2025-2026学年云南省曲靖市罗平县第一中学高二下册3月份考试数学试卷（含解析）

/数学本试卷共4页19题，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的虚部是（）A. B. C. D.23.已知等比数列则（）A.8 B.±8 C.10 D.±104.若，且是第四象限角，则等于（）A. B.C. D.5.若函数在处取得极值1，则（）A.-4 B.-3 C.-2 D.26.甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（）A.0.95 B.0.6 C.0.05 D.0.47.设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若与所成的角相等，则8.直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（）A. B. C. D.二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）A.B.样本质量指标值的平均数为75C.样本质量指标值的众数小于其平均数D.样本质量指标值的第75百分位数为8510.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值11.关于函数，下列结论正确的是（）A.是的一个对称中心B.函数在上单调递增C.函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到D.若方程在区间上有两个不相等的实根，则第II卷（非选择题，共92分）三．填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量与的夹角为π4，且，．则_____．13.已知函数，则在处切线方程为__________.14.已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为_______．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．16.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求；（2）若a=2，且的面积为，求的周长.17.已知函数．（1）当a=2时，求的单调区间；（2）若不等式恒成立，求的最大值．18.如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.19.已知抛物线：（）的焦点为，直线：y=x+m与交于，两点.（1）求的方程.（2）求的取值范围.（3）设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

数学本试卷共4页19题，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，所以.2.复数的虚部是（）A. B. C. D.2答案：B解析：思路：根据复数的除法运算化简，即可判断其虚部.解答过程：，所以复数的虚部是.故选：B.3.已知等比数列则（）A.8 B.±8 C.10 D.±10答案：A解析：思路：运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.解答过程：根据等比中项知道，求得，则.又，则.故选：A.4.若，且是第四象限角，则等于（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据同角公式可得，再结合两角和差公式运算求解即可.解答过程：因为，且是第四象限角，则，所以.5.若函数在处取得极值1，则（）A.-4 B.-3 C.-2 D.2答案：D解析：思路：通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值.解答过程：由题意，，在中，，在处取得极值1，∴，解得：，经经验满足题意，∴，故选：D.6.甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（）A.0.95 B.0.6 C.0.05 D.0.4答案：A解析：思路：方法一：逐个分析至少有一颗卫星预报准确的所有可能的事件，依次求其概率后相加，方法二：正难则反，“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”用1减去对立事件的概率即可.解答过程：设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件A，方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为，②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为，③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为，这三个事件彼此互斥，故事件A的概率为，方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件A的概率为．7.设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若与所成的角相等，则答案：B解析：思路：根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断.解答过程：对于A选项，若，，则与可能平行、相交或异面.例如，在正方体中，平面，平面，但与A1B1是相交的；平面，平面，但与是平行的.A1C1//平面，平面，但与是异面的.所以A选项错误.对于B选项，若，则存在直线l⊂α，使.又因为，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直，所以.由于，根据异面直线所成角的定义可知，所以B选项正确.对于C选项，若，，则或.例如，当在平面内时，也能满足且，所以C选项错误.对于D选项，若，与所成的角相等，则与可能平行、相交或异面.例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间相交.所以D选项错误.故选：B.8.直线与圆交于A，两点，且的面积为2，已知M是圆上的动点，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据圆的方程求出圆心坐标和半径，根据的面积可判断的形状，进而可求得圆心到直线的距离即弦长，根据向量的线性运算可将的最大值转化为圆上的点M到弦中点距离的最大值问题.解答过程：由圆，即得圆的圆心为，半径，取AB的中点D，则，如图：因为的面积为2，所以，解得，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以，所以当取得最大值时，取得最大值，，所以的最大值为.二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）A.B.样本质量指标值的平均数为75C.样本质量指标值的众数小于其平均数D.样本质量指标值的第75百分位数为85答案：ACD解析：思路：运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可.解答过程：对于A项，由题意知，解得0.030，故A项正确；对于B项，样本质量指标值的平均数为，故B项错误；对于C项，样本质量指标值的众数是，故C项正确；对于D项，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数位于第4组，设其为，则，解得，即第75百分位数为85，故D项正确.故选：ACD项.10.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值答案：ABD解析：解答过程：由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确；函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确.11.关于函数，下列结论正确的是（）A.是fx的一个对称中心B.函数fx在上单调递增C.函数fx图像可由函数的图像向右平移个单位得到D.若方程在区间上有两个不相等的实根，则答案：BC解析：思路：根据三角函数图像性质分别判断各选项.解答过程：A选项：由，令，k∈Z，解得，k∈Z，所以其对称中心为，所以不是其对称中心，A选项错误；B选项：令，k∈Z，解得，k∈Z，即函数的单调递增区间为，k∈Z，又，C选项：由，向右平移可得，C选项正确；D选项：，即，设，则，即函数与函数y=sint在做出函数图像，如图所示，所以可得，解得，D选项错误；故选：BC.第II卷（非选择题，共92分）三．填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量与的夹角为π4，且，．则_____．答案：解析：思路：先求平方再开方即可求解.解答过程：，故答案为：.13.已知函数，则fx在处切线方程为__________.答案：x−解析：思路：首先求出函数的导函数，再根据导数的几何意义求出以及，最后利用点斜式求出切线方程即可.解答过程：因为，所以，当时，，，所以fx在处切线方程的斜率，即切线方程为.故答案为：x−14.已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为_______．答案：解析：思路：由双曲线的定义结合余弦定理求出间关系，再由离心率的齐次式可得.解答过程：由题意可得，所以，又，所以在中，，在中，，所以，解得，所以.故答案为：.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知数列是等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值．答案：（1）（2）最小值解析：思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值.（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以．（2）因为是等差数列，所以．因为，所以当时，有最小值.16.已知，，分别为三个内角A，，的对边，且.（1）求A；（2）若a=2，且的面积为，求的周长.答案：（1）（2）6解析：思路：（1）利用正弦定理将边化角，即可得解；（2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长.（1）因为，由正弦定理得，，因为，所以，则，则，又，所以．（2）由（1）知，又因为a=2，由余弦定理，得①，

由题意知，即②，联立①②得，所以，故，则的周长为.17.已知函数．（1）当a=2时，求的单调区间；（2）若不等式恒成立，求的最大值．答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）解析：思路：（1）通过导函数的符号判断函数的单调性即可；（2）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值，解对数不等式即可求得参数的范围.（1）当a=2时，，函数定义域为，有，解得，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）不等式恒成立，即恒成立，即恒成立.令，则，当时，则，函数在上单调递增，因为，不符合题意；当时，由，得，则函数在上单调递增，由，得，则函数在上单调递减，故的最大值为，由和，解得.综上可得，的最大值为.18.如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为AB，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析.（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证.（2）以D为原点建立空间直角坐标系D−xyz，求出平面（1）在三棱柱中，由底面,平面，得，由为等边三角形，为AB的中点，得，而平面，所以平面.（2）取中点，连结，由为AB的中点，得，由（1）知平面，平面，则，而，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系D−xyz，则，，，，设平面的法向量，则，令，得，而，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的