2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题07 向量的坐标表示与应用(原卷版)

复习专题07向量的坐标表示与应用

知识点1向量a关于向量i与j的线性组合

设i与j分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，把向量aOA在i与j的方向上作投影

OP与OQ．其中，P(x,0)与Q(0,y)分别是点A在x轴与y轴上的投影．显然

OPxi,OQyj，而且OPAQ是一个矩形，OA是对角线，如图．

于是我们把a表示成了向量i与j的线性组合aOAxiyj.

知识点2向量基本定理

条件e1,e2是平面上两个不平行的向量

对于该平面上的任意向量，a都可唯一地表示为e1与e2的线性组合，即存在唯一的一

结论

对实数,，使得ae1e2

若

基e1,e2不共线，我们把e1,e2这组向量称为平面向量的一个基

平面向量基本定理阐述两方面的含义:

一是存在性，即存在实数、，使得ae1e2；二是唯一性，即对于任意一个向量a，存在

唯一的一对实数、，使得ae1e2.

知识点3向量的正交分解与坐标表示

分解与把向量a写成所在平面上两个不平行向量e1与e2的线性组合的过程称为a关于e1与

正交分

解e2的分解．在e1e2情况下进行向量的分解，这种分解称为向量的正交分解.

向量a

在平面直角坐标系中任意一个向量a关于x轴与y轴正方向上的单位向量i与j的分

的坐标

解axiyj就是一个正交分解．这个正交分解称为向量a在这个平面直角坐标系中的坐标

分解，而有序实数对（x，y)则称为向量a的坐标，并直接表示成a(x,y)．向量的

这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标(x,y)代表一个向量

在向量a的坐标表示中，先要作出从坐标原点O出发的向量OAa，才能用点A的坐

位置向

量标(x,y)表示向量a的坐标．为此，把向量OA称为a的位置向量．位置向量终点的坐标

才是所给向量的坐标

知识点4向量线性运算的坐标表示

设向量a(x,y),bx1,y1,cx2,y2,R,则有下表：

运算文字描述数字表示

加法两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和bcx1x2,y1y2

减法两个向量的差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差bcx1x2,y1y2

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应

数乘a(x,y)

坐标

模a的模就是a的位置向量所对应有向线段的长度|a|x2y2

（1）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.

（2）求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标

知识点5向量数量积与夹角的坐标表示

1.向量数量积的坐标表示

给定两个坐标表示的向量ax1,y1与bx2,y2，它们的数量积是abx1x2y1y2．

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

2.向量夹角的坐标表示

ab

给定两个非零向量与，则

ax1,y1bx2,y2cosáa,bñ

|a||b|

xxyy

1212.

2222

x1y1x2y2

设向量ax1,y1与bx2,y2的夹角为．

（1）[0,]．

（2）当x1x2y1y20时，,;

2

当x1x2y1y20时，（此时ab）；

2

当x1x2y1y20时，0,．

2

知识点6向量平行与垂直的充要条件

给定向量ax1,y1与bx2,y2，则

（1）ab的充要条件是x1x2y1y20；

（2）a//b的充要条件是x1y2x2y1．

描述两个向量平行的三种方法

（1）几何表示法：若非零向量a与b共线，则存在唯一实数，使得ba．它体现了向量a

与b的长度及方向之间的关系．

（2）代数表示法：设ax1,y1，bx2,y2，则当a与b共线时，x1y2x2y10．用它

解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数，从而减少了末知数的个数，而且它使问题的解决

具有代数化的特点和程序化的特征．

（3）比例形式表示法：设ax1，y1,bx2,y2，则当a与b共线时，

x1y1

x2,y20．比例形式的表示可借助直线的斜率相等来理解记忆．这种形式不易出现搭配错误，

x2y2

但有x2,y20的限制．

知识点7定比分点公式

如图，已知P是直线PP12上一点，且PP1PP2(为实数，且1)，那么我们就说P分有

向线段PP12的比为，其中叫做定比,点P叫做分点.

定比分点公式：已知两点P1x1,y1,P2x2,y2，点P是直线PP12上的一点，且PP1PP2(1)，

xx

x12,

1

设点P坐标为(x，y)则

yy

y12.

1

这个公式称为线段的定比分点公式。

xx

x12,

2

特别地，当1时，P为线段PP12的中点，其坐标为

yy

y12.

2

这个公式称为线段中点公式．

知识点8三角形面积公式的向量表示

在ABC中，设CAa,CBb，记ABC的面积为S．

1

（1）S|a|2|b|2(ab)2；

2

1

（2）若ax,y,bx,y，则Sxyxy．

112221221

知识点9向量在平面几何中常用应用

设ax1,y1,bx2,y2.

