2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题05 函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数的图像和性质(原卷版)

复习专题05函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数的图像和性质

知识点1函数y=Asin(wx十φ)的有关概念

函数yAsin(x)中，A、、的物理意义

设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为sAsin(t)(A0,0)．

（1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．

（2）决定了t0时的函数值，通常称为初始相位，t为相位．

21

（3）决定了函数的周期，T．定义在单位时间内振动的次数f称为振动的

T2

频率（其中2f称为圆频率）．

知识点2参数对函数图像的影响

在函数yAsinwxAw0,()(A、w、为常数)0,中，

A、w、对函数图像的影响：A影响函数的最值；w影响函数的周期；影响函数图像的左右平移.即A、

w决定“形变”,决定“位变”.

知识点3函数图像的变换

函数ysinx的图像经变换得到yAsinwxAw0,()(A、w、为常数)0,的图像的两种途径：

①先平移后伸缩、②先伸缩后平移

知识点4用＂五点法＂作yAsin(x)的一个周期内的简图

用“五点法”作yAsin(x)的一个周期内的简图时,要找五个关键点，如下表所示：

知识点5正切函数的图像

1．正切函数

由正切的定义可知，对于任意一个给定的实数x，只要xk(kZ)，都有唯一确定的正切值

2

tanx与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为ytanx．正切函数的定义域

是|x|xR且xk(kZ)．

2

2．正切函数的图像

可选,的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正弦函数图像的画法作出正切函数的图

22

像.

根据tan(xk)tanx(kZ)，把上述图像向左、右平移，得到正切函数ytanx,xR，且

xk(kZ)的图像，称＂正切曲线＂，如图：

2

3．＂三点两线法＂画正切函数的简图

（1）先描,1,(0,0),,1三点．

44

（2）再画x,x两条平行线．

22

（3）最后用光滑的曲线顺次连接这三点画出图像．

知识点6正切函数的性质

函数ytanx

ì

定义域íxxk,kZ

î2

值域R

周期性周期函数，最小正周期为π

奇偶性奇函数，图象关于原点对称

单调性在每一个开区间k,k(kZ)上都是增函数

22

k

对称性图象是中心对称图形，对称中心的坐标为,0(kZ)

2

题型一、相位变换及解析式特征

π

例1（23-24高一下·上海·期中）要得到y=3sin2x的图象，只要把函数y=3sin2x的图象（）

3

ππ

A．向左平移B．向右平移

33

ππ

C．向左平移D．向右平移

66

π

1-1（24-25高一下·上海·期中）函数fxsin2x的初始相位为.

6

π

1-2（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数fx3sin2x的初始相位为.

4

题型二、周期变换及解析式特征

1

例2（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）将函数ysinx图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐

4

标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数yfx的图像，则fx的解析式为（）

24

1é1ù

A．fxsinxB．fxsinêxú

424ë424û

éù

C．fxsin4xD．fxsinê4xú

24ë24û

π

2-1（24-25高一下·上海·期中）函数y2sin30πx的频率为．

12

π

2-2（24-25高一下·上海·阶段练习）函数y2sin2x的频率与初始相位之差为

3

题型三、描述正（余）弦型函数图象的变换过程

例3（24-25高一下·上海·期中）对于函数yf(x)，fx3cos2x的图像（）得到

π

fx3cos2x．

3

ππ

A．向右平移B．向右平移

612

ππ

C．向右平移D．向右平移

32

π

3-1（24-25高一下·上海·期中）函数fx3cos2x是由fx3cos2x（）得到的

6

ππ

A．向右平移B．向右平移

612

ππ

C．向右平移D．向左平移

312

π

3-2（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数fx3cos2x是由fx3cos2x（）得到的

6

ππ

A．向右平移B．向右平移

612

ππ

C．向右平移D．向右平移

32

题型四、求图象变化前（后）的解析式

ππ

例4（24-25高一下·上海长宁·期中）已知fxsinx，gxcosx，则下列结论中正确

22

的是（）

A．函数yfxgx的最小正周期为2π

B．函数yfxgx的最大值为1

π

C．将fx的图象向左平移单位后得gx的图象

2

3π

D．将fx的图象向左平移单位后得gx的图象

2

ππ

4-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）将函数fxcosx0的图象向左平移个单位长度

63

后与函数gxsinx的图象重合，则的最小值为.

