2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题08 复数(解析版)

复习专题08复数

知识点1复数系与相关概念

虚数单位虚数单位i,满足i21

概念复数系与相

形如abi(a,bR)的数称为一个复数,全体复数构成

关复数的定义

的集合用字母C表示

（1）i21，但并没有i1．

（2）复数i满足i21,i3i，i41，以4为一个周期循环，即有ii2i3i10．

对于复数集,我们约定:

（1）复数abi0(a、bR)a0且b0；

（2）复数abicdi(a、b、c、dR)ac且bd．

知识点2复数的四则运算

复数的四则运算法则

复数的加法(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a,b,c,dR)

复数的减法(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a,b,c,dR)

复数的乘法(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i(a,b,c,dR)

abiacbdbcad

复数的除法i(a,b,c,dR,cdi0)

cdic2d2c2d2

（1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个多项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件

i21及合并同类项来化简结果．

（2）复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1，再把实数项、

含i的项分别合并．

（3）两个复数进行除法（除数不为0）运算时，将分子和分母同时乘分母的实数项与含i项的相反数的

abi

和，然后化简整理得到运算结果．复数的除法运算本质上是化简分式，使的分母实数化．

cdi

复数四则运算满足的运算律

对于任意复数z1、z2、z3C,有

复数加法的交换律z1z2z2z1

复数加法的结合律z1z2z3z1z2z3

复数乘法的交换律z1z2z2z1

复数乘法的结合律z1z2z3z1z2z3

复数乘法对加法的分配律z1z2z3z1z2z1z3

知识点3复数的整数次幂

（1）对任意复数abi(a,bR)与任何正整数n,(abi)n表示n个abi相乘．

1

（2）非零复数的负指数幂也是有意义的：当abi0时，对任何正整数n,(abi)n；当

(abi)n

abi0时，还约定(abi)01．

（3）同底数幂的运算规则同样适用于复数，如：

mnmnmnmn

(abi)(abi)(abi),(abi)(abi),m,n都是整数

（1）i的周期性：

i4n1,i4n1i,

i4n21,i4n3i,

所以i的周期为4n(nZ)．

（2）复数的乘方类似于实数的乘方，在实数集中的乘方公式在复数集中仍然适用．

知识点4复数的代数形式

复数的表达方式abi(a、bR)称为它的代数形式，其中的实数a和b分别叫做该复数的实部（real

part）和虚部（imaginarypart）.为了行文的简洁与方便，复数也常常用单个字母（常用z）来表示，此时它

的实部和虚部分别记作Rez与Imz.即，若复数zabi(a、bR)，则Reza,Imzb.若复数

zabi的虚部为零，即b0，则za是个实数；当b0时，z称为虚数（imaginarynumber）．特

别地，当a0但b0时，zbi称为纯虚数（pureimaginarynumber）．我们已经知道，z0当且仅

当a0且b0，此时z是一个实数．

实数是虚部等于零的复数，因此，实数集合是复数集合的子集，并且是一个真子集，即RC.

复数可以按以下方式分类：

知识点5复平面及其相关概念

复平面

在平面上建立直角坐标系，以坐标为(a,b)的点Z表示复数zabi(a、bR)，就可在平面上

的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应．这样用来表示复数的平面叫做复平面．

实轴与虚轴

在复平面上，x轴上的点具有(a,0)形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把x轴叫做实轴；同理，

y轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数，所以把y轴叫做虚轴．坐标原点表示实数0．

复平面、实轴、虚轴与复数的对应

（1）复平面内的点与复数的对应：

点Z的横坐标是实部a，纵坐标是虛部b，复数zabi(a、bR）可用点Z(a,b)表示．如

图，

（2）象限内的点与一般虚数的对应:

①第一象限的点对应复数的特征:实部为正，且虚部为正;②第二象限的点对应复数的特征:实部为负，且虚

部为正;③第三象限的点对应复数的特征:实部为负，且虚部为负;④第四象限的点对应复数的特征:实部为

正,且虚为负.

知识点6复数、点与向量三者间的对应关系

复数zabi(a、bR)一一对应复平面内的点Z(a,b).

复数zabi(a、bR)一一对应，平面向量OZ.

因此，复数zabi(a、bR)、复平面内的点Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系可用如图表示．

为方便起见，常把复数zabi(a、bR)说成点Z(a,b)或向量OZ．

共轭复数的“数、形”特征

共轭复数zabi(a、bR)和zabi(a、bR)在复平面上所对应的点Z(a,b)和

Z(a,b)关于x轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于x轴对称，那么这两个点所对应的复数互

为共轭．

特别地，如果b0，即z是实数，则zz，此时z、z在复平面上所对应的点是位于实轴上的

同一点．

知识点7复数的模

定义

复数zabi(a、bR)在复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离a2b2，叫做复数z的

模，记作|z|．

(1)计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算.

