2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市高一下册期末测试数学试卷（含解析）

/数学考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（）A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等C.菱形的直观图是菱形 D.三角形的直观图是三角形2.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.43.在中，已知锐角满足，，，则（）A. B. C. D.4.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到绿球”，事件“两次都摸到红球”，事件“两个球颜色不同”，则（）A.与是相等事件 B.与是相互独立事件C.与是互斥事件 D.与是互为对立事件5.已知样本数据，，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，…，的平均数为，方差为，则（）A.-2 B.2 C.或1 D.1或26.已知，，是三个不同的平面，，，是三条不同的直线.下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，则三条交线，，的交点个数为0或1，其中，真命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.47.在中，内角的对边分别为，若，且，则的外接圆半径为（）A. B. C. D.8.已知向量，，满足，，，若，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.暑假是学生旅游的黄金时段，某市为更好地提升学生旅游品质，该市文旅局随机选择100名学生游客对该市旅游体验进行满意度评分（满分100分），90分及以上为优秀等级，80分至89分为良好等级.现根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.B.估计样本数据的平均数为86C.估计样本数据的80%分位数为95D.若从评分为优秀等级与良好等级的学生中，用分层抽样的方法抽取14人进行交流，则抽到评分为良好等级的学生有6人10.已知是内一点，则（）A.当时，是的重心B.当时，C.当时，是的垂心D.当，时，在上的投影向量为11.已知正方体的棱长为2，为的中点，，为线段，上的动点，则（）A.三棱锥的体积为B.直线与所成角的最小角的正弦值为C.的最小值为D.当为正方体表面上的一个动点，且时，点的轨迹所围成的面积为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在直角梯形中，，，.若直角梯形以边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的侧面积为______.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为______.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.16.甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．现已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是．（1）求第二场比赛结束后比赛终止的概率；（2）求甲最终获胜的概率．17.如图，在平行四边形中，，，，，分别是线段，的中点，且.（1）求的值；（2）若点为线段上的动点，求的最小值.18.（用坐标法不给分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，设三棱锥的外接球球心为.（1）求侧面与底面所成二面角的余弦值；（2）求证：，，，四点共面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.19.在中，内角，，的对边分别为，，，满足.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，，当线段的长度取最大值时，求；（3）记的面积为，若，求.

数学考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（）A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等C.菱形的直观图是菱形 D.三角形的直观图是三角形答案：D解析：解答过程：如图：平面正方形的直观图为平行四边形，且，，，，.所以对A：，但直观图中，，故A错误；对B：平面图形中，，但直观图中，，，所以，故B错误；对C：正方形（也是菱形）的直观图为平行四边形，因为，所以四边形不是菱形，故C错误；根对D：据斜二测画法的规则可知，三角形的直观图是三角形，故D正确.2.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.4答案：C解析：思路：根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.解答过程：由向量，因为，可得，解得.3.在中，已知锐角满足，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先得到，再由余弦定理求解解答过程：，又为锐角，故，，由余弦定理得.4.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到绿球”，事件“两次都摸到红球”，事件“两个球颜色不同”，则（）A.与是相等事件 B.与是相互独立事件C.与是互斥事件 D.与是互为对立事件答案：C解析：解答过程：用形如表示摸出的两球，其中表示第次摸出球的标号，表示第次摸出球的标号，则样本空间为；事件包含；事件包含；事件包含；事件包含；故A选项错误；C选项正确；D选项错误；因为，故B错误.5.已知样本数据，，，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，…，的平均数为，方差为，则（）A.-2 B.2 C.或1 D.1或2答案：D解析：解答过程：由题意可得，，，得或.6.已知，，是三个不同的平面，，，是三条不同的直线.下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，则三条交线，，的交点个数为0或1，其中，真命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据线面平行的性质及线面平行的判定定理可判断①②，根据平面与平面的位置关系可判断③④.解答过程：对于①，若，，则或，错误.对于②，过作平面与交于，与交于，由线面平行的性质可得，，所以，由线面平行的判定定理可得，又，则，所以，正确.对于③，若，，则相交或平行，错误.对于④，若三条交线互相平行，则交点个数为0；若三条交线不平行，则交点个数为1，正确.7.在中，内角的对边分别为，若，且，则的外接圆半径为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用三角函数的相关公式对已知条件进行化简，可得，再结合三角形面积公式和正弦定理，即可求出外接圆半径.解答过程：已知，可得，移项得，即，又，所以，所以，则，所以，又，所以，又根据正弦定理，可得，，所以，又，所以，所以.8.已知向量，，满足，，，若，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.5答案：B解析：思路：将向量问题坐标化，把放在轴上简化已知条件，结合二次不等式求出点积的最小值.解答过程：已知，设，，，则由得；由得，由，平方得代入，得，化简得：

，即，则​，因此只需要求的最小值，由，不妨设，代入得：

即的最小值为，因此的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.暑假是学生旅游的黄金时段，某市为更好地提升学生旅游品质，该市文旅局随机选择100名学生游客对该市旅游体验进行满意度评分（满分100分），90分及以上为优秀等级，80分至89分为良好等级.现根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.B.估计样本数据的平均数为86C.估计样本数据的80%分位数为95D.若从评分为优秀等级与良好等级的学生中，用分层抽样的方法抽取14人进行交流，则抽到评分为良好等级的学生有6人答案：ACD解析：解答过程：对于A，由，解得，故A正确；对于B，各组中点依次为，则平均数，故B错误；对于C，由图知，在内的累计频率为，在内的累计频率为，故分位数落在.设分位数为，则，解得，故C正确；对于D，良好等级人数，优秀等级人数.分层抽样抽取人，抽样比，故良好等级抽取人，故D正确.10.已知是内一点，则（）A.当时，是的重心B.当时，C.当时，是的垂心D.当，时，在上的投影向量为答案：ABD解析：思路：对A，取中点，将已知向量式化简得到，结合重心的定义与性质判断；对B，利用三角形分点的性质，得到面积比等于对应向量的系数比，直接推出；对C，给已知等式两边同时点乘，化简后可得，因此不是的垂心；对D，设，结合已知条件计算出、，代入投影向量公式可得结果为.解答过程：对于A：取中点，则，由得，说明在中线上，且，符合重心的性质，A正确；对于B：对内一点，连接，延长交于，则即，整理得，由，得，即，B正确；对于C：，该式不恒为0，所以不恒与垂直，C错误；对于D：设，则，，，则：，

