2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题04 正弦函数、余弦函数的图像和性质(原卷版)

复习专题04正弦函数、余弦函数的图像和性质

知识点1正弦函数

对于任意一个给定的实数x，都有唯一确定的正弦值sinx与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做

正弦函数，记作ysinx．正弦函数的定义域是实数R．

在正弦函数ysinx中，x是指角的弧度数：

角的弧度数，正弦值sin；

角的弧度数x，正弦值sinx．

知识点2正弦函数的图像

1．正弦曲线

正弦函数ysinx,xR的图像叫做正弦曲线．

正弦曲线是轴对称图形，对称轴为直线xk(kZ)；正弦曲线也是中心对称图形，对称中心为

2

(k,0)(kZ)．

2.“五点法”作图

3

从图可知，(0,0),,1,(,0),,1和(2,0)是函数ysinx,x[0,2]图像的五个关键

22

点．我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数ysinx,x[0,2]

(1)作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数.

(2)在精确度要求不高的情况下,“五点法”是一种实用、高效的作图方法，需要注意这五个点要用平滑的

曲线连接，而不能用线段连接.

(3)五个关键点是利用五点法作图的关键，要熟记并区分正弦函数图像中的五个关键点.

知识点3正弦函数的周期

由正弦曲线可知，正弦函数的值随着自变量的变化呈现出周期性的变化．这种＂周而复始＂的变化规

律可以用数学式子表示为sin(x2)sinx.

正弦函数的这种性质称为周期性．这样，若记f(x)sinx，则对任意给定的实数x，都有

f(x2)f(x)。一般地，如何用数学语言来描述一个函数的周期性呢？

定义对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有

xTD，且成立f(xT)f(x),那么函数yf(x)就叫做周期函数（periodicfunction），而这个非

零常数T就叫做函数yf(x)的一个周期（period）。

对于一个周期函数yf(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做

函数yf(x)的最小正周期．

因为对任意给定的实数x，都有sin(x2k)sinx，kZ，由周期函数的定义，正弦函数

ysinx是周期函数，而2k(kZ,k0)均是它的周期．可以证明，2是它的最小正周期．事实

上，若定义域为R的函数yf(x)具有正周期T，由于对此函数定义域中任意给定的实数x，总

成立f(xT)f(x)，因此函数yf(xT)与函数yf(x)必具有完全相同的图像．换而言之，

将函数yf(x)的图像向左平移T个长度单位，所得图像与yf(x)原来的图像必完全重合．对于正

弦函数ysinx，对任何给定的T0T2，因为sinTcosT1，为

2

sinTsin，所以ysinxT的图像与ysinx的图像绝不会相同．这说明正弦函数

22

绝不会有小于2的正周期，从而其最小正周期为2．

知识点4函数yAsin(x)的周期

一般地，函数yAsin(x),xR（其中A、、为常数，且A0,0)的最小正周

2

期为T．

知识点5正弦函数的值域和最值

函数ysinx,xR

图像

值域[1,1]

当x2k,kZ时，ysinx取得最大值1；

2

最值

3

当x2k,kZ时，ysinx取得最小值-1．

2

（1）正弦函数ysinx，当且仅当x2k(kZ)时取得最大值1，当且仅当

2

x2k(kZ）时取得最小值-1．

2

（2）一个周期内，正弦函数的最值都在函数图像与其对称轴直线交点处取得．

知识点6函数yAsin(x)(A0,0)的值域与最值

函数yAsin(x)(A0,0)

值域[A,A]

2k

当时，y取最大值A；

x2(kZ)

最值

2k

当时，y取最小值A

x2(kZ)

（1）求解形如yAsin(x)的三角函数值域（或最值）问题，要注意x的取值范围．一般情况下

先利用x的取值范围，求出x的范围，再求三角函数的值域（或最值）．

（2）由正弦函数的图像可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区

T

间长度为．

2

知识点7正弦函数的奇偶性

对于ysinx,xR恒有sin(x)sinx，所以正弦函数ysinx是奇函数，正弦曲线关于

坐标原点中心对称．

函数ysinx,xR

图像

对称轴直线xk,kZ

2

对称中心(k,0),kZ

正弦函数的奇偶性

在数轴上，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查

其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，

也不是偶函数．

知识点8正弦函数的单调性及单调区间

函数ysinx,xR

图像

在2k,2k(kZ)上是严格增函数；

22

单调性

3

在2k,2k(kZ)上是严格减函数

22

正弦型函数的单调性

（1）正弦型函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．

（2）正弦型函数在某一象限内也不是单调函数．

（3）判别形如yAsin(x)（其中0）的三角函数单调性时，要视＂x＂为一个整体，

通过解不等式求解．如果0，可先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错．

T

（4）由正弦函数的图像可知，正弦函数的同一单调区间的长度不超过．

2

知识点9函数yAsin(x)(A0,0)的奇偶性与单调性

函数性质重要结论

当k,kZ时是奇函数；

奇偶性当k,kZ时是偶函数；

2

k

当,kZ时既不是奇函数也不是偶函数

2

kk2

对称性对称中心：,0,kZ；对称轴：x,kZ

2

2k2k

22

单调增区间：,(kZ)

