2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题03 常用三角公式与解三角形(原卷版)

复习专题03常用三角公式与解三角形

知识点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.两角和与差的正弦公式

sin()sincoscossin,

sin()sincoscossin.

（1）公式中的、都是任意角．

（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即sin()sinsin.

（3）注意公式的逆向运用．如：sin()coscos()sinsin[()]sin.

2.两角和与差的余弦公式

cos()coscossinsin

cos()coscossinsin

（1）,为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合．

（2）cos()coscos般不成立，但在特殊情况下也可能成立．例如：当0,60

时，cos060cos0cos60．

（3）要注意公式的逆用．如：cos()cossin()sincos[()]cos．

（4）在转化过程中，充分利用诿导公式，构造两角和与差的余较会式的结构形式，然后逆用分式求健。

3.两角和与差的正切公式

tantantantan

tan(),tan().

1tantan1tantan

35

在VABC中，sinB，cosC，求sinA的值.

513

33

【答案】

65

【分析】求出cosB，sinC的值，利用两角和的正弦公式可求得sinA的值.

5

【详解】因为cosC<0，则角C为钝角，角B为锐角，

13

412

故cosB1sin2B，sinC1cos2C，

513

3æ5ö41233

因此，sinAsinBCsinBcosCcosBsinC´ç÷´.

5è13ø51365

35

在VABC中，若cosA，cosB，则cos(AB)等于（）

513

16335663

A．B．C．D．

65656565

【答案】D

【分析】用余弦和角公式cos()coscossinsin展开，代入即可.

35412

【详解】因为在VABC中，cosA，cosB，则sinA,sinB，

513513

3541263

cos(AB)cosAcosBsinAsinB´()´.

51351365

故选：D

æpöæpö

已知tan,tan是一元二次方程3x25x20的两个根，且Îç0,÷,Îç,p÷．

è2øè2ø

(1)求tan()的值；

(2)求的值．

【答案】(1)7

3p

(2)

4

æpöæpö1

【分析】（1）根据Îç0,÷,Îç,p÷，得到tan,tan2，再利用两角差的正切公式求解；

è2øè2ø3

（2）利用两角和的正切公式求解.

1

【详解】（1）解方程3x25x20得x,x2．

132

æpöæpö

因为Îç0,÷,Îç,p÷，

è2øè2ø

1

所以tan,tan2，

3

1

2

tantan

则tan()37．

1

1tantan1´(2)

3

1

(2)

tantan

（2）tan()31．

1

1tantan1´(2)

3

æpöæpö

因为Îç0,÷,Îç,p÷，

è2øè2ø

æp3pö

所以Îç,÷，

è22ø

3p

从而．

4

知识点2两角和与差的正切公式的常见变形

tantantan()(1tantan);

tantantan()(1tantan);

tantan

1tantan;

tan()

tantan

1tantan;

tan()

tantantantantan()tan();

tantantantantan()tan().

知识点3辅助角公式

1.公式形式

22æbö

asinbcosabsin()ç其中tan÷.

èaø

2.推导过程

22

22æaböæaöæbö

asinbcosabçsincos÷.由于ç÷ç÷1，

èa2b2a2b2øèa2b2øèa2b2ø

ab

若令cos,sin，则asinbcos

a2b2a2b2

b

a2b2(sincoscossin)a2b2sin()．其中tan,的终边所在的象限由点

a

(a,b)来确定．

b

（1）asinbcosa2b2．sin()（其中tan）．

a

a

（2）asinbcosa2b2．cos()（其中tan）．

b

a

（3）asinbcosa2b2．cos()（其中tan）。

b

这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦的三角比值与其他常数积的和收缩为一个三角比，这种恒等变

换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式．

知识点4二倍角公式

1.正弦公式：

公式：sin22sincos．

sin2sin2

推广：sin,cos．

2cos2sin

2.余弦公式：

公式:cos2cos2sin22cos2112sin2,

推广cos2(cossin)(cossin),cos2sin22cos2112sin2cos2.

（1）二倍角是相对的，$2a$是a的二倍，是的二倍，是的二倍，22是

224

的二倍，是的二倍，这里䓚含荷换元的思想．

2

（2）在应用二倍角的正切公式时，要注意公式适用的范围，即公式有意义的条件。

3.正切公式：

2tan

公式:tan2.

1tan2

推广2tantan21tan2.

