命题与量词 全称量词命题与存在量词命题的否定课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定新课程标准解读核心素养1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词

的意义数学抽象2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定数学抽象3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定数学抽象目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这是唐

代诗人王维的《相思》诗.【问题】

（1）在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？（2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？

知识点一

命题1.命题：可供真假判断的

⁠.2.真命题：

的语句.3.假命题：

的语句.提醒

若一个语句为命题，则需满足两点：①陈述句；②能够判断

真假.陈述语句判断为真判断为假知识点二全称量词与存在量词全称量词存在量词量词任意、所有、每一个存在、有、至少有一个符号∀∃命题含有

⁠的命题称

为全称量词命题含有

⁠的命题称为

存在量词命题命题形式“对集合

M

中的所有元素

x

，

r

（

x

）”，可用符号简记为

“

⁠”“存在集合

M

中的元素

x

，

s

（

x

）”，可用符号简记为

“

⁠”全称量词存在量词∀

x

∈

M

，

r

（

x

）

∃

x

∈

M

，

s

（

x

）

【想一想】1.如何判定全称量词命题为假命题？提示：只要找到一个

x

∈

M

，

r

（

x

）不成立.2.如何判定存在量词命题为真命题？提示：只要找到一个

x

∈

M

，

s

（

x

）成立.知识点三全称量词命题与存在量词命题的否定

q

q

结论全称量词命题∀

x

∈

M

，

q

（

x

）∃

x

∈

M

，

q

（

x

）全称量词命题的否定

是

⁠存在量词命题∃

x

∈

M

，

p

（

x

）

⁠

⁠存在量词命题的否定

是

⁠提醒

命题

p

与其否定

p

，必定是一个真命题一个假命题.存在量词命题∀

x

∈

M

，

p

（

x

）

全称量词命题

1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（

）A.∀

x

∈R，有

＝

x

B.所有的质数都是奇数C.至少有一个实数

x

，使

x2≤0D.有的正方形的四条边不相等解析：

对于A，是全称量词命题，且为真命题，所以A正确；对

于B，是全称量词命题，2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假

命题，所以B错误；对于C，是存在量词命题，所以C错误；对于

D，是存在量词命题，且为假命题，所以D错误.故选A.

A.∀

x

∈R，｜

x

｜＋

≥0B.∃

x

∈R，｜

x

｜＋

＜0C.∀

x

∈R，｜

x

｜＋

＜0D.∃

x

∉R，｜

x

｜＋

＜0

3.选择适当的符号“∀”，“∃”表述下列命题：有一个实数

x

，使

x2

＋2

x

＋3＝0：

⁠.∃

x

∈R，有

x2＋2

x

＋3＝0

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】

判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：（1）凸多边形的外角和等于360°；解：可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题.（2）矩形的对角线不相等；解：可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题.（3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；解：若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称

量词命题.（4）有些实数

a

，

b

能使｜

a

－

b

｜＝｜

a

｜＋｜

b

｜；解：含存在量词“有些”，故为存在量词命题.（5）方程3

x

－2

y

＝10有整数解.解：可改写为：存在一对整数

x

，

y

，使3

x

－2

y

＝10成

立，故为存在量词命题.通性通法

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路提醒

全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一

般不能省略.【跟踪训练】1.给出下列命题：①存在实数

x

＞1，使

x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数

a

，使

ax2－

ax

＋1＝0的根为负数.其中存在量词命题的个数为（

）A.1B.2C.3D.4解析：

①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C.2.用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题：

（2）对所有实数

a

，

b

，方程

ax

＋

b

＝0恰有一个解；解：∀

a

，

b

∈R，方程

ax

＋

b

＝0恰有一解.（3）有些整数既能被2整除，又能被3整除.解：∃

x

∈Z，

x

既能被2整除，又能被3整除.题型二全称量词命题、存在量词命题的真假判断【例2】

（链接教科书第26页例）判断下列命题的真假：（1）∃

x

∈Z，

x3＜1；解：因为－1∈Z，且（－1）3＝－1＜1，所以“∃

x

∈Z，

x3＜1”是真命题.（2）存在一个四边形不是平行四边形；解：真命题，如梯形.（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（