单调性

3

2k2k

22

单调减区间：,(kZ)

知识点10余弦函数的图像

1．余弦函数

对于任意一个给定的实数x，都有唯一确定的余弦值cosx与之对应．按照这个对应关系所建立的

函数叫做余弦函数，记作ycosx．余弦函数的定义域是实数集R．

2．变换法作余弦函数的图像

由诱导公式得ycosxsinx,xR．

2

所以，将正弦函数ysinx的图像向左平移就得到ysinx的图像，即余弦函数

22

ycosx的图像，如图所示．

3．余弦曲线

余弦函数ycosx,xR的图像通常称为余弦曲线．

4．五点法作余弦函数的图像

类似于正弦函数的图像，函数ycosx在[0,2]上的五个关键点的坐标是

3

(0,1),,0,(,1),,0,(2,1)．

22

知识点11余弦函数的性质

函数ycosx,xR

定义域R

值域[1,1]

周期性

最小正周期T2

最大值当且仅当x2k(kZ)时，ycosx取得最大值1

最小值当且仅当x2k(kZ)时，ycosx取得最小值1

奇偶性偶函数

单调增区间[2k,2k],kZ

单调减区间[2k,2k],kZ

知识点12函数yAcos(x)(A0,0)的有关性质

函数yAcos(x)(A0,0)

定义域R

值域[A,A]

周期性2

最小正周期T

(2k1)2

对称中心,0,kZ；

2

对称性

k

对称轴x,kZ

当k,kZ时是奇函数；

2

奇偶性当k,kZ时是偶函数；

k

当,kZ时，既不是奇函数也不是偶函数

2

2k2k

单调区间单调掉区间：,(kZ)；

2k2k

单调减区间：,(kZ).

题型一、正弦函数图象的应用

例1（24-25高一下·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（）

4sinxx21

A．yB．y

x214sinx

C．yx24sinxD．yx24sinx

ïìsinπx,x0,2

1-1（24-25高一下·上海·阶段练习）已知函数fxí，若满足fafbfc

îïlog2025x1,x2,¥

（a、b、c互不相等），则abc的取值范围是.

1-2（23-24高一下·上海黄浦·期末）设aR,f(x)sin2xacosx．

π

(1)当a2时，用函数单调性的定义证明：函数yf(x)在区间0,上是严格增函数．

2

(2)根据a的不同取值，讨论函数yf(x)在区间[0,2π]上零点的个数；

①若函数yf(x)在区间[0,kπ]（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．

②

题型二、求sinx的函数的单调性

例2（24-25高一下·上海普陀·期中）函数ysinx的单调增区间是.

2-1（22-23高一下·上海奉贤·期中）函数y2sinx，x0,的增区间为．

4

2-2（22-23高一下·北京·期中）函数fxsinx的一个单调递减区间是（）

3

A．,B．,

244

33

C．,D．,2

22

题型三、求sinx型三角函数的单调性

π

例3（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）函数y2sin2x，xπ,0的单调减区间为.

6

3-1（24-25高一下·上海·期中）f(x)2024sin2x2024的单调增区间为．

3

rrrr

3-2（24-25高一下·上海宝山·期末）已知向量a2sinx,cosx，bcosx,2cosx，且函数fxa×b.

(1)若fx2，x0,，求x的值；

2

(2)求函数yfx在x0,上的严格增区间.

题型四、利用正弦型函数的单调性求参数

π

例4（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）已知函数yf(x)，其中f(x)2sin(2x)在0,a,a0上

3

是严格增函数，则a的最大值为．

ππ

4-1（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知fxsinx3cosx0，ff0，且函数yfx

62

ππ

在区间,上是单调函数，则的值为.

246

2æπö

4-2（23-24高一下·上海·期中）已知函数fx=cosx+3sinxsinçx+÷

è2ø

(1)求函数fx的最小正周期

π

(2)当x0,时，求函数fx的最大值和最小值

2

xπ

(3)已知函数gxf，若对任意的a,bπm,m，当ab时，fafbg2ag2b恒成立，

24

求实数m的取值范围

题型五、比较正弦值的大小

例5（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）锐角三角形ABC中，下列结论成立的是（）

A．sinAcosBB．sinAcosB

C．存在锐角A，B使sinAcosB成立D．sinAsinB

1

5-1（24-25高一下·北京房山·期中）已知asin35o，bcos61o，c，则a，b，c的大小关系为（）

2

A．bacB．abcC．cbaD．bca

1

5-2（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知42，则a,b,c的大小关系为（）

asin2025,b,clog23

9

A．bcaB．bacC．cabD．cba

题型六、解正弦不等式

例6（24-25高一下·上海·阶段练习）函数ysinxlg16x2的定义域为

1

6-1（24-25高一下·上海·阶段练习）求函数ysinx的定义域

2

21

6-2（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数y16xlgsinx的定义域为

2

题型七、求含sinx（型）函数的定义域

1

例7（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）函数fxsinx的定义域与值域的交集为.

