2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题02 正弦、余弦、正切、余切(解析版)

复习专题02正弦、余弦、正切、余切

知识点1角度制与弧度制

1

在平面几何中，我们把周角的作为1度．用＂度＂作为单位来度量角的单位制叫做角度制．

360

把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

l

如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么就是角的弧度（角的弧度数通

r

l

常也用来表示），即=，零角的弧度数为0．从弧度的定义不难得知，周角为2弧度，即

r

360=2弧度；平角为弧度，即180=弧度．从而有

180

1=弧度,1弧度=.

180

注意：

（1）用弧度为单位表示角的大小时，＂弧度＂或＂rad＂可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，

而用角度为单位表示角的大小时，＂度＂或＂0＂不可以省略．

如=15rad=15，而=1515．

（2）角度为六十进制，弧度与实数一样，为十进制．

某场数学考试时长1.5小时，在此期间分针转过的弧度数为.

【答案】-3π

【分析】由1.5小时内分针转了1.5周，是顺时针方向，由此求出结果．

【详解】解：考试时长1.5小时，分针转了1.5周，是顺时针方向，

所以分针转过的弧度数为-2´1.5=-3．

故答案为：-3．

知识点2弧长与扇形面积公式

11

扇l=r,扇形的面积S=lr=r2。形的弧长

22

扇形的弧长与面积公式的两种表示

类别角度制弧度制

nr

弧长公式l=l=r

180

11

nr2S=lr=r2

面积公式S=22

360

注意事项n是圆心角的角度数a是圆心角的弧度数

11

（1）在弧度制下的扇形面积公式S=lr与三角形面积公式S=ah（其中h是三角形长为a的

22

一边上的高）的结构形式非常相似，可类比记忆。

11

（2）利用公式l=r,S=lr=r2，由、r、l、S中的任意两个量可以求出另外的两个量，

22

即＂知二求二＂．

半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度.

【答案】1

【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可

2

【详解】半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为=1弧度，

2

故答案为：1

π

（23-24高一上·上海虹口·期末）若扇形的圆心角是，其所在圆的半径是2，则该扇

3

形的面积为．

2π

【答案】

3

【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可.

1π2π

【详解】由题意可得：该扇形的面积为´22´=.

233

2π

故答案为：.

3

知识点3任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义

对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上任取异于原点的一点P，设其坐标为(x,y)，

并令|OP|=r，必有r=x2y20．

yy

（1）比值叫做的正弦，记作sin，即sin=；

rr

xx

（2）比值叫做的余弦，记作cos，即cos=；

rr

yy

（3）比值(x0)叫做的正切，记作tan，即tan=(x0)；

xx

xx

（4）比值(y0)叫做的余切，记作cot，即cot=(y0)．

yy

yx

（1）tan=(x0)，其中，k,kZ;cot=(y0)，其中，k,kZ．

x2y

（2）由正弦、余弦、正切、余切的定义可知，对于任意角,sin、cos都有意义．

任意角的正割、余割的定义

1r

（1）角的正割：sec==.

cosx

1r

（2）角的余割：csc==.

siny

已知角的终边上有一点(3,1)，则sec=.

101

【答案】/10

33

【分析】根据三角函数定义可得答案.

1110

sec===

【详解】cos33.

10

故答案为：10.

3

知识点4任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号

如图,点p的横坐标和纵坐标的符号确定了正弦、余弦、正切及余切值的符号.

若-<<0，则点tan,cos位于第象限.

2

【答案】二

【分析】根据给定条件，利用三角函数的符号法则判断作答.

【详解】因-<<0，则tan<0,cos0，

2

所以点tan,cos位于第二象限.

故答案为：二

知识点5单位圆中任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义

半径为1个单位的圆称为单位圆

设a是一个任意角，R，如图,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，点P的纵坐标y叫做

的正弦比值，记作sin，即sin=y；点P的横坐标x叫做的余弦比值，记作cos，

y

即cos=x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作tan，即tan

x

y

=(x0).

x

3

如图，记忆0、、、的正弦、余弦、正切值．

22

9π

角与单位圆的交点坐标为.

