2025-2026学年四川省绵阳市三台中学高一下册5月教学质量检测数学试卷（含解析）

/数学考试时间：120分钟总分：150一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.2 B. C. D.2.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.4.在中，点在边上，点，分别在线段，上，且有，，，则A. B.C. D.5.在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，是侧面内任意一点(包含边界)，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图，已知中，，点在线段上运动，且满足，当取到最小值时，的值为()A. B. C. D.7.在菱形中，为边上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.138.已知的内角的对边分别为．若，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列说法正确的有（）A.棱柱的侧面一定是平行四边形B.棱台的侧面一定不是平行四边形C.棱锥的侧面是全等的三角形D.圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形10.中，下列说法正确的是（）A.若，则为锐角三角形．B.若，则点的轨迹一定通过的内心．C.若为重心，则D.若点满足，则11.已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（）A.若平面，且，则的最小值为B.若，且，则的最小值为C.若，则的最小值为D.的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上.

12.已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________.13.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．14.如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求；（2）若与垂直，求实数的值.16.在中，角的对边分别为，若，其中，（1）求角的大小；（2）若的面积为．①求的值；②求的值．17.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．18.在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求角；（2）已知，当取最小值时，求外接圆的半径．19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．（1）求证：平面．（2）求证：平面．（3）求直线与平面所成角的大小．

数学考试时间：120分钟总分：150一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.2 B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，所以．2.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得，而，则，因此，又，所以与的夹角为．3.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：已知，则，解得，在方向上的投影向量为：．4.在中，点在边上，点，分别在线段，上，且有，，，则A. B.C. D.答案：B解析：思路：由题易知，，，，根据向量的减法法则，可得，带入求得结果.解答过程：如图，∵，∴.∵，∴.∵，∴.∴.故选B.方法提示：本题考查了向量的四则运算，熟悉向量的四则运算是解题的关键，属于较为基础题.5.在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，是侧面内任意一点(包含边界)，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用几何法取直线与平面所成角的正弦值的临界状态可得答案.解答过程：如图，正三棱柱棱长均为2，取的中点为，则平面，当点是靠近点的四等分点时，，则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1；当点与重合时，此时最长，即，因为正三棱柱中，是棱的中点，所以点到平面的距离为，此时直线(即)与平面所成角的正弦值最小，为，所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.故选：D.6.如图，已知中，，点在线段上运动，且满足，当取到最小值时，的值为()A. B. C. D.答案：D解析：思路：以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，计算P点坐标，得到的式子得到答案.解答过程：以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系不妨设则，当时取最小值故答案选D方法提示：本题考查了向量的计算，函数的最值，建立直角坐标系可以简化运算.7.在菱形中，为边上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.13答案：A解析：思路：建系，由向量模长的坐标表示即可求解解答过程：由题意建立如图所示的平面直角坐标系．则，，当且仅当时取等号．故选：A8.已知的内角的对边分别为．若，则是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形答案：B解析：解答过程：由和余弦定理，可知，因此；则，因此是以角为直角的直角三角形.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列说法正确的有（）A.棱柱的侧面一定是平行四边形B.棱台的侧面一定不是平行四边形C.棱锥的侧面是全等的三角形D.圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形答案：AB解析：思路：利用棱柱，棱台，棱锥和圆柱的定义和结构特征逐一判断选项即可.解答过程：对于A，由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确；对于B，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确；对于C，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误；对于D，因圆柱的母线垂直于两底面，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误.10.中，下列说法正确的是（）A.若，则为锐角三角形．B.若，则点的轨迹一定通过的内心．C.若为重心，则D.若点满足，则答案：BCD解析：思路：根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D．解答过程：选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形，故A错误；选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致．若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；选项C：若为的重心，设边的中点为，则，故C正确；选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，于是有．又，则，故D正确．故选：BCD．11.已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（）A.若平面，且，则的最小值为B.若，且，则的最小值为C.若，则的最小值为D.的最小值为答案：ABD解析：思路：过点作交于点，过点作交于点，连接，推导出平面平面，推导出为点的轨迹，可求出的最小值，可判断A选项；推导出平面，则点的轨迹为线段，可求出长的最小值，可判断B选项；过点作分别交、于点、，连接、、，推导出平面，可知点的轨迹为线段，当时，的长取最小值，可判断C选项；延长交线段于点，推导出平面平面，可知点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，结合“将军饮马”思想求出长的最小值，可判断D选项.解答过程：对于A选项，过点作交于点，过点作交于点，连接，因为，平面，所以平面，同理可证平面，又因为，、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，当时，平面，则平面，故点的轨迹为线段，因为，所以，则，同理可得，又因为，，则是边长为的等边三角形，当点为的中点时，，此时的长取最小值，此时，A对；对于B选项，如下图所示，连接、，易知、都是边长为的等边三角形，且为的中点，所以，，又因为、平面，，所以平面，当时，平面，则，故点的轨迹为线段，由勾股定理可得，同理可得，故当为的中点时，，此时的长取最小值，且，B对；对于C选项，过点作分别交、于点、，连接、、，因为为正的中心，则，因为，则，因为三棱锥为正四面体，则平面，因为平面，所以，因为，、平面，所以平面，当时，则平面，所以，故点的轨迹为线段，延长交于点，则为的中点，因为为正的中心，则，因为，所以，故，由余弦定理可得，故，同理可得，由余弦定理可得，所以，当时，的长取最小值，此时，故长的最小值为，C错；对于D选项，如下图所示：延长交线段于点，则点为线段的中点，因为、均为等边三角形，所以，，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，因为平面，平面，所以，易知，，设点关于直线、的对称点分别为、，由对称性可知，，，所以，在中，，，由余弦定理可得，所以，由余弦定理可得，故，由对称性知，，所以，当且仅当、为线段分别与线段、的交点时，等号成立，故的最小值为，D对.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上.