2

7-1（22-23高一下·上海·期中）函数ysinx在0,2π上的定义域为．

7-2（22-23高一下·上海浦东新·期中）函数y2sinx10£x£2π的定义域为．

题型八、求含sinx（型）函数的值域和最值

例8（24-25高一下·上海金山·期中）已知VABC满足tanAtanBtanAB，有下列四个结论：

A、B可能都是锐角；A、B中一定存在钝角；x∣xsinC0,1；x∣xsinCÍ0,1．

以上结论中正确的个数是（①②）③④

A．1B．2C．3D．4

1

8-1（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知函数f(x)sinxcosxsin2x.

2

(1)求：f(x)的单调递增区间；

π

(2)在VABC中，a,b,c为角A,B,C的对边，且满足bcos2AbcosAasinB，且0A，求：f(B)的值

2

域

8-2（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知函数f(x)23sinxcosxcos2xsin2x,xR.

π

(1)将yf(x)化简为f(x)Asin(x)A0,0,的形式，并求出其最小正周期；

2

π5π

(2)若x,，求函数yf(x)的最大值和最小值以及取最值时对应的x的值.

612

题型九、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数

例9（24-25高一下·上海·期中）若(sin3cos)(sinb3cosb)4，则b的最小值为．

9-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数fx2sinx×sinx3cosx1的定义域是m,n，值域是2,1，

则nm的值不可能为（）

7ππ5π3π

A．B．C．D．

122124

π

9-2（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数fx2sinx10的图象在区间0,1上恰有2个最

6

高点，则的取值范围为.

π

9-3（24-25高一下·上海·阶段练习）已知fxsin2x．

6

(1)求解关于x的方程fx1；

ππ

(2)求函数yfx，x,的值域；

123

πππ3

(3)已知常数lR，设Fxcos4x4lfx，若函数yFx在区间,上的最小值是，

31232

求l的值．

题型十、求含sinx（型）的二次式的最值

2π

例10（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数ysinxcosx的值域为．

2

10-1（24-25高一下·上海长宁·期中）函数fx2sinx×cosxsinxcosx，xR的值域是．

10-2（24-25高一下·上海·期中）如图，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1,y1)，

π

将射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B(x,y)，设函数yf()，f()yy．

32212

π

(1)当时，求y，y的值；

212

(2)求f()的单调增区间；

2ππ

(3)函数yh(x)，h(x)3cos(2x)(l1)f(x)的最小值为23，求实数l的值．

32

π

10-3（23-24高一下·上海·期中）已知函数fx2sinx0，满足

2

π

f2,gx2sinx

62

(1)求的值

(2)若存在xR，使得等式[gx]2gxm20成立，求实数m的取值范围；

π

(3)若对任意x,π都有agxf2x2a12恒成立，求实数a的取值范围．

6

题型十一、求正弦（型）函数的奇偶性

例11（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

(1)y2sinx；

sinx

(2)y；

x

x

(3)y.

1sinx

11-1（2024·上海奉贤·二模）已知函数yfx，其中yx21，ygx，其中gx4sinx，则图象如

图所示的函数可能是（）．

gxfx

A．yB．y

fxgx

C．yfxgx1D．yfxgx1

11-2（24-25高一下·北京·期中）某美妙音乐的模型函数为fxsinx有下叙述四个结论：

fx是偶函数

①π

fx在区间,π单调递减

2

②

fx在π,π上有3个零点

③周期是π，其中所有正确的结论的编号是（）

④A．B．C．D．

①②②④①④①③

题型十二、求含sinx的函数的奇偶性

1

例12（22-23高一下·上海嘉定·期中）f(x)3sinx是函数（填奇偶性）；

2

12-1（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数fxlnx,gxsinx，某函数的部分图象如图所示，

则该函数可能是（）

A．yfxgxB．yfxgx

gx

C．yfxgxD．y

fx

12-2（21-22高一下·上海闵行·期中）对于函数f(x)2xsin2x，有以下4个结论：

函数yf(x)的图象是中心对称图形；

①任取xR，f(x)£2x恒成立；

②函数yf(x)的图象与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；

③函数yf(x)与直线y2x的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.