知识点5半角公式

1cos1cos

（1）sin,（2）cos,

2222

1cos

（3）tan，

21cos

sin1cos

（4）半角正切公式的有理形式：tan．

21cossin

知识点6积化和差与和差化积公式

1.积化和差公式：

1

sincos[sin()sin()],

2

1

cossin[sin()sin()],

2

1

coscos[cos()cos()],

2

1

sinsin[cos()cos()].

2

2.和差化积公式：

sinsin2sincos,

22

sinsin2cossin,

22

coscos2coscos,

22

coscos2sinsin.

22

知识点7万能公式

2tan1tan22tan

sin2,cos2,tan2.

1tan21tan21tan2

222

知识点8三角形的面积公式

三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为

111

SabsinCacsinBbcsinA.

222

abc

推论：S2R2sinAsinBsinC,S，

4R

其中R为ABC的外接圆的半径．

三角形常用面积公式

1

（1）Sahh表示边a上的高）．

ABC2aa

1

（2）Sr(abc)(r是三角形内切圆的半径）．

ABC2

（3）SABCp(pa)(pb)(pc)

1

即海伦公式，其中p(abc），为ABC的半周长．

2

知识点9正弦定理

1.正弦定理

abc

在ABC中，若角AB及C所对边的边长分别为a、b及c，则有

sinAsinBsinC

2.正弦定理的推广及常用变形公式

在ABC中，若角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，其外接圆半径为R，则

abc

（1）2R．

sinAsinBsinC

（2）asinBbsinA,bsinCcsinB,asinCcsinA．

（3）sinA:sinB:sinCa:b:c．

abcabcabacbc

（4）2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinC

（比例的性质）

（5）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（可以实现边到角的转化）．

abc

（6）sinA,sinB,sinC（可以实现角到边的转化）．

2R2R2R

3.正弦定理的齐次结构

结构特点：每一项中都有边(a、b、c)或正弦角(sinA、sinB、sinC)且次数一致，即可实现边和

对应正弦角的互化．

结构示例：

（1）整式齐次式

边的齐次式：bcsinAsinBsinC,abc2sinAsinBsin2C;

角的齐次式：sin2Asin2Bsin2CsinAsinBa2b2c2ab

sinBb

（2）分式齐次式：．

sinAsinCac

知识点10余弦定理

1.余弦定理

在ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，则有

a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

余弦定理的变形：cosA,cosB,cosC.

2bc2ac2ab

(1)正弦定理和余弦定理的选择:已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另

一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论，如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程,

即可求出边，比较两种方法，采用余弦定理较简单

(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一

元二次方程求正实数，因此解题时需特别注意三角形三边长度应满足的基本条件

(3)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广

(4)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的!

（5）余弦定理不但适用于已知三边和已知两边及夹角的情况，也可以解决已知两边及其中一边对角的三角

形求解问题

2.反三角符号的意义

等式条件a的取值范围满足条件的角x

p

sinxa0a1xarcsinaÎ0,

2

p

cosxa0a1xarccosaÎ0,

2

pö

tanxaa0xarctanaÎ0,÷

2ø

（1）当xÎ[1,1]时，

arcsinx表示一个角（弧度制）；

pp

arcsinxÎ,;

22

pp

arcsinx是在,内的正弦值为x所对应的角，即sin(arcsinx)x．

22

（2）当xÎ[1,1]时，

arccosx表示一个角（弧度制）；

arccosxÎ[0,p]；

arccosx是在[0,p]内的余弦值为x所对应的角，即cos(arccosx)x．

（3）当xÎR时，

arctanx表示一个角（弧度制）；

æppö

arctanxÎç,÷；

è22ø

æppö

arctanx是在ç,÷内的正切值为x所对应的角，即tan(arctanx)x.

è22ø

3.用反三角符号表示角

方程方程的解集

|a|1{x∣x2kparcsina,kÎZ}

sinxa|a|<1x∣xkp(1)karcsina,kÎZ

|a|1

|a|1{x∣x2kparccosa,kÎZ}

cosxa|a|<1{x∣x2kparccosa,kÎZ}

|a|1

tanxa{x∣xkparctana,kÎZ}.

知识点11解三角形在实际问题中的应用

1.实际问题中的常用角

名称定义图示

基线在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线

在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与

仰角

水平线的夹角

在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与

俯角

水平线的夹角

从指定方向线到目标方向线的水平角(指定

方向角方向线是指正北或正南或正东或正西,方向

角小于90°)

从正北的方向线按顺时针方向到目标方向

方位角

线所转过的水平角

1测量距离问题的求解策略（1）确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解;若有未知量，则把

未知量放在另外三角形中求解;（2）确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的

定理.