12.已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________.答案：解析：思路：由圆台的侧面积公式得圆台的母线长，由勾股定理得圆台的高，再由圆台的体积公式得圆台的体积.解答过程：圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为，由圆台的侧面积公式得，解得，由勾股定理得，由圆台的体积公式得，故答案为：.13.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________．答案：解析：解答过程：已知，，，则，由正弦定理得，则，，已知，，，故．14.如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.答案：解析：思路：根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解.解答过程：连接，交于点，交于点，连接，，设正方形的边长为，因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中，点（即点）在底面上的射影一直在直线上，又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影，即平面，因为平面，所以，因为为对角线、的交点，所以，即，所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径，则，解得，因为为的中点，为的中点，所以为的重心，则，在中，，即三棱锥的高为，则三棱锥的体积.四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求；（2）若与垂直，求实数的值.答案：（1）（2）1解析：思路：（1）由向量的坐标运算及模的公式即可求解；（2）由向量垂直的坐标公式列出方程求解即可.（1）由，，可得：，所以.（2），，因为与垂直，所以，解得.16.在中，角的对边分别为，若，其中，（1）求角的大小；（2）若的面积为．①求的值；②求的值．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到，从而得出；（2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求；②利用正弦定理求得，再由三角恒等变换计算可求的值.（1）因为，则，又，所以，由正弦定理得，即，又是内角，则,所以，即,又是内角，则.（2）①在中，，由（1）及余弦定理得，又，，联立解得，或（舍去）；②由正弦定理可得，，因为，，所以，所以，由可知，所以，故.17.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面；（2）由平面平面，得，连接，由且，所以四边形为平行四边形，又，所以平行四边形为正方形，所以，又，，又平面，平面，由平面，所以平面平面；（3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又因为平面，所以，故为二面角的平面角，即设，在中，，作，垂足为，由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面，则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直线与平面所成角的正弦值为.18.在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为