4

æ22ö

【答案】ç,÷

è22ø

【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解.

9ππ9ππ

【详解】因为=2π，可知角与角的终边相同，

4444

π2π2

且sin=，cos=，

4242

9πæ22ö

所以角与单位圆的交点坐标为ç,÷.

4è22ø

æ22ö

故答案为：ç,÷.

è22ø

知识点6同角的正弦、余弦、正切、余切的基本关系式

1．平方关系：sin2cos2=1．

sincos

2．商数关系：tan=(cos0)，cot=(sin0).

cossin

3．倒数关系：tancot=1（tan、cot都有意义）．

同角正弦、余弦、正切、余切的变形公式

sin

(1)sin2=1-cos2;cos2=1-sin2;sin=costan;cos=.

tan

(2)sin2=1-cos2=(1-cos)(1cos);cos2=1-sin2=(1-sin)(1sin).

(3)(sincos)2=12sincos;

sin2tan2

sin2==;

sin2cos21tan2

cos21

cos2==.

sin2cos21tan2

1æ3ö

已知sin=，ç,÷，则tan=.

3è22ø

2

【答案】-

4

【分析】结合角的范围，用同角的平方关系即可求解.

1æ3öæö22

【详解】sin=0，ç,÷，\ç,÷，\cos=-1-sin2=-，

3è22øè2ø3

sin2

\tan==-.

cos4

2

故答案为：-

4

知识点7sinαcosα与sinα±cosα的关系

已知sincos,sincos求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代人的方法求解．涉及的三角

恒等式有：

(1)(sincos)2=12sincos;

(2)(sincos)2(sin-cos)2=2;

(3)(sin-cos)2=(sincos)2-4sincos.

1

已知sincos=，则sincos=.

5

12

【答案】-

25

【分析】左右平方利用同角三角函数的基本关系可得结果.

11

【详解】∵sincos=，则sin2cos22sincos=，

525

2412

即2sincos=-，故sincos=-.

2525

12

故答案为：-.

25

知识点8正、余弦齐次式的应用

齐次式是一种特殊的多元多项式。

(1)若数域p上的n元多项式各项的次数都等于m,则称该多项式为n元m次齐次多项式,简称m次齐式,亦

称n个变量的m次型

通俗地讲，所谓齐次就是到齐的意思，合并同类项后，各项次数都相同的多项式，如x-2y3z是一次

齐次式；比如说x22xy3y2，这样二次项全部到齐，所以是二次齐次式．二次以上的齐次多项式也

是这样的．

asinbcosasin2bsincosccos2

（2）已知tan，可以求或的值，将分子分母同

csindcosdsin2esincosfcos2

除以cos或cos2，化成关于tan的式子，从而达到求值的目的．

已知tan=3，则sincos=_______.

3

【答案】/0.3

10

sincostan

【分析】根据三角函数的基本关系式，化简得到sincos==，代入计算，即可求

sin2cos2tan21

解.

sincostan33

【详解】因为tan=3，则sincos====.

sin2cos2tan219110

3

故答案为：.

10

知识点92kπ+α（k∈Z），-α,π±a的诱导公式

角2k(kZ)--

图示（单位圆）

关于x轴关于原点

与a终边关系相同关于y轴对称

对称对称

正弦sina-sina-sinasina

诱导公余弦cosacosa-cosa-cosa

式正切tana-tanatana-tana

余切cota-cotacota-cota

口诀函数名不变,符号看象限(a为锐角)

sin(2)cos(-2)

化简：=．

sin(-4)cos(4)

【答案】2

【分析】根据诱导公式化简求值即可.

sincos

【详解】原式==11=2

sincos

故答案为：2

知识点10±α的诱导公式

훑

ퟐ

角-

22

图示(单位圆)

点P与点P关于直线y

点P与点P关于直线y

对称关系=x对称，点P与点P关于

=x对称

y轴对称

正弦cosacosa

余弦sina-sina

诱导公式

正切cota-cota

余切tana-tana

口诀函数名改变,符号看象限(a为锐角)

(1)利用诱导公式进行三角比求值时，一般要将其转化为求锐角三角比值问题，再利用特殊角的三角比值求

解.

