2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市高二下册6月期末测试数学试卷（含解析）

/数学考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B.C. D.2.已知命题，；命题，，则（）A.和都是真命题B.和都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题3.已知集合，，则（）A. B.C. D.4.的展开式中的系数为（）A. B.C. D.5.一名同学投掷骰子5次，分别记录每次出现的点数．现已知平均数和中位数均为3，则（）A.点数6可以出现2次 B.众数不可能为3C.极差可能是5 D.方差可能是16.已知函数与函数的图象有唯一公共点，则实数（）A.4 B.2 C.1 D.07.在中，，，P，Q是线段上的动点，且的长度不小于1，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.在三棱锥中，，，，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则的最大值为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若在成对样本数据分析中得到相关系数，则表明成对样本数据间没有线性相关关系B.若一组数据（，，，…，）的线性回归方程为，，，则C.若，，则D.设，是两个随机事件，记为事件的对立事件，若，，则10.已知函数（，）满足，则（）A.B.C.当时，D.当，且在上单调递减时，11.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则（）A.的图象关于点中心对称B.在单调递增C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙两人各投篮一次，若甲投中的概率是，乙投中的概率是，则两人中恰好有1人投中的概率为_______．13.已知两个圆锥的母线长相等，它们的侧面展开图中圆心角之和为，记两个圆锥侧面积分别为，，体积分别为，，若，则_______．14.若存在m，且，满足对任意，恒成立，则的取值范围为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为调查某地区水质污染整治情况，研究人员将该区域的100个水体样品中的A指标值检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值，并估计A指标值的中位数；（2）若从A指标值在和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取10个样本，求从中抽取的样本数量．16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若，求的面积最大值．17.如图1是由矩形和等腰直角组成的一个平面图形，其中，，将沿着折起使得，如图2．若E是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．18.已知函数，，，．（1）若，求不等式的解集；（2）若函数在区间的最大值为，求的取值范围；（3）当时，函数在区间至少有4个零点，求a的取值范围．19.已知在中，，，，与交于点F．（1）若，求；（2）求在上的投影向量的模的最小值；（3）过F作直线l分别交线段、于点M、N，记与面积分别为，，求的取值范围．

数学考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用复数运算法则计算出后，再利用模长公式即可得.解答过程：，故.2.已知命题，；命题，，则（）A.和都是真命题B.和都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题答案：C解析：解答过程：因为，所以是假命题，是真命题；若，则；若，则，故是真命题.3.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由得，结合，；由得，即.对选项A：，所以A正确；选项B：，所以B错误；选项C：为有限整数集，为实数区间，，所以C错误；选项D：中存在非整数元素，所以，所以D错误.4.的展开式中的系数为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：二项展开通项所以令，解得,展开式中的系数.5.一名同学投掷骰子5次，分别记录每次出现的点数．现已知平均数和中位数均为3，则（）A.点数6可以出现2次 B.众数不可能为3C.极差可能是5 D.方差可能是1答案：C解析：解答过程：设5次投掷骰子的点数从小到大分别为，因为平均数和中位数是3，所以，.选项A，若点数6出现两次，则，不可能，A错误；选项B，反例：1,3,3,3,5，满足题干，3是众数，B错误；选项C，若极差为5，则，所以，取，满足题意，C正确；选项D，若方差为1，则，即，即存在两个0，不妨设，则，此时，与题干矛盾，故方差不能为1，D错误.6.已知函数与函数的图象有唯一公共点，则实数（）A.4 B.2 C.1 D.0答案：B解析：思路：先判断两个函数图象的对称性，再根据两个函数的最值求出.解答过程：因为，且定义域为，所以的图象关于对称；因为的对称轴为，所以的图象关于对称；因为，等号成立时，且在处取最大值，所以若、的图象有唯一公共点，则，得.7.在中，，，P，Q是线段上的动点，且的长度不小于1，则的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：建立平面直角坐标系，设，依题意得，利用向量的坐标运算求出的表达式，结合二次函数的性质求解即可．解答过程：取的中点，因为，，故，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示：则，依题意得，设，由题意知，由P，Q是线段上的动点，得，，则，当时，取得最小值，由于，当时，取最小值；当或时，取得最大值，由于，当时，取最大值；综合可得的取值范围为.8.在三棱锥中，，，，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则的最大值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：取在平面上的投影，作于点、作于点，结合投影性质与线面垂直的判定定理与性质定理可得、，结合题目所给条件可得四边形为矩形，再设、、，计算可得，再表示出、后，利用两角差的正切公式及基本不等式计算即可得解.