两个不相等的实数根，设其根为，其中，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以为函数的极值点，且，由已知，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.（多选）下列叙述错误的是（）A.数列10，9，8，7可表示为 B.数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列C.数列的项可以相等 D.数列和可能是同一数列答案：AB解析：思路：根据数列的表示法和定义、项的组成即可一一判断.解答过程：对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误；对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同，那么这两个数列是不同的数列，故B错误；对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确；对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确．故选：AB.10.已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（）A.在上单调递减B.在处取得极小值C.D.在处取得极小值答案：ACD解析：思路：结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项．解答过程：由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确；，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误；由，时，，单调递减，时，，单调递增，所以是极小值，D正确．故选：ACD11.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均不为零的数列满足，，则下列说法正确的是（）A.数列是“调和数列” B.数列是递增数列C.数列的前项和为 D.对任意，都有答案：ACD解析：思路：首先对递推式变形得到数列是等差数列，求出的通项公式，再结合调和数列定义、数列单调性、裂项相消求和、不等式证明的方法逐项判断.解答过程：选项A，已知，且各项不为零，两边同除以得，故A正确；选项B，由，，可知是首项为1、公差为1的等差数列，因此，即，故是递减数列，故B错误；选项C，，前项和，故C正确；选项D：要证，代入，即证，右边通分得，只需证，化简得，即，恒成立，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的导函数为，且，则__________．答案：解析：解答过程：因为，所以，，解得.13.已知等差数列的前项和为，若，，则__________．答案：33解析：思路：分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可.解答过程：因为数列为等差数列，则也为等差数列，可得，即，解得.14.已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________．答案：解析：思路：先求导，进而得在上恒成立，得，令，利用导数研究单调性进而求解.解答过程：由题意得：在上恒成立，所以，令，所以，当时，，所以在单调递增，所以，所以，所以实数的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求下列函数的导数：（1）；（2）．答案：（1）；（2）.解析：（1）；（2）.16.设等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值及取得最大值时的的值．答案：（1），（2）最大值为30，或时解析：思路：（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式得到关于和的方程组，解出即可得到；（2）求出的表达式，结合二次函数的性质，即可求得结果.（1）设公差为.由已知可得，解得，∴，.（2）因为，，.所以，所以，当时，单调递增；当时，单调递减.又，所以，或时，最大，最大值为30．17.已知函数，是的导函数．（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程；（3）求的最小值．答案：（1）（2）（或等价形式）（3）解析：思路：

（1）求的导函数，代入计算即可.（2）利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程；（3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值.（1）已知，则，进而.（2）令，则.则在处切线斜率.根据（1）知，切点为.由点斜式得直线方程

，整理得切线方程.（3）由，因，故，即在上单调递增.又，则当时，，单调递减;当时，，单调递增.故在处取最小值，，即最小值为.18.已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征；（2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和．（1），当时，，解得．又当时，，，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列．．（2），由题意知，.，设数列的前项和为，，，则，两式相减得：，即，．19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围；（3）若对任意，恒成立，求的取值范围．答案：（1）当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）．解析：思路：（1）利用导数的正负判断原函数的单调性，对函数进行求导，讨论正负即可，需注意定义域的范围；（2）根据第一问的讨论结果，判断函数有两个零点则函数不单调，再利用最值列出不等式计算即可；（3）对不等式进行变形，通过构造新函数，利用新函数的单调性