2025-2026学年陕西省咸阳市乾县薛录高中高一下册期中考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.六棱台的顶点数和棱的条数分别为（）A.6， B.，6 C.， D.，3.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A.， B.，C.， D.，5.如图，在梯形ABCD中，，，，，将梯形绕着AD所在的直线旋转一周，得到的旋转体的体积为（）A. B. C. D.6.如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（）A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.45海里7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（）A. B. C. D.8.（）A.1 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列几何体中为棱柱的是（）A. B. C. D.10.已知向量，满足，则（）A. B.C. D.对任意实数，都有11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线与AB交于点D，，且，则（）A. B.C. D.面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.______．13.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则的面积为______．14.已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，，，．（1）若，求点的坐标；（2）若A，C，P三点共线，求的值．16.已知复数．（1）若，求m，n的值；（2）若z是方程的一个复数根，求m，n的值．17.如图，在中，，，，D是BC边上的点，且．（1）求；（2）求．18.一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形．（1）求该圆锥体石膏的体积；（2）若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离；（3）将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值．19.如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，，，H为BD与FG的交点．（1）当时，用，表示，．（2）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.2.六棱台的顶点数和棱的条数分别为（）A.6， B.，6 C.， D.，答案：C解析：解答过程：由六棱台的性质可知，上、下底面各有6个顶点，共计个，上、下底面各有6条边，侧棱有6条，共计条．3.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：，复数在复平面内对应点为，位于第二象限．4.下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：对于A：因为，所以向量和不共线，它们可以构成平面的一组基底，因此可以表示向量；对于B：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量；对于C：因为，所以向量和共线，不能构成基底，所以不能表示向量；对于D：因为是零向量，零向量与任何向量共线，不能构成基底，所以不能表示向量.5.如图，在梯形ABCD中，，，，，将梯形绕着AD所在的直线旋转一周，得到的旋转体的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可得所得旋转体为圆台，利用圆台体积公式计算即可得解.解答过程：所得旋转体为圆台，该圆台上底面半径为、下底面半径为，高为，故.6.如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（）A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.45海里答案：B解析：思路：根据题意画出图形，利用方位角求出三角形的相关角度，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数定义列方程求解即可.解答过程：设渔船航行路程为，所以海里，由已知，所以，，延长，过点作延长线于，所以，设，因为，所以，，，，，所以，，所以，，所以，解得，，所以（海里），此时渔船与灯塔的距离为海里.7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围.解答过程：在中，，，由正弦定理可得：

，

因为，且时，时，要使有两解，则的取值有两个，一个锐角，一个钝角，由于，且为三角形内角，所以的取值范围是，同时有两解时的取值要满足，由，可得，又因为，可得，综上，的取值范围为.8.（）A.1 B. C. D.答案：D解析：解答过程：二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列几何体中为棱柱的是（）A. B. C. D.答案：AB解析：思路：本题考查空间几何体的结构特征，主要依据棱柱的定义进行判断。棱柱的定义是：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。解答过程：选项A：前后两个面是互相平行的三角形，其余各面（侧面）都是四边形（矩形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是三棱柱，故A正确；选项B：上下两个面是互相平行的四边形，其余各面（侧面）都是四边形（平行四边形），且侧棱互相平行，符合棱柱的定义，是四棱柱，故B正确；选项C：侧棱不互相平行（有的长有的短，且方向不同），不符合棱柱侧棱互相平行的特征，故C错误；选项D：上下底面平行但不全等（大小不同），侧棱延长后交于一点，符合棱台的定义，是四棱台，不是棱柱，故D错误.10.已知向量，满足，则（）A. B.C. D.对任意实数，都有答案：ACD解析：思路：先利用向量模长与数量积的关系求出，再逐一验证各选项解答过程：首先由，两边平方得，代入，解得.对于A，，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，这是关于的二次函数，当时，取得最小值为，故，即，故D正确.11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线与AB交于点D，，且，则（）A. B.C. D.面积的最小值为答案：ACD解析：思路：由正弦定理边化角，结合和差公式可求得；由，可得，结合基本不等式可得，再由余弦定理可求得的最小值为；由常值代换可求得；面积的最小值为.解答过程：如图：由正弦定理得，又，，化简得，即，又，故，又，，又，，故A正确；由得，，整理得，当且仅当时取等号.由余弦定理得，由函数的单调性知当时，取得最小值，取得最小值，故B错误；由得，所以，又，当且仅当时，即时取等号，所以，故C正确；，，当且仅当时取等号，故D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.______．答案：解析：解答过程：.13.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，与重合，且，，则的面积为______．答案：解析：解答过程：已知，，则，还原直观图得，，．14.已知P，Q分别是的外心和重心，且，，则______．答案：解析：解答过程：已知，因此.已知

是的重心，满足，且，代入得：.取中点，是外心，故，即，且，是中点，故，代入得.因此

.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，，，．（1）若，求点的坐标；（2）若A，C，P三点共线，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设，先求得的坐标，再利用平面向量线性运算坐标表示计算求解；（2）用表示点的坐标，再利用三点共线对应向量共线的坐标表示列方程求解即可.（1）设，则，若，则，即，所以，解得，所以点的坐标为；（2）设，，则，所以，解得，即，则，若A，C，P三点共线，则与共线，所以，解得.16.已知复数．（1）若，求m，n的值；（2）若z是方程的一个复数根，求m，n的值．答案：（1），（2）或解析：思路：（1）根据复数相等的条件，列出关于的二元一次方程组求解；（2）解一元二次方程求出复数根，分两个根分别讨论，分别利用复数相等构造方程组求解．（1）已知复数，则，解得．（2）,解得，若，则，解得；若，则，解得．17.如图，在中，，，，D是BC边上的点，且．（1）求；（2）求．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用线段关系求出的长，在中利用余弦定理求出即可.（2）在中利用余弦定理求出，最后在中利用余弦定理及同角三角函数关系求解.（1）由题意可知，D是BC边上的点，且，所以,在中，根据余弦定理，，所以.（2）在中，根据余弦定理，，所以，在中，，因为，所以.18.一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形．（1）求该圆锥体石膏的体积；（2）若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离；（3）将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题目条件求得圆锥底面圆半径和高，进而根据圆锥体积公式进行求解；（2）通过展开圆锥侧面，得到B到C的最短距离为线段BC的长度，结合弧长的公式进行求解；（3）将圆锥内切球的半径等价为圆锥轴截面三角形内切圆的半径，结合球体的表面积公式进行求解.（1）设为底面圆的半径，为圆锥的高，因为是边长为8的等边三角形，所以，，因此圆锥体石膏的体积.（2）圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8，所以，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示，，，，，所以到的最短距离，即昆虫爬行的最短距离为.（3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径，设圆锥内切球的半径为，，此时球的表面积.19.如图，在菱形ABCD中，，，E是AB的中点，，，H为BD与FG的交点．（1）当时，用，表示，．（2）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（3）求的取值范围．答案：（1），（2）不存在，理由见解析（3）解析：思路：（1）利用向量加减法的三角形法则，结合中点及共线向量的性质，将目标向量转化为用基底表示.（2）假设存在满足题意，利用向量垂直的充要条件建立关于的方程，求解并检验是否符合题意.（3）利用，，三点共线，设；利用，，三点共线，设，建立方程组，求出关于的表达式，进一步求出关于的表达式,进而计算数量积并求值域.（1）因为E是AB的中点，所以，，因此,,.（2）假设存在满足，则.因为.因为，,所以，解得，不符合题意.故不存在满足.（3）连接，如