④其中正确的结论序号为.

12-3（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数yfx，其中fxsinx.

(1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数；

π1

(2)若f,π,π，求的值.

22

题型十三、由正弦（型）函数的奇偶性求参数

例13（23-24高一下·上海奉贤·期中）函数ysinxq（其中0qπ）为偶函数，则q.

13-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数fxsin(2x)为偶函数，则.

13-2（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数fx3sin3xcos3x，若yfxt是偶函数，则

t．

13-3（23-24高一下·上海松江·期末）设函数fx3sinxcosx对任意的实数x均满足

fxfx，则tan．

题型十四、由正弦函数的奇偶性求函数值

3ππ

例14（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数fxxaxbsinx3，且f20，则f

22

（）

A．11B．14C．17D．20

14-1（23-24高一下·上海·阶段练习）函数fxsinxxx32，若fm4，则fm．

14-2（22-23高一下·上海黄浦·期中）定义在R上的函数yfx既是偶函数又是周期函数，yfx的最

π5π

小正周期是π，且当x0,时，fxsinx，则f的值为.

23

题型十五、求正弦（型）函数的最小正周期

π

例15（24-25高一下·上海闵行·期中）函数y4sin2x1的最小正周期是．

3

15-1（24-25高一下·上海长宁·期中）求函数y23sinxcosx2sin2x的最小正周期、最大值，并求出取得最

大值时所有x的值．

π

15-2（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知fx2sin2025x，A是函数yfx的最大值，若存在实

6

数x1、x2，使得对任意实数x总有fx1£fx£fx2成立，则Ax1x2的最小值为.

题型十六、由正弦（型）函数的周期性求值

π

例16（24-25高一下·上海·期中）已知A0，若和π是函数fxAsinx相邻的两个零点，

4

则正实数.

16-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知fxsinx0,xR，若x1、x2满足

fxfx2，且xx的最小值为，则.

12124

16-2（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数yfx满足fxfx8，当x0,8，

ìπ

ï4sinx,x0,4

fxí4，若函数yf2xa1fxa在区间8,8上恰有八个不同的零点，则实数a

ï

î2x8,x4,8

的取值范围为.

题型十七、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心

π

例17（24-25高一下·上海·期中）函数ycos(2x)图像的对称中心的坐标是

2

17-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数fx3sin2xsinx×cosx．

(1)求fx的值域，并写出fx的单调递增区间；

(2)求fx的对称轴方程，并求方程fx3的解集．

17-2（24-25高一下·上海·期中）已知函数fxasinxbcosxcsinxcosx，其中a，b，cR.

(1)当a1，b1，c0时，求fx的值域.

(2)当a1，b1，c2时，求fx的最大值.

ππ

(3)当a1，c0时，fx的函数图象关于直线x对称，将函数yfx的图象向右平移单位.得到函

66

数ygx，求解不等式gx³1.

题型十八、利用正弦函数的对称性求参数

ïìsinπx,x0,2

例18（24-25高一下·上海·期中）已知函数fxí，若满足fafbfc

îïlog2023x1,x2,¥

（abc），则acbc的取值范围是.

18-1（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数f(x)3cos(x)(0)满足对任意的xR都有

πππ

fx≤f．若函数yf(x)在区间,上有且仅有一个零点，则的取值范围是．

382

πx3πx

18-2（24-25高一下·上海闵行·期中）设函数fx2x121x3×sin×sin，若关于x的方程fxa

22

在0,2上有奇数个不同的实数解，则实数a的取值范围是．

题型十九、正弦函数对称性的其他应用

例19（24-25高一下·上海长宁·期中）已知关于x的方程sinxcosxm在0,π上有两个不同的实数

解，则这两个解的和为

π5π

19-1（24-25高一下·上海·期中）已知fxsinx，若方程fxa在0,上只有4个不同实根

33

x1､x2､x3､x4x1x2x3x4，则ax12x22x3x4的取值范围为.

ïìsinπx，x0,2

19-2（23-24高一下·上海·期中）已知fx，若满足fafbfc（a,b,c互

í，

îïlog2024x1x2,¥

不相等），则abc的取值范围是.

π2

19-3（22-23高一下·上海黄浦·期中）已知函数fx2cosxsinx3sinxsinxcosx.

3

(1)求函数fx的最小值及取得最小值时相应的x的值；

(2)若fxa在x0,2π上有四个不同的根，求a的取值范围及四个根之和.

题型二十、余弦函数图象的应用

例20（24-25高一下·上海杨浦·期中）“b”是“coscosb”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

1

20-1（24-25高一下·上海·期中）若存在实数，使函数ycosx0在xπ,2π上有且仅有

2

2个零点，则的取值范围为（）

210482848

A．,B．,C．,D．,

33333333