，向量在上的投影向量为：，

D正确.11.已知正方体的棱长为2，为的中点，，为线段，上的动点，则（）A.三棱锥的体积为B.直线与所成角的最小角的正弦值为C.的最小值为D.当为正方体表面上的一个动点，且时，点的轨迹所围成的面积为答案：CD解析：思路：根据题意，利用三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥的体积，可判定A错误；根据正方体的性质，结合异面直线所成角的定义，可判定B不正确；由的最小值为异面直线的公垂线段的长度，可判定C正确；过点作与平面平行的平面，得到截面为正六边形，可判定D正确.解答过程：对于A，由正方体的棱长为，可得其体积为，又由三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥，的体积，且四个三棱锥的体积相同，因为，所以三棱锥的体积为，所以A错误；对于B，延长到点，使得，再取的中点，可得，又由，可得，所以异面直线与所成角为，因为点在上运动，当点与点重合时，取得最小值，在直角中，，可得，即直线与所成角的最小角的正弦值为，所以B错误；对于C，因为为线段上的动点，所以的最小值为异面直线的公垂线段的长度，在正方体中，可得平面，因为平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证：，又因为，且平面，所以平面，设平面，因为为边长为的等边三角形，可得为的中心，在平面中，过作，因为平面，平面，，即为异面直线的公垂线段，可得，即的最小值为，所以C正确；对于D，由选项C知：平面，当为正方体表面上的一个动点，且时，过点作与平面平行的平面，交正方体的表面，如图（2）所示，得到截面为六边形，且六边形为边长为的正六边形，过点作的垂线，垂足为，如图（3）所示，在直角中，可得，所以等腰梯形的面积为，所以截面的面积为，所以D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在直角梯形中，，，.若直角梯形以边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的侧面积为______.答案：解析：思路：先判断直角梯形绕直角腰旋转所得几何体为圆台，分别求解圆台的上下底面半径与母线长，再代入圆台侧面积公式计算即可.解答过程：∵直角梯形中，，，，为直角腰，∴以为轴旋转一周所得几何体为圆台，其上底面半径，下底面半径.过点作于点，可得.∵在中，，∴圆台母线长.∴.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为______.答案：解析：思路：点的轨迹为与射线轴夹角为的射线，不包括点，结合图形分析求解即可.解答过程：在中，，边，边，固定顶点，则点的轨迹为与射线轴夹角为的射线，不包括点，点到边的距离为.要使有两解，等价于以为圆心、半径作圆，该圆与射线有两个不同的交点，即对应两个符合条件的点，需同时满足两个约束条件：①圆与射线相交，即圆心到射线的距离小于半径，得；②两个交点均在射线的正半轴上，即在的右侧，得.因为，且，联立得，所以的取值范围为.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是______.答案：解析：思路：根据题意总共有种，再结合完全平方可知，点数之和可以为，再列举计算概率即可．解答过程：由题可知总共有种，点数之和为4的有共3个；点数之和为9的有，,,,,共25个；点数之和为16的有共6个.综上，点数之和为完全平方数的有种，则概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：（1）已知，.若为纯虚数，则实部等于，虚部不等于.列出方程组解得或.由舍去，故.（2）先化简：.复数对应点在第二象限，则实部小于，虚部大于，得不等式组，等价于.解不等式，得.解不等式，得或.所以，即实数的取值范围为.16.甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．现已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是．（1）求第二场比赛结束后比赛终止的概率；（2）求甲最终获胜的概率．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据比赛终止条件，拆分互斥事件，再利用独立事件概率相乘，最后求和即可；（2）根据题意得出比赛结束场次为第场、第场或第场，计算相应概率并求和．（1）设“打场后甲获胜”，“打场后乙获胜”，“第二场比赛结束后比赛终止”，“甲最终获胜”，因为，，所以．（2）由题设条件，比赛可能在第场、第场或第场终止，甲连胜两场：；前两场双方，第3、4场甲连胜：；前4场双方，第5场甲获胜：，所以．17.如图，在平行四边形中，，，，，分别是线段，的中点，且.（1）求的值；（2）若点为线段上的动点，求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）法一：根据已知得即可得；法二：通过已知条件构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标并确定相关向量的坐标，由向量线性关系的坐标运算列方程求参数值，即可得；（2）法一：设，根据已知得、，再应用向量数量积的运算律及定义得到关于的表达式，即可求最值；法二：设，，应用坐标法表示出相关向量，再由向量数量积的坐标运算得到关于的表达式，即可求最值．（1）法一：因为，因，则，，所以；法二：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，.所以，，，因，则可得，解得，所以；（2）法一：由（1）知，，设，则，所以，又因为，,则，因为，所以当时，.法二：设，，则，所以，，所以，因为，所以当时，.18.（用坐标法不给分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，设三棱锥的外接球球心为.（1）求侧面与底面所成二面角的余弦值；（2）求证：，，，四点共面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）（