解题方法

问题类型

几何法坐标法

a//bab

平行或共线

xyxy0

问题,全等、相似问题(R,b0)1221

垂直问题abab0x1x2y1y20

abx1x2y1y2

夹角问题cosáa,bñ

cosáa,bñ2222

|a||b|x1y1x2y2

22

|a|x1y1或

22

|AB|x2x1y2y1

长度问题|a|a2

Ax1,y1,Bx2,y2

知识点10相关定理的证明

证明时所用到的向量有关运算律与公式:

（1）向量加法：abba;(ab)ca(bc)．

（2）设a、b和c是向量，是实数，则向量数量积的交换律：a－bba；

向量数量积对数乘的结合律：(a)ba(b)(ab)；向量数量积对加法的分配律：

a(bc)abbc．

（3）ab|a||b|cosáa,bñ．

知识点11向量在物理中的应用

类型向量方法说明

力的合成与分解向量的线性运算力的合成与分解就是向量的加减法

加速度、速度、位速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减

向量的线性运算

移问题法运算

动量涉及物体的质量m,物体运动

动量问题向量的数乘运算

的速度v

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与

功的问题向量的数量积

物体位移的乘积,它可正、可负、也可为零

用向量法解决物理问题时，正确作出相应的几何图形有助于我们建立数学模型.向量在物理中的应用，如求

力的合力与力的分解，力做的功等,实际上是把物理问题转化为向量问题，然后用向量运算解决向量问题，

最后用得到的结果解释物理现象.

题型一．平面向量的基底

1（春•普陀区校级期中）若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底

例2023e1e2

的是()

．和．和

Ae1e2e1e2B3e12e26e14e2

．和．和

Ce12e22e1e2De2e1e2

1-1（2022春•青浦区校级期末）下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()

A．a(0,0)，b(1,2)B．a(1,2)，b(2,4)

C．a(3,5)，b(6,10)D．a(2,3)，b(6,9)

1-2（春•浦东新区校级期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基的是

2024e1,e2()

．与．与

Ae1e2e1e2Be12e22e1e2

．与．与

C3e1e22e26e1De2e1e2

1-3（春•宝山区期末）若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围

2024e1(2,),e2(1,3)

为．

题型二．用平面向量的基底表示平面向量

2（春•嘉定区校级期中）已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基

例2024e1,e2

的一组向量是()

11

A．a2ee,beeB．a4e2e,b2ee

1221421212

．．

Ca3e13e2,be1e2Dae12e2,b2e14e2

2-1（2025春•宝山区期末）平行四边形ABCD中，DE2EC，F是BC的中点，记ABa,ADb，则

EF．（用a,b表示）

2-2（2025春•长宁区校级期中）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，设

aAB,bAC，则用a,b表示BE为．

11

2-3（2024春•嘉定区校级期中）在△ABC中，ADAB,CECD．记ABa,ACb，用a,b表示

22

AE．

题型三．平面向量数乘和线性运算的坐标运算

例3（2025春•浦东新区校级期中）若向量a(1,1)，b(1,1)，则a2b．

3-1（2024春•浦东新区校级期中）已知点A(2,3)，B(6,3)，若点P满足AP3AB，则点P的坐标为．

3-2（2024春•嘉定区校级期中）已知向量a(1,1),b(2,3)，则ab．

3-3（2023春•闵行区校级期中）已知向量a(1,2)，b(0,1)，则a2b的坐标为．

题型四．平面向量数量积的坐标运算

例4（2025•广东校级模拟）设平面向量a(4,2)，b(m,1)，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则

ab()

A．2B．10C．6D．0

4-1（2025春•徐汇区校级月考）若向量a(1,2)，b(1,2)，则ab在ab方向上的投影的坐标为．

4-2（2025春•浦东新区校级期中）已知a(2,1)，b(3,4)，则b在a方向上的投影为．

4-3（2025春•杨浦区校级期末）若a(1,1)，则|a|．

题型五．平面向量共线（平行）的坐标表示

例5（2025春•浦东新区校级期中）已知向量m(,1)，n(3,2)，若m与n共线且反向，则实数的

值为()

A．3B．1C．1D．1或3

5-1（2025春•浦东新区期末）已知向量a(1,2)，b(m,1)，且(a2b)//(2ab)，则实数m．

5-2（2025春•浙江期中）设向量m(3,5)，n(2,a)，若m与n共线，则实数a的值为．

5-3（2025春•上海校级期中）已知a(x,x1)，b(3,6)，若a//b，则x．

题型六．数量积表示两个平面向量的夹角

例6（2024春•闵行区校级期末）已知向量a(,1)，b(2,3)，若a与b的夹角是锐角，则实数的取

值范围是()

33

A．(,¥)B．[,¥)

22

322322

C．(,)(,¥)D．(,)(,¥)

23U323U3

6-1（2025春•浦东新区期末）设向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)a，则a，b．

6-2（2025春•闵行区期末）已知向量a(,1)，b(2,3)，若a与b的夹角是锐角，则实数的取值范围

是．

6-3（2025春•松江区校级月考）已知向量a(m,2)，b(3,5)，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取