x

，

y

）都对应一点

P

；解：由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.（4）∀

x

∈N，

x2＞0.解：因为0∈N，02＝0，所以命题“∀

x

∈N，

x2＞0”是假命题.通性通法全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合

M

中的每

个元素

x

验证

p

（

x

）成立；但要判定全称量词命题是假命题，

只要能举出集合

M

中的一个

x

，使得

p

（

x

）不成立即可；（2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合

M

中，能

找到一个

x

使

p

（

x

）成立即可；否则，这个存在量词命题就是

假命题.【跟踪训练】1.下列是全称量词命题且是真命题的为（

）A.∀

x

∈R，

x2＞2

x

－1B.∀

x

，

y

∈Q，都有

x

＋

y

∈QC.∃

x

∈Z，－

x2＋1≥1D.∀

x

，

y

∈R，｜

x

｜＋｜

y

｜＞0解析：

A：当

x

＝1时，不等式

x2＞2

x

－1不成立，因此命题是假

命题，不符合题意；B：因为∀

x

，

y

∈Q，都有

x

＋

y

∈Q是真命

题，且是全称命题，符合题意；C：命题是存在量词命题，不符合

题意；D：因为当

x

＝

y

＝0时，｜

x

｜＋｜

y

｜＞0不成立，因此命

题是假命题，不符合题意.故选B.2.下列命题中是假命题的是（

）A.∀

x

∈R，

x2≥0B.∃

x

∈R，使

x2≤0C.∃

x

∈R，使

x2＜0D.∃

x

∈R，使

x2＞0解析：

∀

x

∈R，

x2≥0，故A正确，C错误；因为02＝0，故B正

确；因为12＞0，故D正确.故选C.题型三全称量词命题与存在量词命题的否定【例3】

（链接教科书第30页例1）（1）命题“存在实数

x

，使

x

＞

1”的否定是（

C

）A.对任意实数

x

，都有

x

＞1B.不存在实数

x

，使

x

≤1C.对任意实数

x

，都有

x

≤1D.存在实数

x

，使

x

≤1解析：利用存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定

为：对于任意的实数

x

，都有

x

≤1.（2）命题“∀

x

∈R，∃

n

∈N*，使得

n

≥

x2”的否定形式是（

D

）A.∀

x

∈R，∃

n

∈N*，使得

n

＜

x2B.∀

x

∈R，∀

n

∈N*，使得

n

＜

x2C.∃

x

∈R，∃

n

∈N*，使得

n

＜

x2D.∃

x

∈R，∀

n

∈N*，使得

n

＜

x2解析：由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量

词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀

x

∈R，∃

n

∈N*，

使得

n

≥

x2”的否定形式为“∃

x

∈R，∀

n

∈N*，使得

n

＜

x2”.通性通法全称量词命题与存在量词命题的否定的思路（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题

是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，

然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量

词，

同时否定结论；（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含

量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.【跟踪训练】1.命题“∀

x

∈R，

x2＋1≥

x

”的否定为（

）A.∃

x

∈R，

x2＋1≤

x

B.∀

x

∈R，

x2＋1≤

x

C.∃

x

∈R，

x2＋1＜

x

D.∀

x

∈R，

x2＋1＜

x

解析：

由于全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀

x

∈R，

x2＋1≥

x

”的否定为“∃

x

∈R，

x2＋1＜

x

”.故选C.2.已知命题

p

：∃

a

∈N，

a

≥100，则

p

为（

）A.∃

a

∈N，

a

≤100B.∃

a

∈N，

a

＜100C.∀

a

∈N，

a

≤100D.∀

a

∈N，

a

＜100解析：

∵命题

p

：∃

a

∈N，

a

≥100，∴

p

：为∀

a

∈N，

a

＜

100.故选D.题型四全称量词命题与存在量词命题的应用【例4】

（1）若“∃

x

∈R，

x2＋2

x

－

a

＜0”是真命题，则实数

a

的

取值范围是

⁠；解析：若“∃

x

∈R，

x2＋2

x

－

a

＜0”是真命题，则Δ＞0，即4＋4

a

＞0，解得

a

＞－1，则实数

a

的取值范围是{

a

｜

a

＞

－1}.{

a

｜

a

＞－1}

（2）已知命题

p

：“∀

x

∈R，

x2－2

x

＋

m

＞0”是真命题，则实数

m

的取值范围是

⁠.解析：

p

：“∀

x

∈R，

x2－2

x

＋

m

＞0”是真命题，即

m

＞－

x2

＋2

x

＝－（

x

－1）2＋1，

x

∈R恒成立，设函数

y

＝－（

x

－1）2＋1，由二次函数的性质知，当

x

＝1时，

y最大值＝1，所以

m

＞

y最大值＝1，即实数

m

的取值范围是（1，＋∞）.（1，＋∞）

通性通法利用含量词的命题的真假求参数的范围的方法（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问

题来处理，可借助判别式Δ、函数最值来确定参数的范围，如：

∃

x

∈

m

，

a

＞

f

（

x

）⇔

a

＞

f

（

x

）min；∃

x

∈

m

，

a

＜

f

（

x

）⇔

a

＜

f

（

x

）max.（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可借

助判别式Δ、函数最值来确定参数的取值范围，如：∀

x

∈

m

，

a

＞

f

（

x

）⇔

a

＞

f

（

x

）max；∀

x

∈

m

，

a

＜

f

（

x

）⇔

a

＜

f

（

x

）

min；【跟踪训练】1.若∀

x

∈R，

x2－

a

＞0恒成立，则实数

a

的取值范围是（

）A.

a

＞0B.

a

＜0C.

a

≥0D.

a

≤0解析：

因为∀

x

∈R，

x2－

a

＞0恒成立，所以∀

x

∈R，

x2＞

a

恒

成立，即∀

x

∈R，

a

＜（

x2）min.因为当

x

∈R时，（

x2）min＝0，所

以

a

＜0.故选B.2.（多选）已知命题

p

：∃

x

∈R，

x2＋2

x

＋2－

a

＝0为真命题，则实

数

a

的取值可以是（

）A.1B.0C.3D.－3解析：

由于命题

p

：∃

x

∈R，

x2＋2

x

＋2－

a

＝0为真命题，则

Δ＝22－4（2－

a

）＝4

a

－4≥0，解得

a

≥1.符合条件的为A、C选

项.故选A、C.1.下列是存在量词命题且是真命题的是（

）A.∀

x

∈R，

x3＞0B.∃

x

∈Z，

x2＞2C.∀