(2)对于非特殊角,由于计算不出其三角比值，因此要从已知角的关系上进行突破.很多题目“加一加”或

“减一减”会找到角之间的关系，从而找到突破口.

æπö

sinx-πcosçx÷cot-x

è2ø

（24-25高一下·上海普陀·期中）化简：=．

æ3πö

sinç-x÷

è2ø

【答案】sinx

【分析】根据诱导公式直接进行化简即可.

æπö

sinx-πcosçx÷cot-x

è2ø-sinx-sinx-cotx

【详解】=

æ3πö-cosx

sinç-x÷

è2ø

æcosxö

-sinx-sinxç-÷

èsinxø.

==sinx

-cosx

故答案为：sinx.

知识点11简单三角方程的解集

以角为未知数的方程叫做三角方程.满足三角方程的所有的解的集合叫做三角方程的解集.

已知三角比值求角的结论:

x[0,2]图示解集

x=或{x|x=k

sinx=sin

x=-(-1)k,kZ

{x|x=2k,

cosx=cosx=

kZ}

x=或{x|x=k,

tanx=tanx=kZ}

ìæπö1üïì3ïü

已知集合A=íxcosç-x÷=ý，B=íxtanx=-ý，则AIB=.

îè2ø2þîï3þï

ì5πü

【答案】íxx=2kπ,kZý

î6þ

【分析】根据余弦函数及正切函数的函数值，求出所对应的x的值，即集合A，B，再求AÇB

æπö1π5

【详解】cosç-x÷=，\-x=2k或2k,kZ,

è2ø2233

7

x=2k或-2k,kZ

66

3

tanx=-,\x=-k,kZ，

36

ì5πü

那么AIB=íxx=2kπ,kZý.

î6þ

ì5πü

故答案为：íxx=2kπ,kZý

î6þ

考点一．弧度的概念

π

例1（24-25高一下·上海·期中）“为锐角”是“<”的（）

2

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可.

ππ

【详解】若为锐角，则0<<，而<，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角，

22

π

所以“为锐角”是“<”的充分而不必要条件.

2

故选：A

1-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为8cm，弧长为4cm，则扇形的圆心角的弧度数

为．

1

【答案】0.5/

2

【分析】由圆心角定义得解.

l4

【详解】根据圆心角定义可知，===0.5，

r8

故答案为：0.5

1-2（24-25高一下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要1.5小时，则在本场考试中，钟表的时针转

过的弧度数为.

1

【答案】-/-

44

【分析】根据时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π计算可得.

【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，

1.51

所以经过1.5小时，时针所转过的弧度数为-´2π=-π.

124

1

故答案为：-π.

4

1-3（23-24高一下·上海·阶段练习）2024弧度的角在第象限.

【答案】一

【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解即可.

π

【详解】因为π´644»2023.19<2024,π´644»2024.76，

2

可知2024弧度的角的终边在第一象限，

所以2024弧度的角在第一象限.

故答案为：一.

考点二．用弧度制表示角的集台

例2（24-25高一下·上海徐汇·期中）1小时内秒针转过了．（用弧度制表示）

【答案】-120π

【分析】利用任意角的定义结合弧度制的性质求解即可.

【详解】因为1小时内分针转过了-2π，所以1小时内秒针转过了-120π.

故答案为：-120π

2-1（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是.

①两个角的终边相同，则它们的大小相等；

②若角为第二象限角，则-是第三象限角；

③第一象限角都是锐角；

ìπü

④终边在直线y=-x上的角的集合是í=-kπ,kZý.