解答过程：取在平面上的投影，作于点、作于点，连接、，由投影性质可得平面，又、平面，故、，又、平面，故、，又、、、，且、平面、、平面，故平面、平面，又平面、平面，故、，故、，则、，由，故，又、，故四边形为矩形，则、，设、、，则、，即有、，整理得、，故，即，则、，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若在成对样本数据分析中得到相关系数，则表明成对样本数据间没有线性相关关系B.若一组数据（，，，…，）的线性回归方程为，，，则C.若，，则D.设，是两个随机事件，记为事件的对立事件，若，，则答案：ACD解析：思路：借助相关系数定义、线性回归方程性质、正态分布性质及条件概率与对立事件性质逐项判断即可得.解答过程：对A：若在成对样本数据分析中得到相关系数，则表明成对样本数据间没有线性相关关系，故A正确；对B：由，，则，，故，解得，故B错误；对C：，故C正确；对D：，则，故D正确.10.已知函数（，）满足，则（）A.B.C.当时，D.当，且在上单调递减时，答案：BC解析：思路：由恒成立，得进行判断A，B项，对于C项由函数在处取得最大值为1，且，得进行求解；对于D项由单调性求解．解答过程：由，得，得，则对于，得，故，故A项错误；由及，得，故B项正确；对于C项，由及，得函数在处取得最大值为1，且，得，得，由及，得，当，时，得，得，结合，得此时无解；当，时，得，得，结合，得此时，故C项正确；对于D项，当时，得，由，得，则且，得，故D项错误．11.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则（）A.的图象关于点中心对称B.在单调递增C.D.答案：ABC解析：思路：对A：结合奇函数定义与可得，即可得解；对B：由A可得，则可得以为周期，结合时，，可得在时函数解析式，即可得其单调性；对C：由A知，结合函数周期与时，计算即可得解；对D：举出反例即可得解.解答过程：对A：由是定义在上的奇函数，则，又，有，则，即有，则，即，故有，又，即，即，故的图象关于点中心对称，故A正确；对B：由A知，故以为周期，当时，有，则，故在上单调递增，故B正确；对C：由A知，故，故、、、，则，又，，以为周期，则，故C正确；对D：，取，有，则，故D错误.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙两人各投篮一次，若甲投中的概率是，乙投中的概率是，则两人中恰好有1人投中的概率为_______．答案：##解析：思路：利用相互独立事件的概率公式计算即可得.解答过程：.13.已知两个圆锥的母线长相等，它们的侧面展开图中圆心角之和为，记两个圆锥侧面积分别为，，体积分别为，，若，则_______．答案：##解析：思路：借助圆锥侧面积公式、体积公式与扇形圆心角定义计算即可得.解答过程：设这两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为、，则，即有，又，，则，则，，.14.若存在m，且，满足对任意，恒成立，则的取值范围为_______．答案：解析：思路：原不等式等价于，拆成两个二次函数恒非负的问题，利用判别式得到关于和的双边约束，进而确定的范围，然后将目标式表示为的函数，通过求导分别求出下界函数的最小值和上界函数的最大值，最终得到的取值范围.解答过程：等价于拆为两个不等式：右边：，移项得.左边：，移项得.两式均需对任意成立，二次项系数，故判别式.令，则.对第一式：，整理得.对第二式：，整理得.联立得.存在实数的充要条件是，化简得，即，解得.令，则，代入联立不等式.左边：，得.右边：，得.先求的最小值.记，.求导得.令得（正值），落在区间内部.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以是函数的极小值点，又区间内仅有这一个极值点，故此处取最小值.记，.求导得，故单调递增，最大值在处取得.代入得，此为最大值.综上，的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为调查某地区水质污染整治情况，研究人员将该区域的100个水体样品中的A指标值检测数据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值，并估计A指标值的中位数；（2）若从A指标值在和的两组中，用分层随机抽样的方法抽取10个样本，求从中抽取的样本数量．答案：（1）；（2）个解析：（1）由题意知组距为，由频率分布直方图性质可知:，计算得，故.依次计算区间累计频率：：；：；：；：.所以中位数落在，设中位数为.所以，解得.（2）分层抽样数量：组频数：.组频数：.两组数量比为.抽取个样本，中抽取数量为.所以从中抽取个样本.16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若，求的面积最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和与差的正弦公式计算即可得；（2）利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式计算即可得.（1）由，得，所以，即，因为，所以，因为，所以；（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，即的面积最大值为.17.如图1是由矩形和等腰直角组成的一个平面图形，其中，，将沿着折起使得，如图2．若E是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值．答案：（1）由题意知，，，又，、平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以，而，、平面，所以平面；（2）．解析：思路：（1）借助线面垂直的判定定理及性质定理推导即可得；（2）过点E作于点F，结合线面垂直的判定定理及性质定理可得就是直线与平面所成角，再求出各边长后，利用余弦定理计算即可得.（1）略（2）由（1）知，，平面，又，所以平面，又因为平面，所以，而，、平面，所以平面，又因为平面，所以，则，因为E是的中点，则，因为平面，平面，所以，所以，过点E作于点F，因为平面，所以，又因为，、平面，所以平面，所以就是直线与平面所成角，又因为，，，所以，即直线与平面所成角的余弦值为．18.已知函数，，，．（1）若，求不等式的解集；（2）若函数在区间的最大值为，求的取值范围；（3）当时，函数在区间至少有4个零点