2测量高度问题的求解策略（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;（2）在

实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平

面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错;（3）注意山或塔垂直于地面或海平面把空间问题转化为平面问

题.

3测量角度问题的求解策略

（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义;（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余

弦值;（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解

决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

题型一、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦

35

例1（24-25高一下·上海浦东新·开学考试）在VABC中，若sinA,cosB，则cosC=（）

513

165616561656

A．B．C．或D．或

656565656565

æ3πöæπö45

1-1（24-25高一下·上海长宁·期中）已知Îçπ,÷，Îç0,÷且sin，sin，则

è2øè2ø513

cos．

1-2（23-24高一下·上海金山·期末）设x,y为锐角，且3sinx2siny,3cosx2cosy3，则cosxy.

412

1-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知锐角，满足cos，cos，求cos的值．

513

题型二、用和、差角的余弦公式化简、求值

1

例2（24-25高一下·上海·期中）已知cos45，则cossin．

4

æπö1

2-1（24-25高一下·上海·期中）若为锐角，满足sinç÷，则cos.

è3ø3

æπö3æπö

2-2（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知Îç,π÷,sin，则cosç÷．

è2ø5è4ø

æπöæπöæπö5

2-3（24-25高一下·上海·期中）已知aÎç0,÷,Îç,π÷,tanç÷7,cos.

è2øè2øè4ø13

sinsincos

(1)求的值;

2cos21

(2)求cos的值.

题型三、逆用和、差角的余弦公式化简、求值

æπöæπö1

例3（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且cosç÷cossinç÷sin，则

è6øè6ø2

．

3-1（24-25高一下·北京顺义·阶段练习）cos66cos6sin66sin6的值是

3-2（24-25高一上·上海·课后作业）cos75×cos15sin435×sin15.

题型四、用和、差角的正弦公式化简、求值

1æπöæπö

例4（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知sin,Îç,π÷，则sinç÷.

3è2øè3ø

4-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知，均为锐角，sin3sincos()，则tan取得最大值时，

tan的值为．

æπö1π

4-2（24-25高一下·上海·期中）已知sinçx÷，xÎ0,，则x．

è6ø23

125

4-3（24-25高一下·上海普陀·期中）已知锐角，满足cos及cos()，则sin.

1313

题型五、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦

13

例5（24-25高一下·上海宝山·期中）已知,都是锐角，cos，cos，则sin.

35

5æ3πö10æ3πö

5-1（24-25高一上·上海·期末）已知sina，Îçπ,÷，cos，Îçπ,÷，且g的终边

5è2ø10è2ø

与的终边关于y轴对称，则g.

π

5-2（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知点A的坐标为1,3，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OA¢，

3

则点A¢的坐标为.

2510πππ

5-3（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知cos,sin,0<<,<<.

510232

(1)求sin2的值；

(2)求2.

题型六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值

2222

例6（23-24高一下·上海·期末）假设实数x1,x2,y1,y2满足x1y11，x2y23，x1y2x2y12，

则x1x2y1y2的取值（）

A．是唯一确定的B．不唯一，但有限多

C．有无穷多D．不存在符合题意的x1,x2,y1,y2

6-1（23-24高一下·上海黄浦·期末）若对任意实数x都有3sinx4cosx5sin(x)，则角的终边在

（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

6-2（24-25高一下·上海浦东新·期中）一根长为L的材料AB（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的

直角走廊，已知走廊的宽ACBD2m，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求L的最小值）

为m.

æπöæπö

6-3（23-24高一下·上海·期中）化简：sinç÷coscosç÷sin.

è6øè6ø

题型七、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切

11

例7（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）若、为锐角，tan43，cos，则角

14

．

7-1（21-22高一下·上海嘉定·期末）若tan4，tan6，则tan．

3æπö

7-2（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知cosq，且qÎ0,π，求tançq÷的值；

5è4ø

22

（2）已知sincos,Î0,π，求sincos的值.

