2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题01 锐角的正弦、余弦、正切、余切及任意角(原卷版)

复习专题01锐角的正弦、余弦、正切、余切及任意角

如图，将直角三角形中ABC中（其中C90）A、B,C的对边边长

分别记作a,b,c．在初中我们已经知道，锐角A的正弦、余弦、正切、余切的定

义分别为

abab

sinA,cosA,tanA,cotA.

ccba

由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论：

sinA

sin2Acos2A1,tanA,

cosA

cosA1

cotA,cotA,

sinAtanA

sin90AcosA,cos90AsinA,

tan90AcotA,cot90AtanA.

1.角在数学中有两种定义：

（1）静态定义：

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

例如，我们日常生活中看到的三角板的各个角，就是由两条从同一顶点出发的射线构成的。这种定义直观

地描述了角的几何形态，让我们能通过观察图形明确角的构成要素。

（2）动态定义：

一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶

点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。比如，时钟的指针旋转，指针从一个

时刻位置转到另一个时刻位置，就形成了角。这种定义从运动变化的角度进一步深化了对角的理解，能更

好地解释角的大小变化以及角在不同情境下的形成过程。

2.角的分类：

习惯上规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转

所形成的角为负角，其度量值是负的．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，称为

零角．零角的始边与终边重合．这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括

超过360的角．

设角由射线OA绕端点O旋转而成，角b由射线OA绕端点O旋转而成．

角的相等如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称b．

我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的

相反角

相反角记为．

角的加法把角的终边旋转角b，这时终边所对应的角是b．

角的减法像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有b(b)．

1.象限角与轴线叫的定义

为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使得角的顶点与坐标原点重合，角的

始边与x轴的正半轴重合:此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几

象限.如图，60°和420°都是第一象限的角，135°和-225°都是第二象限的角.当角的终边在坐标轴上时，

就不说这些角属于哪一象限.

为简单起见，在不引起混淆的前提下，＂角＂或＂＂可简记作＂＂．

我们可以把所有与角α的终边重合的角(包括角α本身)的集合表示为

2.象限角的集合表示

象限角角的集合表示

第一象限角|k360k36090,kZ

第二象限角|k36090k360180,kZ

第三象限角|k360180k360270,kZ

第四象限角|k360270k360360,kZ

3.轴线角的集合表示

角的终边位置角的集合表示

终边落在x轴的非负半轴上|k360,kZ

终边落在x轴的非正半轴上|180k360,kZ

终边落在x轴上|k180,kZ

终边落在y轴的非负半轴上|90k360,kZ

终边落在y轴的非正半轴上|90k360,kZ

终边落在y轴上|90k180,kZ

终边落在坐标轴上|k90,kZ

角角的集合表示

锐角A|090

0°~90°的角B|090

小于90°的角C|90

第一象限角D|k360k36090,kZ

题型一、特殊角的三角函数值

1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在Rt△ABC中，C90，B30，AB16，则BC的长是.

3

2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，cot，则.

3

题型二、任意角的概念

3．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（）

A．60oB．30oC．30oD．60o

4．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与4的终边重合，则的值可能是（）

π2π5π7π

A．B．C．D．

3333

5．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象

限的角；③若090，则是第一象限的角；④小于90的角是锐角．其中错误的序号是．

题型三、找出终边相同的角

6．（24-25高一下·上海·阶段练习）以下四个命题中，正确的是（）.

A．若coscosb，则与b的终边相同

ìpüì2pü

B．íkp,kZýíbbkp,kZý

î3þî3þ

p

C．若与b的始边与x轴正半轴重合，终边互相垂直，则b±kp,kZ

2

ì3pü

D．第四象限角的集合为í2kp2kp,kZý

î2þ

7．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，2025是第象限角.

8．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是.

①两个角的终边相同，则它们的大小相等；

②若角为第二象限角，则是第三象限角；

③第一象限角都是锐角；

ìπü

④终边在直线yx上的角的集合是íkπ,kZý.

î4þ

题型四、根据图形写出角范围

ìπü

9．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合íkπ££kπ,kZý中的角所表示的范围（阴影部分）是

î3þ

（）

A．B．

C．D．

10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．

11．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合.

(1)终边在射线OA上；

(2)终边在直线AB上.

题型五、轴线角

12．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（）

A．角60和角600是终边相同的角

ì3πü

B．第三象限角的集合为íπ2kπ££2kπ,kZý

î2þ

ìπü

C．终边在y轴上角的集合为íkπ,kZý

î2þ

D．第二象限角大于第一象限角

13．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）请用集合表示终边位于x轴的角的集合.

14．（23-24高一·上海·课堂例题）分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于y轴正半

轴上的所有角．

15．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别写出角的终边在x轴正半轴、x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半

轴、y轴、x轴、坐标轴上角的集合．

题型六、确定已知角所在象限

16．（24-25高一下·上海青浦·期中）366是第象限的角．

17．（24-25高一下·上海·阶段练习）若是第四象限角，则π是第象限角.

18．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若3，则

是第象限角.

19．（24-25高一上·上海·期末）已知角1865o，则的终边在第象限

题型七、由已知角所在的象限确定某角的范围

20．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么2是（）

A．第一象限的角B．第二象限的角

C．小于180°的正角D．钝角

21．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（）

A．第一象限的角为锐角B．钝角是第二象限的角

π

C．小于的角是锐角D．终边在x轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角

2

22．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的条件.

23．若角是第二象限角，试确定角2，是第几象限角．

3

题型八、确定n倍角所在象限

24．（2025高一下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（）

A．第一象限角一定是锐角B．若是钝角，则是第一象限角

2

C．大于90的角一定是钝角D．若是锐角，则2是第二象限角

25．（24-25高一·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？2是第几象限的角？

2

26．（2025高三·全国·专题练习）若k360o24o，kZ，试确定2是第几象限角．

题型九、确定n分角所在象限

a

27．（24-25高一·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（）

2

A．第一或第三象限B．第二或第三象限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

28．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，那么为第象限角

2

29．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角．

2

例1在直角坐标系内，角，b的顶点均在坐标原点，始边均与x轴非负半轴重合，其终边在同一直线上，

则角b与的关系为()

A．bk360(kZ)B．b(2k1)180(kZ)

C．bk360(kZ)D．bk180(kZ)

【分析】由已知分与b的终边重合、与b的终边方向相反写出b与的关系，则答案可求．

【解答】解：当与b的终边重合时，有bk360(kZ)；

当与b的终边方向相反时，有b(2k1)180(kZ)．

综上，有bk180(kZ)．

故选：D．

【点评】本题考查终边相同角的概念与表示法，是基础题．

例2若角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{|k18045k18090，

kZ}中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是()

A．B．

C．D．

【分析】先看当k取偶数时，角的终边所在的象限，再看当k取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范

围取并集．

【解答】解：当k取偶数时，比如k0时，4590，故角的终边在第一象限．

当k取奇数时，比如k1时，225270，故角的终边在第三象限．

故选：C．

【点评】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．

1．（根据图形写出角（范围））用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部

分的角的集合（不包括边界），如图所示.

(1)

(2)

2．（确定已知角所在象限）860o的角是第象限角．

3．（确定n分角所在象限）若是第二象限角，则（）

A．是第一象限角B．是第一或第三象限角

22

C．是第二象限角D．是第二或第四象限角

22

4．（确定n分角所在象限）（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为