2025-2026学年四川省广安市加德学校高二下册（领航班）下册第一次月考数学试卷（含解析）

/数学考试时间120分钟）第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.5 B.10 C.15 D.343.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A.2 B.0 C. D.4.将4个1和2个0随机排成一行代码，要求2个0不相邻，则不同代码的种数为（）A.10 B.15 C.20 D.2405.过抛物线的焦点作斜率小于0的直线与抛物线交于，两点，且与准线交于点，若，则（）A. B. C. D.6.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论中正确的有（）个①公差；②；③的最大值为；④满足的的最小值为．A.1 B.2 C.3 D.47.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（）个．A.180 B.240 C.300 D.3608.已知，方程总有正实根，当取得最小值时，的值为（）A. B. C. D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.是的极小值点D.是的极小值点10.设公比为的等比数列的前项积为，若，则（）A.当时，或 B.C.当时，为等差数列 D.11.已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，．若P为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（）A.当，时，B.C.D.当时，的取值范围是第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．12.已知函数在处有极小值，则a的值为______13.根据“援疆支教”工作的要求，我校决定派出位骨干教师对新疆哈密地区个学校进行教学帮扶，每个学校至少分配一位骨干教师，则不同的分配方案种数为_______（用数字作答）．14.数列满足，则其通项公式_______；若数列满足，且对均有恒成立，则实数的取值范围为_______．四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上的最小值是，求a的值.16.数列满足，，．（，）．（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列满足，证明：对一切正整数n，有．17.如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且.（1）证明：；（2）若，，求平面与平面夹角的大小.18.已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为．（1）求C的方程；（2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知．（ⅰ）证明：P、M、Q三点共线；（ⅱ）求的取值范围．19.已知A，B，C是曲线上不同的三点.若点A，B，C的横坐标成等比数列，且曲线在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”.已知.（1）讨论的极值点个数；（2）若是上的“等比左偏函数”，求实数a的取值范围；（3）当时，数列满足，，证明：.

数学考试时间120分钟）第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据双曲线方程写出渐近线方程即可.解答过程：由双曲线方程知，双曲线对应参数，则渐近线为.故选：C2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.5 B.10 C.15 D.34答案：B解析：思路：根据等差数列的前n项和结合等差数列的项的性质计算即得.解答过程：已知等差数列的前n项和为，，所以，所以.故选：B.3.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A.2 B.0 C. D.答案：D解析：思路：求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可.解答过程：因为，则，，又因为直线的斜率为1，由题意可得，解得.故选：D.4.将4个1和2个0随机排成一行代码，要求2个0不相邻，则不同代码的种数为（）A.10 B.15 C.20 D.240答案：A解析：思路：利用插空法计算可得.解答过程：依题意利用插空法，4个1有5个位置可以放0，故方法有种．故选：A．5.过抛物线的焦点作斜率小于0的直线与抛物线交于，两点，且与准线交于点，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：依题意可得焦点，准线，设直线的方程为：，，联立直线与抛物线方程，消元，得，再根据求出，从而得到，从而得到.解答过程：解：，焦点，准线，设直线的方程为：，联立直线方程得消去得过作轴，过作轴，，故选：方法提示：本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题.6.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论中正确的有（）个①公差；②；③的最大值为；④满足的的最小值为．A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由，，可得，从而判断①；由通项公式可得，从而判断②；根据数列的单调性及正负情况，可以判断③；求出令，解出的范围，从而判断④.解答过程：因为，，则，即，即，所以，则，故①正确；，故②错误；由，得，，因为，所以数列是递减数列，且当时，，当时，，所以的最大值为，故③正确；，令，解得，所以满足的的最小值为，故④错误．7.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（）个．A.180 B.240 C.300 D.360答案：C解析：思路：利用特殊位置优先处理及相同元素定位计算得到答案.解答过程：先排数字9得出有种，因为有两个1，所以总数有种.故选：C.8.已知，方程总有正实根，当取得最小值时，的值为（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：由两点之间距离公式以及点线得距离公式，可得函数解析式，利用导数，可得答案.解答过程：由题意可得点是直线，可表示为点到原点的距离的平方，则的最小值为原点到直线的距离的平方，可得，令，求导可得，令，解得，由得或，由得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，由，，则当时，取最小值.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（）A.在上单调递增B.