一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系新课程标准解读核心素养1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数数学运算2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值

及求参数的取值范围数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚

会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄.小芳说：我是

最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.小明说：我们中较

大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和.张叔

叔说：“我可以算出小芳的年龄了”.【问题】

张叔叔是怎样算出小芳年龄的？

知识点一

一元二次方程的解集一般地，Δ＝

称为一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）

根的判别式.（1）当Δ＞0时，方程的解集为

（3）当Δ＜0时，方程的解集为

⁠.b2－4

ac

∅

【想一想】对于方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0，Δ＞0时一定有两不相等的解吗？提示：不一定.

1.方程2

x2－5

x

＋3＝0的根的情况是（

）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定解析：

∵Δ＝（－5）2－4×2×3＝1＞0，∴方程2

x2－5

x

＋3＝0

有两个不相等的实数根.故选A.

A.－1D.1

3.若关于

x

的一元二次方程

x2＋4

x

＋

k

＝0有两个实数根，则

k

的取值

范围是

⁠.解析：因为一元二次方程

x2＋4

x

＋

k

＝0有两个实数根，所以Δ＝16

－4

k

≥0，即

k

≤4.（－∞，4]

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升题型一一元二次方程解集的求法角度1

直接开平方法【例1】

用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：（1）4

y2－25＝0；

（2）3

x2－

x

＝15－

x

.

通性通法应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤（1）化为

x2＝

p

（

p

≥0）的形式；（2）直接开平方；（3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根；（4）总结写成解集的形式.角度2

配方法【例2】

用配方法求下列方程的解集：（1）

x2＋4

x

－1＝0；

（2）4

x2＋8

x

＋1＝0.

通性通法

利用配方法解一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0），先把二次

项系数变为1，即方程两边都除以

a

，然后把常数项移到方程右边，再

把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个

完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一

边为负数，则此方程无实数根）.

通性通法

利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出

二次项系数，一次项系数及常数项，计算

b2－4

ac

的值；当

b2－4

ac

≥0时，把

a

，

b

，

c

的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总

结写出解集.【跟踪训练】求下列方程的解集：（1）2

x2＋5

x

＝3；

（2）2

x4－7

x2＋3＝0；

题型二一元二次方程根的判别式【例4】

不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况：（1）3

x2－2

x

－1＝0；解：∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有两

个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素.（2）2

x2－

x

＋1＝0；解：∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数

根，∴方程的解集为空集.（3）4

x

－

x2＝

x2＋2.解：方程整理为

x2－2

x

＋1＝0，∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素.通性通法

一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）根的判别式Δ＝

b2－4

ac

.

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等

的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.【跟踪训练】1.不解方程，判断关于

x

的方程2

x2－（2

m

＋1）

x

＋（

m2＋1）＝0的

解集情况是（

）A.∅B.非空集C.单元素集合D.二元集解析：

由判别式Δ＝（2

m

＋1）2－8（

m2＋1）＝－4

m2＋4

m

－

7＝－（2

m

－1）2－6＜0，得方程的解集为空集.故选A.2.若关于

x

的方程

ax2＋2（

a

＋1）

x

＋4＝0的解集为单元素集合，则

（

）A.

a

＝0B.

a

＝1C.

a

＝0或

a

＝1D.

a

≠0且

a

≠1解析：

a

＝0时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条

件；

a

≠0时，原方程为一元二次方程，当判别式Δ＝0时，方程有一

个解，此时，Δ＝4（

a

＋1）2－4×4

a

＝0，解得

a

＝1，所以当原方

程的解集为单元素集合时，

a

＝0或

a

＝1，选项C正确.故选C.题型三一元二次方程根与系数的关系角度1

直接应用根与系数的关系进行计算【例5】

（链接教科书第52页例2）已知一元二次方程

x2＋3

x

－1＝0

的两根分别是

x1，

x2，请利用根与系数的关系求：

解：根据一元二次方程根与系数的关系，得

x1＋

x2＝－3，

x1

x2＝－1.

通性通法

在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关

系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程

求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两

根之积的形式，然后代入求值.常见变形还有：（1）（

x1－

x2）2＝（

x1＋

x2）2－4

x1

x2；

角度2

求字母系数的值或范围

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根

x1，

x2，满足｜

x1｜＝

x2.通性通法

利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意

根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.【跟踪训练】

A.6B.7C.8D.9

1.方程4（1－

x

）2＝1的解集是（

）A.∅

2.下列一元二次方程中，解集为空集的是（

）A.

x2－2

x

＝0B.

x2＋4

x

－1＝0C.2

x2－4

x

＋3＝0D.3

x2＝5

x

－2解析：

利用根的判别式Δ＝

b2－4

ac

分别进行判定即可.A项：Δ

＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不

合题意；B项：Δ＝42－4×1×（－1）＝20＞0，有两个不相等的实

数根，

故此选项不合题意；C项：Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，

没有实数根，故此选项符合题意；D项：Δ＝（－5）2－4×3×2＝1

＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C.3.关于

x

的方程

x2－（

m

＋6）

x

＋

m2＝0有两个相等的实数根，且满

足

x1＋

x2＝

x1

x2，则

m

的值是（

）A.－2或3B.3C.－2D.－3或2解析：

∵

x1＋

x2＝

m

＋6，

x1

x2＝

m2，

x1＋

x2＝

x1

x2，∴

m

＋6＝

m2，解得

m

＝3或

m

＝－2.∵方程

x2－（

m

＋6）

x

＋

m2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝

b2－4

ac

＝[－（

m

＋6）]2－4

m2＝－3

m2＋12

m

＋36＝0，解得

m

＝6或

m

＝－2.∴

m

＝－2.4.（多选）关于

x

的方程

mx2－4

x

－

m

＋5＝0，以下说法正确的是

（

）