2025-2026学年四川省眉山市东坡区冠城实验学校高一下册期中考试数学试卷（含解析）

/数学（考试时间：120分钟试卷总分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中是奇函数且周期为的函数为（）A. B. C. D.2.化简：等于（）A. B. C. D.3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B.C. D.4.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知为第二象限角，，则（

）A. B. C. D.7.已知在△ABC中，，则等于（）A. B. C. D.8.如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（）A. B.C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（）A.和B.和C.和D.和10.已知函数，则下列说法中正确的是（）A.的最小正周期为 B.在上单调递增C.是的一个对称中心 D.当时，的最大值为111.在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（）A.若，则的面积为 B.若，则C.若，则 D.若有两解，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分12.已知向量，若，则_____．13.已知，则________.14.已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量与的夹角为，，.（1）求；（2）若和垂直，求实数的值.16.已知函数的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．17.已知平面向量．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值；（3）若两向量的夹角为钝角，求的取值范围．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.19.已知函数（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；（2）若为偶函数，设，求在区间上的值域；（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．

数学（考试时间：120分钟试卷总分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列函数中是奇函数且周期为的函数为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：对于A

：函数的最小正周期为，函数为奇函数，A错误；对于B：函数为奇函数，最小正周期为，B正确；对于C

：的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，且最小正周期为，C错误；对于D：函数的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，最小正周期为，D错误.2.化简：等于（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：.3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用三角函数的定义可求得结果.解答过程：由已知可得.故选：C.4.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用数量积的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示B；利用垂直关系的向量表示判断C；求出向量的模判断D.解答过程：对于A，，A错误；对于B，，不平行，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，，D错误.故选：C5.已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接根据投影向量的定义计算可得.解答过程：因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：.故选：A.6.已知为第二象限角，，则（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：∵为第二象限角，，∴，∴，故选A.7.已知在△ABC中，，则等于（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由以及正弦定理得，故设，则.8.如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题意可得，根据共线定理得到，由基本不等式可得的最小值.解答过程：因为，所以，因为，所以，因为点是线段的中点，所以，所以，又因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，取到最小值，故选：D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（）A.和B.和C.和D.和答案：ACD解析：思路：利用基底的定义，逐项判断.解答过程：对于A，令，由不共线，得且，矛盾，与不共线，A能；对于B，，和共线，B不能；对于C，令，由不共线，得且，矛盾，和不共线，C能；对于D，，由不共线，得且，矛盾，和不共线，D能.故选：ACD10.已知函数，则下列说法中正确的是（）A.的最小正周期为 B.在上单调递增C.是的一个对称中心 D.当时，的最大值为1答案：AC解析：思路：根据最小正周期的公式，即可判断A的正误；令，即可求得的单调增区间，对k赋值，可判断B的正误；将代入，即可判断C的正误；根据x的范围，求得的范围，结合正弦函数的性质，可求得的最大值，即可判断D的正误，即可得答案.解答过程：对于A：因为，所以最小正周期，故A正确；对于B：令，解得，令得，令，，故B错误；对于C：令代入可得，所以是的一个对称中心，故C正确；对于D：当时，，所以当时，最大值为1，所以的最大值为，故D错误.故选：AC方法提示：解题的关键是熟练掌握正弦型函数的单调性、周期性、对称性等知识，并灵活应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.11.在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（）A.若，则的面积为 B.若，则C.若，则 D.若有两解，则答案：ACD解析：思路：根据三角形的面积公式计算即可判断A；根据正弦定理计算即可判断B；根据余弦定理计算即可判断C；根据正弦定理和且即可判断D.解答过程：A：若，则，故A正确；B：若，由正弦定理得，即，解得，故B错误；C：若，由余弦定理得，即，整理得，由解得，故C正确；D：由正弦定理得，则，由得，若有两个解，则且，所以，即，解得，故D正确.故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分12.已知向量，若，则_____．答案：2解析：解答过程：由题意得，，解得．13.已知，则________.答案：解析：思路：将分子分母同时除以，把原式转化为关于的式子解答.解答过程：解：，故答案为：.方法提示：本题主要考查同角三角函数的基本关系，利用化简是解题的关键.14.已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________．答案：解析：思路：由的范围,可得的范围,由题意可得的范围,进而求出的范围.解答过程：因为,所以,要使函数有5个零点,则,解得的范围为.故答案为:.四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量与的夹角为，，.（1）求；（2）若和垂直，求实数的值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）把平方，转化为数量积的运算．（2）由可求得．解答过程：解：（1），将，代入上式得.（2）因为和垂直，所以，展开可得.将，.代入上，解得.16.已知函数的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．答案：（1）；（2）对称轴方程是；对称中心坐标是，．解析：思路：（1）由图象可得，由求出周期可得的值，再由最高点可得的值，进而可得的解析式；（2）先根据图象的伸缩和平移变换求出的解析式，再由正弦函数的对称轴和对称中心即可求解.解答过程：（1）由图象可得，由，解得：，由，解得因为，所以，，所以；（2）由题意得，令，解得：，所以函数图象的对称轴方程是，令，解得：，所以函数图象的对称中心坐标是.17.已知平面向量．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值；（3）若两向量的夹角为钝角，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据向量共线的坐标表示得到方程解得即可；（2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程求解；（3）两个向量的数量积小于零且两向量不共线，求出范围即可．（1）因为且，所以，解得．（2）因为，所以，又且，所以，解得．（3）由两向量的夹角为钝角，则，且与不共线，由，解得，由与共线，得，所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.答案：（1）60°；（2）；（3）.解析：思路：（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得，结合范围B∈（0，π），可求；

（Ⅱ）利用三角形面积公式即可计算得解．

（Ⅲ）利用三角函数恒等变换的应用可得，结合范围，利用正弦函数的有界性即可求解．解答过程：（Ⅰ）由.，得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得.（Ⅲ）由题意得.因为0＜A＜，所以.故所求的取值范围是.方法提示：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．19.已知函数（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值；（2）若为偶函数，设，求在区间上的值域；（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．答案：（1）最大值为1，取得最大值的（2）；（3）.解析：思路：（1）把代入，利用正弦函数的性质求解.（2）求出函数，并利用和差角的正弦公式化简，再利用正弦函数性质求出值域.（3）将问题转化为，结合正弦函数的性质及二次函数性质分类求解.（1）当时，，则，此时，解得，所