在上单调递减C.是的极小值点D.是的极小值点答案：AC解析：思路：根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解.解答过程：由图可知：当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，在上也单调递增，故A正确，BD错误；又由图可知，且在左边导数，所以函数在左边附近单调递减，故是的极小值点.故C正确.故选：AC10.设公比为的等比数列的前项积为，若，则（）A.当时，或 B.C.当时，为等差数列 D.答案：ABD解析：思路：由，可得，从而判断B；当时，由，可得或，从而判断A；根据等差数列的定义判断C；由基本不等式判断D.解答过程：公比为的等比数列的前项积为，由，可得，则，故B正确；当时，，所以，故或，故A正确；，当时，，则不为常数，故不是等差数列，故C不正确；，当且仅当时等号成立，故D正确．11.已知椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，．若P为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（）A.当，时，B.C.D.当时，的取值范围是答案：AD解析：思路：对于，由椭圆与双曲线的定义可将与用和表示，即可得出答案；对于，由得，，再在中用一次余弦定理即可得到答案；对于，由得，又，，代入可得答案；对于，因为，所以，化简可得，再利用三角恒等变换中的平方关系进行转化即可．解答过程：由，，得，．所以，当，时，，则正确．；因为，其中，，所以，则错误；对于，，将，，，代入，可得，则错误；对于，因为，所以，即，化简得，即，即．令，，则，其中，，取．因为，，所以，，所以，，故．因为，所以在上单调递增，故，则正确．故选：AD．第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．12.已知函数在处有极小值，则a的值为______答案：解析：思路：对函数求导，根据已知有求参数值，注意验证是否符合题设.解答过程：由题设，则，所以，可得或，当，，当或时，，当时，，所以在、上单调递增，在上单调递减，所以处有极大值，不符；当，，当或时，，当时，，所以在、上单调递增，在上单调递减，所以处有极小值，符合；所以.故答案为：.13.根据“援疆支教”工作的要求，我校决定派出位骨干教师对新疆哈密地区个学校进行教学帮扶，每个学校至少分配一位骨干教师，则不同的分配方案种数为_______（用数字作答）．答案：解析：思路：分成，这两种情况，先分组，再分配.解答过程：依题意位骨干教师可以分为，这两种情况，若为，则有种不同的分配方案；若为，则有种不同的分配方案；综上可得一共有种不同的分配方案.故答案为：14.数列满足，则其通项公式_______；若数列满足，且对均有恒成立，则实数的取值范围为_______．答案：①.②.解析：思路：根据数列的递推关系式结合等差数列的定义与通项公式即可得通项公式；根据结合累乘法求得，根据等比数列求和得最值即可得关于实数的不等式，即可得解集.解答过程：由可得，当时，，不满足，故，则，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故，所以；则，所以，设，由于为递增数列，所以，则恒成立，解得或，故实数的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上的最小值是，求a的值.答案：（1）答案见解析；（2）解析：思路：（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性；（2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出.（1）易知的定义域为，可得；若，可得，此时在上单调递增；若，令，解得；当时，，即可得在上单调递减；当时，，即可得在上单调递增；综上可得，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，可知在上单调递减，在上单调递增；此时在处取得极小值，也是最小值；因此，解得，符合题意；当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意；综上可知，16.数列满足，，．（，）．（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列满足，证明：对一切正整数n，有．答案：（1）证明见解析，（2）证明见解析解析：思路：（1）将，变形为，，再利用等比数列的定义判断，进而利用累加法求解；（2）由（1）得，再利用裂项相消法求解.（1）解：由，得，，又，则，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，当时，，则=，又当时，符合上式，∴．（2）由（1）得，∴，∴．故对一切，有.17.如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且.（1）证明：；（2）若，，求平面与平面夹角的大小.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用线面垂直的判定与性质，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案.（1）连接，∵，均为正三角形，为的中点，∴，，平面，，∴平面，平面，∴，，，平面，∴平面，平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，，平面，平面，∴平面，平面，故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，∴，，且平面，平面，平面，由平面，则，又，，平面，∴平面，∴，设平面的法向量为，则令得是平面的一个法向量，显然平面的一个法向量为，∴，故所求角为.18.已知椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为．（1）求C的方程；（2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P．已知．（ⅰ）证明：P、M、Q三点共线；（ⅱ）求的取值范围．答案：（1）（2）（i）依题意可设直线l的方程为，，，．联立，消元得，显然，则，，于是直线PM的方程为，即，其中，则直线PM的方程为，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线；（ii）解析：思路：（1）先由抛物线的准线方程求出的值，再由椭圆的离心率求出的值，即得椭圆的方程；（2）（i）设直线l的方程为与椭圆方程联立，写出韦达定理，求得直线PM的方程为，利用韦达定理可化简证明，即可证明直线经过点，从而得证；（ii）利用向量数量积的坐标计算公式计算并化简，代入韦达定理，将其化成，再根据不等式的性质即可求得其范围.（1）因抛物线的准线方程为，且，则，解得，又因椭圆的离心率为，则，代入，解得，故椭圆C的方程为；（2）（ⅰ）略（ⅱ）因