2025-2026学年四川成都艺体中学高一下册期中学业质量检测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.在平行四边形中，下列结论错误的是（）A. B. C. D.2.已知向量，，且，则实数的值为（）A.5 B. C.7 D.83.在中，若，，，则等于（）A. B.7 C.4 D.84.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（）A. B.C. D.6.在平行四边形中，，，，则（）A.1 B. C. D.7.若，，并且、均为锐角且，则的值为（）A. B. C. D.8.在中，，，为的中点，为的中点，与交于点，若，则线段的长度为（）A. B.4 C. D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数和函数下列说法正确的是（）A.和有相同的零点B.和有相同的最大值C.和有相同的周期D.和的图象有相同的对称轴10.已知点，，，则下列说法正确的有（）A.B.C.与平行的单位向量为D.在平行四边形中，点的坐标为11.我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（）A.B.C.D.在上的投影向量为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.求值：______．13.若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为_________.14.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，求：（1）的坐标；（2）的值；（3）的值.16.已知.（1）求及的值；（2）若，求的值.17.如图，在中，点是的中点，，设，．（1）用，表示，；（2）若，，，求．18.已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，求函数的值域；（3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.19.已知函数的一条对称轴为．（1）求；（2）若，，求的值；（3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.在平行四边形中，下列结论错误的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：结合平行四边形的性质，利用向量的加法、减法运算法则逐一判断各选项的正误.解答过程：在平行四边形中，对边向量满足，，对于A，由，可得，故A正确；对于B，根据向量加法的平行四边形法则，对角线向量，故B正确；对于C，根据向量减法的三角形法则，即，故C正确；对于D，由向量加法的三角形法则可得，而，因此，故D错误.2.已知向量，，且，则实数的值为（）A.5 B. C.7 D.8答案：B解析：思路：根据向量平行列方程，由此求得.解答过程：由于，所以，解得.3.在中，若，，，则等于（）A. B.7 C.4 D.8答案：B解析：思路：用余弦定理计算即可得出结果.解答过程：因为，，，且，所以，因为，所以.4.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用投影向量公式计算即可.解答过程：由题意，

且

；根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为.5.已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据的最大值、最小正周期、过点，依次求得，从而确定正确答案.解答过程：由于的最大值为，所以.由于的最小正周期，所以.所以，代入点，得，由于，所以.所以.6.在平行四边形中，，，，则（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：由向量的加法法则可知,再利用平行四边形求出向量的模与夹角，进而求出数量积.解答过程：由向量的加法法则可知,在平行四边形中，，，，所以，,故.7.若，，并且、均为锐角且，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由同角关系，以及，利用两角差的余弦公式求角．解答过程：，，，，，，，，，，．8.在中，，，为的中点，为的中点，与交于点，若，则线段的长度为（）A. B.4 C. D.6答案：C解析：思路：通过建立平面直角坐标系，用坐标表示各点及对应向量，结合向量数量积的坐标运算列方程，求解即得AC的长度.解答过程：以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，设，则∵D为AC中点，E为BC中点，故.直线的方程为，直线BD的方程为，联立，解得，∴F的坐标为.因此

,

得，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数和函数下列说法正确的是（）A.和有相同的零点B.和有相同的最大值C.和有相同的周期D.和的图象有相同的对称轴答案：BC解析：解答过程：选项A：的零点满足，即；

的零点满足，即；二者零点不相同，A错误；选项B：两个函数的定义域均为，且系数都为，因此最大值都为，B正确；选项C：对于，周期，，周期都为，C正确；选项D：

的对称轴满足，即；

而的对称轴满足，即；二者对称轴不相同，D错误.10.已知点，，，则下列说法正确的有（）A.B.C.与平行的单位向量为D.在平行四边形中，点的坐标为答案：ABD解析：思路：根据向量的坐标运算判断AB；根据单位向量的坐标表示判断C；根据平行四边形可知，结合向量的坐标运算判断D.解答过程：因为点，，，则，，因为，所以，故A、B正确；与平行的单位向量为或，故C错误；设为坐标原点，则，若四边形为平行四边形，可得，所以点的坐标为，故D正确.11.我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（）A.B.C.D.在上的投影向量为答案：ACD解析：思路：根据数量积的定义求，判断A，根据向量的线性运算判断BC，利用基底表示，根据投影向量的定义计算在上的投影向量，判断D.解答过程：对于A，由已知，即向量的夹角为，又，则，A正确，对于B，，，B错误，对于C，因为，，所以，所以，又为的角平分线，由平行四边形法则可得，所以，C正确，对于D，因为，，则，又，所以在上的投影向量为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.求值：______．答案：##解析：解答过程：原式．13.若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为_________.答案：解析：思路：由题可得，可得，即求．解答过程：点在线段的延长线上，且，，所以点P的坐标为.故答案为：14.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________.答案：解析：思路：由相邻对称轴的距离确定周期，求得，再结合平移法则及三角函数中奇偶性的判断，即可求解.解答过程：函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期为，所以，结合，可得，所以，又因为将函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，所以，因为为偶函数，所以，即，易知当时，得.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，求：（1）的坐标；（2）的值；（3）的值.答案：（1）（2）0（3）解析：（1）因为向量，，则，所以.（2）因为向量，，所以.（3）因为向量，，则，所以.16.已知.（1）求及的值；（2）若，求的值.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据题目条件，利用同角三角函数关系求解.（2）结合二倍角的余弦函数化简求值即可.（1）由，得，所以..（2）由，得，所以.17.如图，在中，点是的中点，，设，．（1）用，表示，；（2）若，，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量基本定理得到；（2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案.（1）点是的中点，，故，；（2）由（1）知，．18.已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）当时，求函数的值域；（3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调增区间列不等式求解；（2）先确定相位的取值范围，结合正弦函数的取值求值域；（3）化简方程得，根据正弦函数性质列不等式求解..（1）由辅助角公式得，令，解得，所以函数的单调增区间为；（2）当时，，由正弦函数性质得，因此，即函数的值域为；（3）由题意可得，即，因为，则，要使方程有3个不同的实数根，由正弦函数性质可知，，解得，所以实数的取值范围.19.已知函数的一条对称轴为．（1）求；（2）若，，求的值；（3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将代入解析式由三角函数值计算可得结果；（2）将已知条件化简可得