(2)两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小,

(3)复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有|z|0,并且绝对值具有的某些性质可以推广

到复数的模

记法

由模的定义可知:|z||abi|a2b2(a,bR).

如果b0,那么zabi是一个实数,它的模就等于|a|(a的绝对值）

复数模的几何意义

复数对应复平面上的点到原点的距离

两复数差的模的几何意义

两复数z1、z2差的模是这两个复数在复平面上对应点Z1(a,b)、Z2(c,d)之间的距离．

复平面上两点距离公式

设Z1(a,b),Z2(c,d)是复平面上的两个点，其对应的复数为z1abi,z2cdi，则由平面上两点间

22

距离公式可知z1z2(ac)(bd)Z1Z2Z1Z2.

知识点8复数的模的性质

C

复数的模有如下性质：对z,z1,z2，在关于除法的性质中需假设z20。

（1）|z||z|；

（2）zz|z|2|z|2z2z2；

（3）z1z2z1z2；

zz

（4）11；

z2z2

（5）z1z2z1z2（复数的三角不等式）；

（6）zn|z|n（n为正整数）．

12222

（）一个重要的复数等式：z1z2z1z22z12z2.

（2）一个重要的复数不等式:z1z2z1z2z1z2z1z2.

知识点9实数的平方根

已知cR，则在复数集C内：

当c0时，实数c的实平方根为c；

当c0时，实数c的两个平方根为ci，它们是两个共轭的纯虚数

复数的平方根与立方根

2

1.满足条件z1z2的z1叫做z2的平方根．

3

2.满足条件z1z2的z1叫借z2的立方根．

13i3322

若记，则（1）1,1；（2）10,10．

2

知识点10实系数一元二次方程

实系数一元二次方程ax2bxc0(a、b、cR,a0)中的b24ac为根的判别式，那么

bb24ac

（1）0方程有两个不相等的实根；

2a

b

（2）0方程有两个相等的实根；

2a

b4acb2i

（3）0方程有一对共轭虚根．

2a

bc

在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）：xx,xx仍然成立.

12a12a

1.在复数集C中，实系数一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅在实数集上有效。

2.虚系数一元二次方程ax2bxc0(a0,a、b、c至少有一个为虚数）：

（1）利用判别式判断实根情况失效；

（2）虚根成对定理失效．不过韦达定理仍适用．

知识点11实系数方程虚根成对定理

实系数一元二次方程的虚根成对出现，即若zabi(b0)是方程的一个根，则zabi(b0)也

是方程的一个根．

知识点12复数的辐角

设复数z对应复平面上的点Z，则以原点为顶点、x轴的正半轴为始边、射线OZ为终边的角称

为复数z的辐角，记作Argz．在复数z的所有辐角中，显然，任何一个非零复数z的辐角都有无

穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2的整数倍．

规定：复数0的辐角的大小是任意的值．

（1）在复数的三角形式中，辐角的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是辐角主值，也可以

是䇎角主值加2k或k360(kZ)．

（2）为了筒便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将写成辐角主值．

知识点13复数的三角形式

如果非零复数zabi(a、bR)在复平面内的对应点为Z(a,b)，且r为向量OZ的模，是以x

轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r|z|a2b2，所以arcos,brsin，如

图所示，从而zabi(rcos)(rsin)ir(cosisin).

上式的右边r(cosisin)称为非零复数的三角形式．对应地，zabi称为复数的代数形式．

知识点14复数乘法运算的三角表示及其几何意义

复数乘法运算的三角表示

已知z1r(cosisin),z2s(cosisin)，则z1z2rs[cos()isin()]．

这就是说,两个复数相乘,其积的模等于模的积,积的辐角等于辐角的和.

复数三角形式的乘法公式的推广

z1z1zn

r1cos1isin1r2cos2isin2rncosnisinn

r1r2rncos12nisin12n.

复数乘法运算的几何意义

两个复数、相乘时，如图，先分别画出与、对应的向量、，然后把向量

z1z2z1z2OZ1OZ2OZ1

绕点O按逆时针方向旋转角（如果0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角||，再

把它的模变为原来的s倍,得到向量OZ,OZ表示的复数就是积z1z2

知识点15复数除法运算的三角表示及其几何意义

复数除法运算的三角表示

已知z1r(cosisin),z2s(cosisin).

zr(cosisin)r

则1[cos()isin()].

z2s(cosisin)s

这就是说,两个复数相除(除数不为零),其商的模等于模的商商的辐角等于辐角的差.

