2025-2026学年四川广元外国语学校高中分校高一下册第二次阶段检测数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，是线段的中点，则点的坐标是（）A. B. C. D.2.将复数的实部与虚部进行交换，得到的复数为（）A. B. C. D.3.在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（）A. B. C. D.4.已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.设的内角的对边分别为，若，则的面积为（）A. B. C. D.6.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（）A. B.C. D.7.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（）A. B. C. D.8.如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记的内角的对边分别为，已知，则（）A.B.C.的外接圆的周长为D.为锐角三角形10.已知向量，满足，则下列结论中正确的有（）A.与的夹角为 B.C. D.与的夹角为11.已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（）A.直线与所成的角为B.直线与平面所成角的正弦值为C.平面D.过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则向量与的夹角余弦值为__________.13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________．14.如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于的一元二次方程的两个根为，且是一对共轭复数．（1）若（是虚数单位），求实数的值；（2）若z1=2,z16.《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）证明：为等腰三角形．（2）若D是边BC的中点，，求的面积．18.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．（1）求证：四点共面；（2）求证：平面；（3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．19.希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母．（1）若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文．（2）若．①在中，，点在边上，且，，求的面积；②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，是线段的中点，则点的坐标是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，是线段的中点，所以，所以点的坐标是.2.将复数的实部与虚部进行交换，得到的复数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得(1+i)(5−10i3.在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即，其中代表用户偏好向量，代表商品特征向量，越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量，某件商品的特征向量，当该商品最符合该用户喜好时，的值是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，当时，取得最小值.4.已知是空间两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：利用面面垂直的判定判断A；利用线面垂直的性质判断BD；确定面面位置关系判断C.解答过程：对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，B正确；对于C，由，得或相交，C错误；对于D，由，得，D正确.故选：C5.设的内角的对边分别为，若，则的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由余弦定理求得，再由正弦定理及三角形面积公式即可求解.解答过程：因为，所以由余弦定理可得，解得，因为为三角形内角，所以．又，由正弦定理可得，所以的面积．6.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点，每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形，则六个小正方形面的面积和为：而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形，则八个正三角形面的面积和为，所以该饰品的表面积为.7.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得.解答过程：在中，，，故，，在中，，，，由正弦定理得，，所以.8.如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对两边同时平方可得出的关系，通过三角换元即可求解.解答过程：由题：，点是半径为1的扇形圆弧上一点，则，则，即，，化简得：，令，因为，，，先增大后减小，所以的最小值为较小值，即的最小值为，所以的最小值为1.故选：B方法提示：此题考查通过向量线性关系求参数取值范围，此题常见处理办法可以平方处理然后三角换元，可以建立直角坐标系用坐标求解，还可根据等和线定理数形结合求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记的内角的对边分别为，已知，则（）A.B.C.的外接圆的周长为D.为锐角三角形答案：BCD解析：解答过程：由正弦定理得，解得，故A错误；由余弦定理得，整理得：，解得或（舍去），，故B正确；设三角形外接圆半径为，则，外接圆周长为：，故C正确；，最大边为，对应角，由余弦定理，故最大角为锐角，则为锐角三角形，故D正确．10.已知向量，满足，则下列结论中正确的有（）A.与的夹角为 B.C. D.与的夹角为答案：ACD解析：思路：应用数量积运算律结合模长计算判断A，C，应用平面向量数量积及夹角公式计算求解判断B，D.解答过程：因为，所以，所以B错误；所以，因为，所以，所以A正确；因为，所以C正确；因为，且，所以，所以D正确．11.已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（）A.直线与所成的角为B.直线与平面所成角的正弦值为C.平面D.过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为答案：BCD解析：思路：A，求即可；B，求即可；C，先求证平面，得出，再同理可得，利用线面垂直的判定定理即可求证；D，作出过点且与平面平行的截面即可.解答过程：如图，对于A，在正方体中，，故直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角，在中，，则不为，故A错误；对于B，因为平面，所以直线与平面所成角为，则，故B正确；对于C，连接，则，又平面平面，所以，又，平面，故平面，因为平面，所以，同理可证，因为平面，故平面，故C正确；对于D，由C选项可知平面，故过点且与垂直的平面截正方体所得截面与平面平行.设的中点分别为，，依次连接，则，，，且，，可得六边形为正六边形，而平面平面，故平面.同理可证平面，又平面，故平面平面，即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为六边形，边长为，其面积为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则向量与的夹角余弦值为__________.答案：解析：解答过程：设与的夹角为，则.13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________．答案：解析：思路：根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果.解答过程：连接，如图所示.根据题意可知，，所以，因为.所以.因为，所以.所以，所以，所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为.故答案为：.14.如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则__________.答案：##解析：思路：延长，交直线于点,设,由水的体积不变可列式求出，再求出，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方公式化简已知式，代入即可得出答案.解答过程：如图，延长，交直线于点，由题意可得：，，设，则，因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和，因为，解得：，即，因为，所以，因为，所以，所以，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知关于的一元二次方程的两个根为，且是一对共轭复数．（1）若（是虚数单位），求实数的值；（2）若z1=2,z答案：（1），（2）解析：（1）法一：由是的一个根，可得，整理得，则,所以.法二：由是的一个根，可知也是的一个根，韦达定理可得：，.（2）设，由，得.又因为，得，所以，.16.《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：.答案：（1）证明见详解（2）证明见详解解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.（1）连接交于点，连接，∵分别为的中点，则，平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，又∵为矩形，则，且平面，∴平面，由平面，可得，若，且为的中点，则，平面，，则平面，平面，故.17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）证明：为等腰三角形．（2）若D是边BC的中点，，求的面积．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形；（2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积；（1）证明：因为由正弦定理得因为，由余弦定理得，代入化简可得所以为等腰三角形。（2）由题可知因为D是边BC的中点，，在和中，利用余弦定理的推论得代入，可得由得则的面积18.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．（1）求证：四点共面；（2）求证：平面；（3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）连接，即可证明，，从而得证；（2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证；（3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解.（1）连接，因为点分别为棱的中点，所以，又在正方体中且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以四点共面；（2）连接、分别交、于点、，连接，在正方体中，且，所以，则，同理可得，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（3）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以，因为，所以.19.希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母．（1）若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文．（2）若．①在中，，点在边上，且，，求的面积；②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：．答案：（1）；（2）①；②证明