î4þ

【答案】②④

【分析】①③举反例即可；②-与的终边关于x轴对称即可判断；④分别写出终边在直线y=-x上，

在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可.

【详解】对于①，390o与30o终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确；

对于②，因为-与的终边关于x轴对称，故②正确；

对于③，第一象限角不都是锐角，比如390o为第一象限角，但不是锐角，故③不正确；

ì3πü

对于④，若终边在直线y=-x上的角在第二象限，则集合是í=2kπ,kZý

î4þ

ìπü

=í=-2k1π,kZý；

î4þ

ìπü

若终边在直线y=-x上的角在第四象限，则集合是í=-2kπ,kZý，

î4þ

ìπü

综上，终边在直线y=-x上的角的集合是í=-kπ,kZý，故④正确.

î4þ

故选：②④.

2-2（23-24高一下·上海·阶段练习）终边在y轴正半轴上的角的集合是（用弧度表示）

π

【答案】{|=2kπ,kZ}

2

【分析】根据给定条件，直接写出结论即得.

π

【详解】在[0,2π)内，终边在y轴正半轴上的角为，

2

π

所以终边在y轴正半轴上的角的集合是{|=2kπ,kZ}.

2

π

故答案为：{|=2kπ,kZ}

2

æπ3πö

2-3在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，=k，kZ，其中ç,÷

è24ø

【答案】图形见详解

π3π

【分析】角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.

24

π3π

【详解】如图，由已知得角为终边为所在的直线到所在的直线围成的阴影，不包含两条边界线.

24

考点三．角度化为弧度

例3（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从8:00到8:40，在此期间时钟分针转过了弧度．

44

【答案】-/-

33

【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制.

40

【详解】分针一小时转过-360，所以从8:00到8:40转过了-360´=-240，

60

π4π

在此期间时钟分针转过了-240´=-（弧度）.

1803

4π

故答案为：-

3

3-1（24-25高一下·上海嘉定·期中）20o化为弧度是弧度.

1

【答案】/

99

【分析】根据条件，利用角度与弧度的转化，即可求解.

ππ

【详解】因为20o=20´=，

1809

π

故答案为：.

9

3-2（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是.

1

【答案】-/-

33

【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可.

1π

【详解】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转360´=60，即顺时针旋转弧度，

63

π

因此，分针转过的弧度数是-.

3

π

故答案为：-.

3

3-3（24-25高一下·上海浦东新·期中）15=弧度.

1

【答案】/

1212

【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案.

ππ

【详解】由题意得15=15´=.

18012

π

故答案为：.

12

考点四．弧度化为角度

例4（24-25高一下·上海长宁·期中）3弧度是第象限角．

【答案】二

【分析】判断角的终边在第几象限即可.

【详解】1弧度»57.3，\3弧度»171.9，

\3弧度的角的终边在第二象限，\3弧度是第二象限角.

故答案为：二.

4-1（24-25高一下·上海·阶段练习）4弧度是第象限角．

【答案】三

【分析】利用角度与弧度的互化，转化成角度，进而得出答案．

180°

【详解】4´»229.3°，故4弧度角是第三象限角．

π

故答案为：三

1

4-2将弧度化为角度：π弧度=°．

12

【答案】15o

【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解.

11

【详解】π=´180o=15o.

1212

故答案为：15o

4-3已知=2023o，若与的终边相同，且0,2π，则=

【答案】

223π

180

【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解.

【详解】因为与的终边相同，

且0,2π，即0o<<360o，

223π

所以=2023o-5´360o=223o=，

180

223π

故答案为：223o或

180

考点五．弧长的有关计算

例5（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知扇形的半径为5，圆心角为3rad，则扇形的弧长为.

【答案】15

【分析】根据弧长公式计算可得.

【详解】因为扇形的半径r=5，圆心角=3rad，

所以扇形的弧长l=r=15.

故答案为：15.