复数除法运算的几何意义

两个复数z、z相除时，如图，先分别画出与z、z对应的向量、，然后把向量

1212OZ1OZ2OZ1

绕点O按顺时针方向旋转（如果0，就要把OZ1绕O点按逆时针方向旋转角||），再

1z

把它的模变为原来的倍，得到向量OZ,OZ表示的复数就是商1.

sz2

知识点16三角形式下复数的乘方与开方公式

n

设zr(cosisin)(r|z|0)，则对任何正整数n，有znr(cosnisinn);z的n

n2k2k

次方根为rcosisin,k0,1,2,,n1．

nn

（1）三角形式下复数的乘方与开方公式学习的必要性：

计算(abi)n，当正整数n较大时就不方便；而用三角形式就十分筒捷．同理复数的开方亦然．

（2）复数开方的几何意义是z的n次方根所对应的复数均匀地分布在圆|z|r上．

题型一、复数代数形式的乘法运算

z

例1（24-25高一下·上海·期中）已知2i，则复数z为．

1i

【答案】3i/i3

【分析】利用复数代数形式的乘法运算及共轭复数的意义求解.

【详解】依题意，z(2i)(1i)3i，所以z3i.

故答案为：3i

1z

1-1．（23-24高一下·上海·期末）若复数z满足i（i为虚数单位），则z（）

1z

A．iB．iC．1iD．1i

【答案】B

1z

【分析】由i可得1i1iz，进而根据复数的除法运算即可求解.

1z

1z

【详解】因为i，故1i1ziizz即1i1iz，

1z

2

1i1i2i

所以zi.

1i1i1i2

故选：B.

1-2．（2023高一下·上海·专题练习）方程x22xk0有一个根为12i，则实数k的值为（）

A．5B．3C．4D．2

【答案】A

【分析】根据已知条件，推得方程x22xk0的另一个根为12i，再结合韦达定理，即可求解．

【详解】方程x22xk0有一个根为12i，

则方程x22xk0的另一个根为12i，

故12i12i5k．

故选：A．

1-3．（23-24高一下·上海·阶段练习）设复数z满足1izi2024（i为虚数单位），则z.

21

【答案】/2

22

【分析】先由1izi2024求出复数z，然后可求出复数z的模.

i4´50611i11

【详解】由1izi2024，得zi，

1i1i(1i)(1i)22

22

112

所以z，

222

故答案为：2

2

题型二、复数范围内方程的根

例2（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在复数范围内，aa0的所有平方根为．

【答案】ai

【分析】设zxyix,yR，求出z2，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案.

2

【详解】设zxyix,yR，则z2xyix2y22xyi.

ìx2y2a

由z2a可得，í.

î2xy0

由2xy0可得，x0或y0.

当x0时，有y2a，解得ya，zai；

当y0时，有x2a，显然不成立.

综上所述，zai.

故答案为：ai.

2-1．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知关于x的方程x2kx20，kR

(1)若上述方程有虚数根，求实数k的取值范围

，

(2)若上述方程的两根为x1x2，且x1x22，求实数k的值

【答案】(1)22k22

(2)2或23

【分析】（1）依题意可知Δ0即可；

（2）分两种情况讨论：³0以及0，利用韦达定理求解即可.

【详解】（1）Q方程有虚数根，

\Δk280，解得22k22

222

（2）①³0时，x1x2x1x24x1x2k84Þk23;

22

时，xxxx4xx82;

②0121212k4Þk2

综上，k的值为2或23

2-2．（24-25高一下·上海·期中）若m､n都是实数，关于x的方程x2mxn0有一个根23i，则

n.

【答案】7

【分析】根据题意，将xi23代入方程，然后由复数相等列出方程，即可得到结果.

2

【详解】将xi23代入方程可得m23in023i，

化简可得4343i2m3min0，

即12mn433mi0，

ïì12mn0

则í，解得m4,n7.

îï433m0

故答案为：7

2-3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知2i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2pxq0的一个

根，那么p，q的值分别是（）．

A．p4,q5B．p4,q3

C．p4,q5D．p4,q3

【答案】A

【分析】将2i代入方程，即可求解.

2

【详解】由题意可知，p2iq02i，

则32pq4pi0，

ì32pq0

即í，得p4，q5.

î4p0

故选：A

题型三、复数的除法运算

例3（23-24高一下·上海·期中）已知复数z1i（i为虚数单位），则满足zwz的复数w为.