π

4-2（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知fxAsinxA0,0,<

2

(1)某同学用“五点法”画出函数yfx在某一周期内的图像，列表如下：

ππ7π

x

222

π3π

x0π2π

22

fx0200

根据表格，直接写出函数yfx的表达式

xxxπ

(2)若fx103sincos10cos2，将函数yfx的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个

2226

单位长度后得到函数gx的图像，求函数ygx的零点所组成的集合；

(3)对于（2）中的函数ygx，证明：存在无穷多个互不相等的正整数x0，使得gx0535．

题型五、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质

ππ

例5（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数y3cos2x的图象向右平移0<<个单位长

32

度后，所得函数为奇函数，则.

π

5-1（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数f(x)sinx的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有

6

点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，则g(x)的单调递减区间为.

2

5-2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数f(x)23sinxcosx2cos2x2．

(1)求函数yf(x)在R上的单调递增区间；

π

(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数yg(x)的图

3

象，若实数x1,x2满足gx1gx24，求x1x2的最小值．

题型六、由图象确定正（余）弦型函数解析式

例6（24-25高一下·上海长宁·期中）函数fxAsinx，A0，0，0<<π，在一个周

期内的图像如图所示，则fx

π

6-1（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知函数fxsinx0,<的部分图像如图所示:

2

(1)求函数yfx的表达式；

(2)写出函数fx所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；

2ππ2

(3)当x,时，求方程6fx3fx30的所有根的和.

36

π

6-2（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数fxAsinxA0,<π的图象如图所示，点

2

1

B,D,F为f(x)与x轴的交点，点C，E分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x)在x处取得最小

2

值.

(1)求参数的值；

uuuruuur

(2)若点P为f(x)函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，BP×PF³1恒成立，求A的取值范围.

题型七、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）

b

例7（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数fx过点2,1，且图象对称中心为1,0，函

ax

π1

数g(x)sin(2x)(0,£)的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的xR，g(x)£g恒

22

成立．若方程fxgx在xn1,n3nZ上的所有根之和等于2028，则满足条件的n构成的集合

为．

2π

7-1（24-25高一下·上海·期中）函数fxcos3x，0,2π，hxcosx，0，对

12

hxhx

12

任意实数x1，x2，当fx1fx2时，都有0成立，将函数hx的图像向左平移000

fx1fx2

ux

个单位得到函数ux，若函数y10lghx的最大值为10，则0的最小值为.

7-2（24-25高一下·上海黄浦·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫

潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某

季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表：

时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00

水深值5.07.05.03.05.07.05.03.05.0

已知港口的水的深度随时间x0,24（例如“x3”表示时刻为“3:00”）变化符合函数

π

fx=Asinωx+φ+B，其中A0，0，<，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为

2

4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离）

(1)求函数fx的表达式；

(2)求该船一天内能够进入港口的时刻；

(3)该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时0.25m的速度减小，若货物4小时可卸完，

求进港后该船最多可在港内停留的时长.

题型八、正、余弦型三角函数图象的应用

例8（23-24高一下·上海·期末）设函数y3sinxcosxm在x0,2π上恰有两个零点x1,x2，则

x1x2.

π3π

8-1（23-24高一下·上海·期中）设fxsinx,x,（其中0），若函数yfx既没有最大值，

22

也没有最小值，则的取值范围是.

8-2（23-24高一下·上海·期中）定义有序实数对a,b的“跟随函数”为fxasinxbcosxxR．

(1)记有序数对a,2的“跟随函数”为fx，若fx为偶函数，求a的值；

(2)记有序数对0,1的“跟随函数”为fx，若函数gxfx3sinx，x0,2π，请画出函数yg(x)

的图像，并求出与直线yk有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围；

3

(3)记有序数对3,0的“跟随函数”yhx，若F(x)h2(x)a×h(x)1在0,2025π上恰有奇数个零点，

3

求实数a与零点的个数．

题型九、求含tanx的函数的单调性

π

例9（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在0,上是严格增函数的是（）

2

A．ysinxB．ycosxC．ytanxD．ysinx

π

9-1（23-24高一下·上海·期中）已知x,y(0,)，且tanysiny£cotxcosx，则x22(y1)2的最大值为.

2

9-2（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出

发，绕着点O按逆时针方向旋转至OD在旋转的过程中，记ÐAOP为x，OP所经过的正方形ABCD内部的

区域（阴影部分）的面积为fx对于函数fx给出以下4个结论：

π1π

①f；②函数fx在,π为减函数；

422

π

③fxfπx4；④fx的图象关于直线x对称．

2

其中正确结论的序号为.

题型十、求正切型三角函数的单调性

ππ

例10（23-24高一下·上海·期中）函数y2tanx包含,π的一个严格增区间是．

42

éππù

10-1（23-24高一下·上海·期中）若函数ytanx在,上为严格增函数，则实数的取值范围是.

