2025-2026学年四川省广安市加德学校高一下册3月月考1数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，则（）A.0 B.1 C. D.22.（）A. B. C. D.3.已知非零向量，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知边长为2正方形中，点，分别为，的中点，则（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（）A. B. C. D.不确定6.已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（）A. B. C. D.7.一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（）A B. C. D.8.在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（）A.1 B.4 C. D.5二、多选题（题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数，则（）A. B. C. D.10.已知是夹角为单位向量，且，则下列选项正确的是（）A. B.C.的夹角为 D.在上的投影向量为11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（）A.为定值B.的取值范围是C.当时，为定值D.的最大值为8三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.在中，则__________.13.若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______．14.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求实数值．16.已知复数，其中．（1）设，若是纯虚数，求实数m的值；（2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标.17.如图，在梯形中，为线段中点，记（1）用表示向量；（2）求与夹角的余弦值.18.在中，角的对边分别为．已知，，．（1）求A的值；（2）求c的值；（3）求的值．19.设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值；（3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值.

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，则（）A.0 B.1 C. D.2答案：C解析：思路：由复数模的计算公式直接计算即可.解答过程：若，则.故选：C.2.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：解：．3.已知非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：思路：考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.解答过程：如图所示，，当时，与垂直，，所以成立，此时，不是的充分条件，当时，成立，是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.4.已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据题意结合数量积的几何意义运算求解.解答过程：因为点，分别为，的中点，则，且在方向上的投影数量为2，所以.故选：B.5.已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（）A. B. C. D.不确定答案：C解析：思路：根据三角形的性质，求得，再由为锐角，结合余弦定理，求得的范围，即可求解.解答过程：设三角形为，且，由三角形的几何性质，可得，由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角，则，即，解得；，即，解得，综上可得，，即的取值范围为.故选：C.6.已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先计算，再利用公式计算即可.解答过程：因，则，则，又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，则，即，则.故选：A7.一船以的速度向东航行，船在点A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达点C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：作出示意图，在中，可由正弦定理求的长，即得到答案.解答过程：作出示意图如图所示，，，，则.由正弦定理，可得，则.所以这时船与灯塔的距离为.故选：B8.在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（）A.1 B.4 C. D.5答案：C解析：思路：利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值.解答过程：三点共线即故的最小值为.故选：C.二、多选题（题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9已知复数，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的模长公式逐项分析判断.解答过程：因为，所以，故AC错误，BD正确.故选：BD.10.已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（）A. B.C.的夹角为 D.在上的投影向量为答案：BCD解析：思路：对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得.解答过程：是夹角为的单位向量，，对于，，同理可得，故错误；对于，，故正确；对于，因又，，故C正确；对于，所以在上的投影向量为，故正确.故选：．11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（）A.为定值B.的取值范围是C.当时，为定值D.的最大值为8答案：ABC解析：思路：根据题设中的圆幂定理可判断A；取的中点为，连接，利用向量的线性运算可判断B；利用圆幂定理和向量的线性运算可判断C；根据直径的大小可判断D.解答过程：对于A，如图，过作直径，由题意，故A正确；对于B，设中点，连接，则，由题意，则，故B正确；对于C，若，则，则，又，则，同理可得，故，故C正确；对于D，因为，则当弦均与重合时，此时有最大值16，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.在中，则__________.答案：解析：思路：利用余弦定理进行求解.解答过程：由题意得，又，所以.故答案为：13.若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______．答案：解析：思路：通过向量积的坐标运算，可得到，从而可得投影向量为零向量.解答过程：因为，所以，，所以，所以，即在方向上的投影向量为零向量，坐标为.故答案为：.14.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m.答案：，解析：解答过程：在中，，由正弦定理得，得．在中，，，∴．在中，，由余弦定理得，∴．因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可；（2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解.（1）若，则，即，则，.（2），则，则，，得.16.已知复数，其中．（1）设，若是纯虚数，求实数m的值；（2）设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，若，求点P坐标.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知可得，根据是纯虚数即可求解；（2）当时求得复平面上对应的点的坐标，利用向量的坐标表示，计算即可求解.（1），因为是纯虚数，所以且，解得；（2）当时，，故得，，故．设点，则，，因为，所以，解得所以点P的坐标为.17.如图，在梯形中，为线段中点，记（1）用表示向量；（2）求与夹角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量加法法则，结合向量的线性运算可得结果；（2）由向量数量积和向量的夹角公式计算即可.（1）因为，为线段中点，且，则；（2）由于，可得，又有，所以.由，可得，且，故.18.在中，角的对边分别为．已知，，．（1）求A的值；（2）求c的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理化边为角再化简可求；（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.（1）已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，则，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故.19.设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.（1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值；（3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得；（2）利用