【答案】1

【分析】根据复数的除法运算即可求解.

z

【详解】由于z1i0，则zwz得w1，

z

故答案为：1

3i

3-1．（23-24高一下·上海·期中）设复数z，则复数z的虚部为.

1i

【答案】2

【分析】根据复数除法运算可求得z12i，由虚部定义可得结果.

3i(3i)(1i)24i

【详解】因为z12i，

1i(1i)(1i)2

所以复数z的虚部为2.

故答案为：2.

23

1i

3-2．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）复数.

1i

【答案】i

【分析】利用复数的乘法结合复数乘方的周期性可求得结果.

223

1i1i1i232324

【详解】因为i，故iii.

1i1i1i1i

故答案为：i.

3-3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知1iz1i，则z.

【答案】i

【分析】根据复数的除法计算规则求解.

2

1i1i

【详解】1iz1i,\zi；

1i12i2

故答案为：i.

题型四、求复数的实部与虚部

例4（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数za2i12iaR是纯虚数，则复数z的虚

部为

【答案】10

【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解.

ìa40

【详解】依题意，z(a2i)(12i)a4(22a)i，由z是纯虚数，得í，

î22a0

解得a4，因此z10i，

所以复数z的虚部为10.

故答案为：10

4-1．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设i是虚数单位，若复数z满足1iz1，则Rez.

1

【答案】/0.5

2

【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z，再判断其实部.

11i11

【详解】因为1iz1，所以zi，

1i1i1i22

1

所以Rez.

2

故答案为：1

2

4-2．（24-25高一下·上海·阶段练习）若复数z3i（i表示虚数单位），则Imz.

【答案】1

【分析】根据复数的概念求解即可.

【详解】因为复数z3i，

所以Imz1.

故答案为：1

4-3．（24-25高一下·上海·期中）已知复数z2i，则z的虚部是.

【答案】1

【分析】利用复数的概念直接求得结果.

【详解】复数z2i的虚部是1.

故答案为：1

题型五、共轭复数的概念及计算

3

例5（23-24高一下·上海·期末）已知复数z1和复数z2满足：zz32i,zz22i，

12122

22

则z1z2．

3611

【答案】i

22

ìac22

ïìac3ï

【分析】设z1abi,z2cdi，根据题意结合共轭复数的概念可得í和í3，进而可得

îïbd2ïdb

î2

a,b,c,d，再结合复数的乘法运算求解即可.

【详解】设z1abi,z2cdi,a,b,c,dR，则1abi,2czzdi，

ïìac3

因为z1z2acbdi32i，可得í；

îïbd2

ìac22

ï

且3，可得，

z1z2acdbi22ií3

2ïdb

î2

ì1

a223

ïìac3ï2

由í，可得í，

1

îïac22ïc223

îï2

ì1

ìbd2b223

ïï4

由í，可得í，

31

ïdbïd223

î2îï4

111

则z1223223i2232i，

244

111

z2223223i2232i，

244

2

2121

可得z12232i114634i，

1616

2

2121

z22232i114634i，

1616

所以22113611.

z1z2114634i114634ii

161622

3611

故答案为：i.

22

5-1．（23-24高一下·上海·期末）zC，若zz2i，z·z3，则z.

【答案】2i

【分析】设zabi，根据已知求出a,b即可得出答案.

【详解】设zabi，则zabi，

所以zz2i2bi,即b1；

由zz3a2b2,解得a22，即a2，所以z2i.

故答案为：2i.

2

5-2．（24-25高一下·上海·期中）已知i为虚数单位，复数z满足z，则z．

i

【答案】2i

【分析】根据除法运算可得z2i，进而可得z.

2

【详解】因为z2i，所以z2i.

i

故答案为：2i.

2

5-3．（24-25高一下·上海·期中）已知复数z1a2a3i,z223a1i(aR,i是虚数单位）．

(1)若复数z1z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)设a1，分别记复数Z1,Z2在复平面上对应的点为A,B，求OA与OB的夹角．

【答案】(1)a4

765

(2)arccos

65

【分析】（1）求出z1z2，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围；

（2）利用夹角公式可求夹角.

2

【详解】（1）由题意，z1z2aa3a4i，

ìa0

第一象限需满足：í2，解得a4.

îa3a40

（2）当a1时，点A3,2，B2,4，OA3,2,OB2,4，

设OA,OB的夹角为，则0,π，

147765

且cos,arccos.

