2026高二数学暑假提升讲义（沪教）预习专题01 平面及其基本性质(解析版)

预习专题01平面及其基本性质

知识点01平面的概念

生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．

几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，

一个平面可以将空间分成两部分．

下列说法正确的是()

A．平行四边形是一个平面

B．任何一个平面图形都是一个平面

C．平静的太平洋面就是一个平面

D．一个平面可以将空间分成两部分

答案D

解析A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上

四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；

B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；

C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面；

D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分．

知识点02平面的画法

在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面．

（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；

当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也

可以不画．如图（1）表示平面b在平面a的上面，图（2）表示平面a在平面b的前面．

（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（）

A．直线在平面内B．平面与平面相交C．直线与平面相交D．两直线异面

【答案】D

【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可.

【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；

平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误；

直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；

两直线异面满足作图规范.

故选：D

知识点03平面的表示

为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面

β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点

的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．

（23-24高二上·上海长宁·期末）“平面a经过直线AB”用集合符号语言可表示为．

【答案】ABÌa

【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果.

【详解】由题意可知：直线AB在平面a内，

所以符号语言为：ABÌa，

故答案为：ABÌa.

知识点04点、直线、平面之间位置关系

如图所示，用符号语言可表达为()

A．abm，nÌa，mnAB．abm，nÎa，mnA

C．abm，nÌa，AÌm，AÌnD．abm，nÎa，AÎm，AÎn

【答案】A

【解析】解：如图所示，两个平面a与b相交于直线m，直线n在平面a内，直线m和直线n相交于点A，

故用符号语言可表达为abm，nÌa，mnA，

故选：A．

知识点05公理１

如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上．

符号表示：AÎl，BÎl，且AÎα，BÎαlα．如图所示：

⇒⊂

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．

可以用集合语言将“公理1：如果直线l上有两个点在平面a上，那么直线l在平面a上．

”表述为()

A．AÌl，BÌl且AÌa，BÌa，则lÌa

B．若AÎl，BÎl且AÎa，BÎa，则lÎa

C．若AÎl，BÎl且AÎa，BÎa，则lÌa

D．若AÎl，BÎl且AÌa，BÌa，则lÎa

【答案】C

【解析】解：在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合，

根据元素属于集合，子集包含于全集可得：

公理1：如果直线l上有两个点在平面a上，那么直线l在平面a上，用集合语言应表示为：

a

若AÎl，BÎl且AÎa，BÎa，则lÜ，

故选：C．

知识点06公理２

不在同一直线上的三点确定一个平面

符号表示：A，B，C三点不共线有且只有一个平面α，使AÎα，BÎα，CÎα．如图所示：

⇒

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．

下列命题正确的是()

A．三点确定一个平面

B．一条直线和一个点确定一个平面

C．梯形可确定一个平面

D．圆心和圆上两点确定一个平面

【答案】C

【解析】解：对于选项A：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误．

对于选项B：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误．

对于选项C：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正

确．

对于选项D：当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误．

故选：C．

知识点07三个推论

（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

符号语言：若点AÏ直线a，则A和a确定一个平面a．如图所示：

（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

符号语言：abP有且只有一个平面a，使aÌa，bÌa．如图所示：

⇒

（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

符号语言：a∥b有且只有一个平面a，使aÌa，bÌa．如图所示：

⇒

下列命题错误的是()

A．直线及直线外一点，确定一个平面

B．两条平行直线，确定一个平面

C．两条相交直线，确定一个平面

D．三条相交直线两两相交，确定一个平面

【答案】D

【解析】解：由公理二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确；

由公理三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确；由公理三知两条相交直线，确定一个平面，故C正

确；

三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误．故选：D．

知识点08公理３

如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

符号表示：PÎα，且PÎβα∩β＝l，且PÎl．如图所示：

⇒

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．

对三个公理的理解

（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．

（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，

但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上

的三点”是确定一个平面的条件．

（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．

如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、

ABCD-A1B1C1D1EFB1C1CC1A1ED1C1

、DF三线共点．

【解析】证明：连结EF、B1C、A1D，由题可知A1D//B1C，

11

EFBCEFAD

\1\1

QE、F分别是B1C1、C1C的中点，EF//B1C，且2，EF//A1D，且2，

\AEDFPÎÌ

A1DFE为梯形．则可令1．由PA1E面A1B1C1D1，PÎDFÌ面D1DCC1，

\Î\

PD1C1面A1B1C1D1Ç面D1DCC1，A1E、D1C1、DF共点于P．

知识点09空间图形的平面直观图的画法

我们知道，立体几何的研究对象是空间图形．要将空间图形在一个平面上体现出来，就需要在平面

内画出具有立体感的空间图形的直观图．

为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采

用斜二测画法画空间图形的直观图．

下面，我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤．

下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有()

①三角形的直观图是三角形．②平行四边形的直观图是平行四边形．

③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形．

A．①B．①②C．③④D．①②③④

【答案】B

【解析】解：由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以①正确；

根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以②正确；

根据x¢O¢y¢两轴的夹角为45°或135°知，菱形的直观图不再是菱形，所以③错误；

根据平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，所以④错误．

故选：B．

题型一、平面的概念及其表示

例1（24-25高二上·上海·期末）用数学符号表示“直线a在平面b上”为．

【答案】aÌb

【分析】由线面关系的符号表示即可得解.