值范围是．

6-4（2025春•长宁区校级期中）已知两个向量a和b满足ab(2,8),ab(6,4)．

（1）求a的模；

（2）求a和b的夹角．

6-5（2025春•徐汇区校级期中）已知a，b的夹角为60°，且|a|1,|b|2，设m3ab,nta2b．

（1）若mn，求实数t；

（2）若m//n，求实数t；

（3）t2时，求m与n的夹角的余弦值．

题型七．数量积判断两个平面向量的垂直关系

例7（2024春•闵行区校级期末）已知向量a(x,1)，b(2,2)，若ab，则实数x．

7-1（2025春•浦东新区期末）已知向量a(0,1),b(1,2)．

（1）求|3a2b|；

（2）若(ka2b)(ba)，求实数k的值．

7-2（2025春•浦东新区期末）已知△ABC中A、B、C三点的坐标分别是(2,3)、(2,2)、(3,7)，

（1）求AB，BC；

（2）求证：△ABC为直角三角形．

7-3（2025春•浦东新区校级月考）已知a(2,0)，b(1,y)，且a和b的夹角为45°，设mab，nab．

（1）求：y的值；

（2）若mn，求：实数的值．

题型八．平面向量在物理中的应用

8（春•浦东新区校级期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，，

例2024F1,F2,F3|F1|30N|F2|50NF1

与F之间的夹角是，则F的大小是N．

233

8-1（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根

绳子与铅垂线的夹角分别为和，则拉力与大小的比值为．

45°30°f1f2

题型九．平面向量的综合题

例9（2025春•闵行区期末）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数

对，，看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对

(z1z2)(z1z2C)a(z1,z2)a

于，，，，，，规定如下运算法则：

a(z1,z2)b(z3,z4)z1z2z3z4C

①；

ab(z1z3,z2z4)

②；

ab(z1z3,z2z4)

③；

abz1z3z2z4

④|a|aa．

则下列结论错误的是()

A．若a(i,1i)，b(2,2i)，则ab15i

B．若|a|0，则a(0,0)

C．abba

D．a(bc)abac

9-1（2025春•宝山区校级期中）已知集合M{(x,y)||x||y|1}，N{(x,y)|x2y24}，若对任意向量

aM，均存在b、cN满足|bc|£d，使得ab(1)c，则d的最小值为．

9-2（2024春•虹口区校级期末）如图，已知点P为ABC所在平面内一点，|ABAC|8，|AC|3|AB|，

定义点集1，，若存在点，使得对任意，有恒

D{P|AP3ABACR}P0DPD|AP|…|AP0|

3

成立，那么当的面积取得最大值时，．

ABC12|AP0|

9-3（2025春•浦东新区校级期末）定义函数f(x)asinxbcosx的“积向量”为m(a,b)，向量m(a,b)

的“积函数”为f(x)asinxbcosx．

（1）若a1，b3，求f(x)最大值及对应x的取值集合；

f()

13b

（2）若向量m(a,b)的“积函数”f(x)满足7tan，求的值；

9

f()42a

14

（3）已知m(2cosa,2sina)，n(2cosb,2sinb)，设OPmn(0,0)，且OP的“积函数”

为g(x)，其最大值为t，求(t2)()的最小值，并判断此时m，n的关系．

9-4（2025春•上海校级期中）如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、

Q三点共线．

（1）设PGPQ，将OG用、OP、OQ表示；

11

（2）设OPxOA，OQyOB，问：是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

xy

T

（3）在（2）的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T，求的取值范围．

S

9-5（春•普陀区校级期末）已知集合，，，为坐标原点，若

2024S2{a|a(x,y)xN*yN*}O

，，，，、，定义点、之间的距离为．

OA(x1y1)OB(x2y2)OAOBS2ABd(A,B)|x1x2||y1y2|

（1）若OA(3,2)，OB(1,x)，d(A,B)„3，求x的值；

（）记，若，，为常数），求的最大值，并写出一组此时满足

2OI(1,1)S2d(IA)d(IB)p(pd(A,B)

条件的向量OA、OB；

（）若，，试判断“存在，使”是，，，”的

3OC(x3y3)S20ABBCd(AB)d(BC)d(AC)

什么条件？并证明．

（春•长宁区校级期末）已知向量，，若，则的单位向量的坐标

1.2022a(6,1)b(3,2)c2a3bcc0

为．

2.（2025春•黄浦区校级期中）已知AB(1cosa)，BC(2,0)，CD(2,2sina)，若A，B，D三点共

线，则tana．

3.（2025春•宝山区校级期中）已知a(1,2),b(t,3)，若a与b夹角为锐角，则t的取值范围为．

4．（2025春•黄浦区校级期中）已知向量a(1,2)，b(2,x)，c(y,3)，且a//b，ac．

（1）求b与c；

（2）求向量2ab与ca的夹角．（结果用反三角表示）

（春•青浦区校级期末）如图所示，为线段外一点，若，，，，，中任意

1.