13256565

题型六、复数的相等

例6（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两

3ai

个复数互为“共胚复数”.已知与2bi互为“共胚复数”.其中a,bR,i为虚数单位，则ab的值为

i

（）

A．-2B．-1C．0D．3

【答案】B

【分析】利用复数的除法，结合给定的定义列式求解.

3aiìa20

【详解】a3i，依题意，í，解得a2,b3，

iîb3

所以ab1.

故选：B

6-1．（23-24高一下·上海·期末）已知i为虚数单位，z1､z2是实系数一元二次方程的两个虚根.

(1)设z1､z2满足方程4z11iz295i，求z1､z2；

(2)设z112i，复数z1､z2所对的向量分别是a与b，若向量tab与a2b的夹角为钝角，求实数t的取值

范围.

ì118

zi

ï177

【答案】(1)í

118

ïzi

îï277

11

(2)7,È¥

22

【分析】（1）设出z1,z2的代数形式根据复数相等可得答案；

（2）求出a与b的坐标，根据向量夹角为钝角列出t的不等式可得答案.

【详解】（1）不妨设z1abia,bR，则z2abi，

因为z1､z2满足方程4z11iz295i，

所以4abi1iabi95i，

可得5ab3bai95i，

ì11

a

ì5ab9ï7

所以í，解得í，

3ba58

îïb

îï7

ì118

zi

ï177

所以í；

118

ïzi

îï277

（2）设z112i，则z212i，

因为复数z1､z2所对的向量分别是a与b，

所以a1,2，b1,2，

可得tabt1,21,2t1,2t2，

a2b1,221,23,2，

若向量tab与a2b的夹角为钝角，

taba2btaba2b

则0，且1，

taba2btaba2b

3t34t43t34t4

即0，且1，

135t26t5135t26t5

1

解得t7，t，

2

11

实数t的取值范围是7,È¥.

22

6-2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）i的所有的三次方根为.

3131

【答案】zi，zi，zi.

2222

3

【分析】设i的所有的三次方根为zabia,bR，由abii，利用复数相等求解.

【详解】i的所有的三次方根为zabia,bR，

3

则abii，

即a33ab23a2bb3ii，

ìa33ab20

所以，

í23

î3abb1

ì3ì3

aa

ìa0ïï

解得í或í2或í2，

îb111

ïbïb

îï2îï2

3131

所以zi，zi，zi.

2222

3131

故答案为：zi，zi，zi.

2222

6-3．（23-24高一下·上海宝山·期末）在复数范围内，4的所有平方根为.

【答案】2i或2i

【分析】设zabia,bR，求出z2，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案.

2

【详解】设zabia,bR，则z2abia2b22abi.

ìa2b24

由z24可得，í.

î2ab0

由2ab0可得，a0或b0.

当a0时，有b24，解得b2，z2i；

当b0时，有a24，显然不成立.

综上所述，z2i.

故答案为：2i或2i.

题型七、复数的坐标表示

例7（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，x轴与y轴的交点为点O，设复数52i和复数

25i在复平面对应点A和B，则三角形OAB的面积为（）

559

A．B．C．D．25

222

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出点A,B的坐标，再判断三角形形状并求出面积.

【详解】依题意，A(5,2),B(2,5)，|OA||OB|3，而|AB|(25)2(52)232，

9

则|OA|2|OB|2|AB|2，△OAB是等腰直角三角形，面积为.

2

故选：C

7-1．（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数z12i，z21i对应的点分别为A、B，O为坐标原

点，则OAOB.

【答案】1

【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解.

【详解】由题得A2,1,B1,1，

所以OAgOB2,1g1,12´11´11.

故答案为：1.

2

7-2．（24-25高一下·上海·单元测试）设z1为关于x的方程xmxn0m,nR的虚根，i为虚数单位．

(1)当复数z1i时，求m，n的值；

(2)若n1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数24i所对应的点为Q，试求PQ的取值范围．

【答案】(1)m0，n1

(2)4,6

【分析】（1）由题意可知：方程x2mxn0的两根分别为：i,i，结合韦达定理分析求解；

2

（2）设zabia,bR，利用韦达定理可得a1b21，设a1cos，bsin，0,2π，根

据两点间距离公式结合三角函数的最值分析求解.

【详解】（1）当z1i时，则z1i，

可得方程x2mxn0的两根分别为：i,i，

ïìiim

则í，解得m0，n1.

îïiin

（2）当n1时，方程为x2mx10，

设zabia,bR，则z1a1bi，z1a1bi，

可得a1bi，a1bi为方程x2mx10的两根，

2

则a1bia1bia1b21，

设a1cos，bsin，0,2π，