ëê44ûú

10-2（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列几个命题：

（1）第一象限的角是锐角；

（2）函数ytanx在定义域内是增函数；

π

（3）函数y2sinx1的零点是x2kπ，kZ

6

其中真命题的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

题型十一、利用正切函数的单调性求参数

π

例11（2023·上海普陀·一模）若函数ytan3x在区间m,上是严格增函数，则实数m的取值范围

6

为.

π

11-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数fxtanx(0)．

3

(1)若2，求函数fx的最小正周期；

(2)若函数f(x)在区间0,上为严格增函数，求的取值范围；

(3)若函数f(x)在a,b（a,bR且a<b）上满足“关于x的方程fx3在a,b上至少存在2024个根”，

且在所有满足上述条件的a,b中，ba的最小值不小于2024，求的取值范围．

π

11-2（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数fxtanx，其中0.

3

(1)若2，求函数fx的最小正周期以及函数图象的对称中心；

(2)若fx在闭区间0,π上是严格增函数，求正实数的取值范围.

题型十二、求正切]（型）函数的周期

π

例12（24-25高一下·上海宝山·期末）函数f(x)tan(x)的最小正周期是.

3

12-1（24-25高一下·上海松江·阶段练习）直线ya与函数ytan2x的图像的相邻两个交点的距离是．

12-2（24-25高一下·上海长宁·期中）函数fxtan42x的最小正周期为

π

12-3（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设常数k0，已知函数ytankx的最小正周期为2，则k

12

的值为．

题型十三、求正切（型）函数的对称中心

ππ

例13（24-25高一下·上海·期中）点,0正切函数ytanx,xkπkZ图象的对称中

22

心（填写“是”或“不是”）

éπ3πù

13-1（23-24高一下·上海·期中）若函数fx7tanx，gx5sin2x，则yfx和ygx在x,

ëê22ûú

的所有公共点的横坐标的和为.

π5ππ

13-2（22-23高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数ytan2x的说法：在区间,上为严格

31212

kππ①

增函数；最小正周期为π；图像的对称中心为,0(kZ).其中正确的说法是.（只填写正

46

确说法的序号）②③

题型十四、求正切（型）函数的定义域

1tana

例14（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）命题：tana的充要条件为a

41tana

ìπ

14-1（23-24高一下·上海黄浦·期末）设0£<π，若函数ytan(x)的.定义域为íxxkπ,kZ，

î3

则的值为．

ππ

14-2（22-23高一下·上海静安·期中）函数ytanx的定义域是．

63

题型十五、求正切（型）函数的值域及最值

éππù

例15（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数ytanx,x,，则函数的最小值为.

ëê44ûú

éππù

15-1（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数fxtan2xtanx，x,的最大值与最小值之和

ëê44ûú

为.

15-2（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：偶函数yfx在区间

①

a,ba<b上的取值范围与在区间b,a上的取值范围是相同的；周期函数yfx在一个周期内的

②

取值范围也就是yfx在定义域上的值域，由此可求函数gx3sinxtanx的值域为.

1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）设a，bR，c0,2π，若对任意实数x都有

π

2sin3xasinbxc，则满足条件的有序实数组a，b，c的组数为（）

3

A．1组；B．2组；C．4组；D．无数组．

éπù

2．（22-23高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以π为最小正周期且在ê,πú上是严格减函数的是（）

ë2û

A．ytanxB．y|sinx|C．ycos2xD．ysinx

3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数fxAsinx（其中A0，0，<π）的部分图

象如图所示，则下列结论正确的是（）

π

A．fx2sin2x

6

π

B．函数yfx的最小正周期为

2

π

C．函数yfx的图象关于点,0对称

12

π

D．函数yfx的图象关于直线x对称

2

éππù

4．（23-24高一下·上海·期中）函数ytan2x，x,的最大值为.

ëê66ûú

π

5．（2024高一下·上海·专题练习）函数y2tan3x的单调递减区间是．

4

6．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数f(x)sin(2x)（0<<π），其图像的一个对称中心是

ππ

(,0)，将f(x)图像向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图像.若对任意x,x[0,t]，当x<x时，都

631212

有f(x1)f(x2)<g(x1)g(x2)，则实数t的最大值为.

7．（23-24高一下·上海·期中）已知函数yAsinxA0,0的振幅是2，最小正周期是π，初始相

π

位是：

4

(1)求A、、的值

(2)求函数的表达式．

8．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍

晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星

空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方

向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动t（单位：分钟）后

距离地面的高度为H（单位：米），转一周大约需要15分钟.

π

(1)已知H关于t的函数关系式满足HtAsintB（其中A0，0，£），求摩天轮转动一

2

周的解析式Ht；

(2)若游客在距离地面至少40米的高