5-1（24-25高一下·上海·期中）圆心角为3rad，面积为6cm2的扇形的周长是cm．

【答案】10

ìl=3r

ï

【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式得í1，解出r,l，即可求解.

ïrl=6

î2

【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，

ìl=3r

ï

由题有í1，解得r=2,l=6，所以扇形的周长为C=l2r=10，

ïrl=6

î2

故答案为：10.

5-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知扇形弧长为8cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为

cm2.

【答案】16

【分析】由条件结合弧长公式求半径r，再利用扇形面积公式求结论.

【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，

由已知=2，l=8，

由弧长公式可得l=r，

所以8=2r，故r=4，

11

所以该扇形的面积S=lr=´8´4=16.

22

故答案为：16.

π

5-3（24-25高一下·上海宝山·期中）已知圆心角为的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为.

3

【答案】2π

【分析】设扇形的半径为r,由扇形的面积公式求出r，再由弧长公式计算可得.

π

【详解】设扇形的半径为r，因为圆心角=，

3

121π2

所以扇形面积S=r=´r=3π，解得r=32（负值已舍去），

223

π

所以该扇形的弧长lr=32´==2π.

3

故答案为：2π

考点六．扇形面积的有关计算

例6（24-25高一下·上海松江·阶段练习）半径为2的扇形中，圆心角为120o，该扇形的面积为．

44

【答案】/

33

【分析】根据扇形面积公式进行求解，得到答案.

2π

【详解】扇形圆心角为，半径R=2，

3

112π4π

由扇形面积公式得S=qR2=´4=.

2233

故答案为：4π

3

6-1（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的半径为.

【答案】2

【分析】根据扇形面积公式直接可得解.

【详解】由已知扇形圆心角=2，

1

则扇形面积S=r2=2，

2

解得扇形半径r=2，

故答案为：2.

π

6-2（24-25高一下·上海·期中）已知圆心角为的扇形面积等于3π，则该扇形的半径为．

6

【答案】6

【分析】根据已知圆心角和扇形的面积公式求解半径.

11π

【详解】根据扇形的面积公式S=R2=´´R2=3π,

226

则R=6.

故答案为：6.

6-3（24-25高一下·上海·期中）若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为．

【答案】2

【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，则l=2r，利用扇形的面积公式可求得r的值.

【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，则l=2r，

1

故扇形的面积为S=lr=r2=4，解得r=2.

2

故答案为：2.

考点七．扇形弧长公式与面积公式的应用

例7（24-25高一下·上海·期中）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于.

【答案】3

【分析】根据扇形面积与半径及圆心角的大小关系列方程求解即可.

【详解】扇形的半径r=2，它的圆心角为，

11

所以扇形面积S=r2=´´22=6，所以=3

22

故它的圆心角等3弧度，

故答案为：3

7-1（24-25高一下·上海·阶段练习）在一块顶角为120o，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，

现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，则你选择的方案是.

【答案】方案一

【分析】根据题意，由弦长公式以及扇形面积公式，分别求出两种方案对应的弧长和扇形面积，比较大小，

即可得出结果.

【详解】△AOB是顶角为120o，腰长为2的等腰三角形，

π

\A=B=30o=,AD=2，易解得OM=ON=1,

6

ππ2π2π

\方案一中扇形的弧长=2´=，方案二中扇形的弧长=1´=，

6333

π2π

\<，故方案一中扇形的弧长更短，切割时间短；

33

1ππ12ππ

方案一中扇形的面积=´´2´2=，方案二中扇形的面积=´´1´1=，

263233

故两个方案中扇形的面积相等.

两种方案利用废料面积相等，方案一所需切割时间更短，故选择方案一.

故答案为：方案一.

9

7-2（23-24高一下·上海·期中）已知扇形的周长为6，则面积，该扇形的圆心角大小为弧度.

4

【答案】2

【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式列式求解即可.

【详解】设扇形的半径为r，圆心角为，

ì2rr=6ì=2

ï