3

7-3（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知sin2cos．

æπö

(1)求tanç÷的值；

è4ø

2sin21

(2)求的值．

sinπcos

题型八、用和、差角的正切公式化简、求值

例8（24-25高一下·上海长宁·期中）下列说法中错误的个数是（）

在锐角VABC中，不等式sinAcosB恒成立

①πæ3πö

已知函数fxasinxbcosx（a，b为常数，a0，xÎR）在x处取得最小值，则函数yfçx÷

4è4ø

②

的图像关于点π,0对称

若VABC为斜三角形，则tanAtanBtanCtanAtanBtanC成立

③A．0B．1C．2D．3

8-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知角、满足tan×tantan，命题甲：存在属

于第一象限，属于第三象限:命题乙:存在属于第二象限，属于第四象限.则下列说法正确的

是（）

A．甲、乙都是真命题B．只有甲是真命题

C．只有乙是真命题D．甲、乙都不是真命题

8-2（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角满足tan2，则45o)tan(．

题型九、二倍角的正弦公式

5æπö

例9（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知cos，Îç,π÷，则sin2.

5è2ø

9-1（24-25高一下·上海长宁·期中）已知函数fx2cos2x23sinxcosx，xÎR的值域为．

æ43ö

9-2（24-25高一下·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合．终边过点Pç,÷，

è55ø

则sin2．

1

9-3（24-25高一下·上海·期中）已知tan，求值：

3

(1)tan2；

1

(2)．

sin2cos2

题型十、二倍角的余弦公式

æπöæö1æö1

例10（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）若，Îç0,÷，sinç÷，sinç÷，则

è2øè2ø2è2ø2

cos的值等于．

1

10-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知cos2，则sin2．

2

10-2（24-25高一下·上海宝山·期中）若存在实数a和正整数n，使得函数fxcos2xasinx在区

间0,nπ内恰有1000个零点，则所有满足条件的正整数n的取值集合为.

10-3（24-25高一下·上海闵行·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过

æ34ö

点Pç,÷．

è55ø

(1)求sin与cos2的值；

3æ3πö

(2)若角满足sin，且Îçπ,÷，求sin的值．

5è2ø

题型十一、二倍角的正切公式

3

例11（23-24高一下·上海·阶段练习）已知sin，且在第二象限，则tan2．

5

1sin1

11-1（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知为第三象限角，且2，则tan的值

1sincos2

为．

11-2（24-25高一下·上海·期中）已知关于x的方程25x25xm0的两根为sin和cos,Î0,π.

12sin2

(1).

cossin

(2)求m和tan2的值.

113π

11-3（23-24高一下·上海·期末）已知cos，cos()，且0<<<.

7142

(1)求tan2的值；

(2)求cos.

题型十二、半角公式

C

例12（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）VABC中，设1cosAcosBcos2，则VABC的形状

2

为（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形

1cos1cos

12-1（24-25高一下·上海·阶段练习）若Î[0,2p]且sincos，则的取值范

2222

围是（）.

p3p

A．[0,p]B．,pC．[p,2p]D．,2p

22

3

12-2（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知sincoscossin，且为第三象限角，

5

æö

则tançπ÷.

è2ø

1cos(aπ)

12-3（23-24高一下·上海·阶段练习）设π<a<π，化简的结果是.

2

24

12-4（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值

25

为.

题型十三、辅助角公式

例13（24-25高一下·上海宝山·期中）设函数fx3sinx2cosx1.若实数a，b，c使得

bcosc

2afxbfxc1对任意的实数x恒成立，则的值等于（）

a

1

A．-2B．2C．D．1

22

13-1（24-25高一下·上海浦东新·期中）代数式3sin4cos可化为AsinA0,Î0,2π的形式，

则的值为.

æπö

13-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数y2sinxcosx在xq时取得最大值，则tançq÷.

è4ø

13-3（24-25高一下·上海青浦·期中）设函数fxsinx2cosx.

(1)若qÎ0,π,fq2.求tanq的值；

(2)议x0Î0,π,fx在xx0处取得最大值.求cos2x0；

1

(3)关于x的方程fxk在区间0,6π上恰有12个不同的实数解.求实数k的取值范围.

k

题型十四、三角恒等变换的化简问题

b

例14（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知fxasinxcosxbcos2xa0，且函数yfx

2

æπö

的图像关于点ç,0÷对称.若fx1fx2fx3fx4fx5fx62a（其中

è6ø

0<x1<x2<x3<x4<x5<x6），则x1x2x3x4x5x6的最小值为.

*

14-1（24-25高一下·上海·阶段练习）对于集合q1,q2,×××,qn（nÎN，n2）及常数q0，称

1

222q