【详解】“直线a在平面b上”的符号表示为aÌb.

故答案为：aÌb

1-1（24-25高二上·上海杨浦·期末）“平面a与b相交于直线l”用符号语言可以表述为.

【答案】abl

【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.

【详解】平面a与b相交于直线l，即abl.

故答案为：abl

1-2（24-25高二上·上海·期中）用集合语言表述“直线a和直线b相交于点A”：．

【答案】AÎa且AÎb

【分析】根据点与直线的位置关系的符号表示可得结论.

【详解】由点与直线的位置关系可得“直线a和直线b相交于点A”可表述为AÎa且AÎb；

故答案为：AÎa且AÎb

1-3（24-25高二上·上海·期中）“一个点和一条直线确定一个平面”是命题.（填“真”、“假”）

【答案】假

【分析】根据平面的基本性质即得.

【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题.

故答案为：假.

题型二、空间位置关系的画法

例2（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（）

A．直线在平面内B．平面与平面相交C．直线与平面相交D．两直线异面

【答案】D

【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可.

【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；

平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误；

直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；

两直线异面满足作图规范.

故选：D

2-1（23-24高二·上海·课堂例题）用硬纸板作为平面的模型，摆出三个平面两两相交各种不同的情况．

【答案】详见解析

【分析】直接画图即可.

【详解】有如下三种情况：

2-2（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出A1B与A、B1、C所确定的平面

的交点，并说明理由．

【答案】答案见解析.

【分析】运用线面相交位置关系，得到交点只有一个画出即可

【详解】如图所示.连接A1B，再连接A、B1、C，确定平面AB1C．最后连接AB1，其与A1B交点为O，O即

为A1B与A、B1、C所确定的平面的交点.

证明：由于A1B与平面AB1C相交，则交点只能一个.OÎA1B,OÎAB1,AB1Ì平面AB1C，

则OÎ平面AB1C.则O即为A1B与A、B1、C所确定的平面的交点.

题型三、平面分空间的区域数量

例3（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成部分.

【答案】4

【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多

可分成几部分.

【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，

可将空间分成四部分.

故答案为：4.

3-1（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成部分．

【答案】15

【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果．

【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，

再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥，

如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分，

故答案为：15．

3-2（23-24高一下·上海·期末）已知平面a与平面b将空间分成3部分，若空间中还有一个平面g，那么a,b,g

这三个平面可以将空间分成．部分．

【答案】6或4

【分析】由题意可得a//b，再分a,b分别与g相交时，a//g,b//g时两种情况讨论即可.

【详解】因为平面a与平面b将空间分成3部分，

所以a//b，

当a,b分别与g相交时，a,b,g这三个平面可以将空间分成6部分；

当a//g,b//g时，a,b,g这三个平面可以将空间分成4部分，

综上所述a,b,g这三个平面可以将空间分成6或4部分.

故答案为：6或4.

题型四、平面的基本性质及辨析

例4（24-25高一下·上海·期中）已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一

个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（）个

A．0B．1C．2D．3

【答案】D

【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断.

【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误；

一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错

误；

两条异面直线不能确定一个平面，故③错误.

故选：D.

4-1（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用

到了（）

A．三点确定一个平面B．不在同一直线上的三点确定一个平面

C．两条相交直线确定一个平面D．两条平行直线确定一个平面

【答案】B

【分析】根据平面基本事实可得正确的选项.

【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线，

它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了，

故选：B.

4-2（24-25高二上·上海松江·期中）空间三点最多可确定条直线.

【答案】3

【分析】根据三点的位置情况分类确定即可得解.

【详解】当空间三点共线时，三点可以确定1条直线；当三点不共线时，三点可以确定3条直线，

所以空间三点最多可确定3条直线.

故答案为：3

4-3（24-25高二上·上海静安·阶段练习）若三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有条.

【答案】一或三

【分析】首先，对平面内的三个平面的放置情形进行分类，然后，确定它们的交线的条数.

【详解】如下图所示：

三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有一或三条，

故答案为：一或三

题型五、点（线）确定的平面数量问题

例5（24-25高二上·上海·阶段练习）空间中不共线的4个点最多能确定个平面.

【答案】4

【分析】空间中四点不共面时，确定的平面最多

【详解】当四个点构成四面体（三棱锥）时，确定的面数最多，共4个面．

故答案为：4

5-1（24-25高二·上海·课堂例题）空间任意五点最多可确定个平面．

【答案】10

【分析】要使平面最多，则任意三点不能共线，再根据任意三个不共线的点确定一个平面即可得解.

【详解】要使平面最多，则任意三点不能共线，设这五个点分别为A,B,C,D,E，

任取三个点有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCD,BDE,CDE共10种，

又任意三个不共线的点确定一个平面，

所以空间任意五点最多可确定10个平面.

故答案为：10.

5-2（25-26高二上·上海·单元测试）A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、

E五点，最多可确定个平面.

【答案】5

【分析】由基本事实1及平面性质即可确定平面的个数.

【详解】由基本事实1可知不共线三点确定唯一平面，

故由题意，A、B、C、D、E五点可形成平面ADE，平面BDE，平面CDE，平面ACD，

平面ACE，共5个平面.

故答案为：5

5-3（24-25高二·上海·课堂例题）从同一点出发的四条射线能确定n个平面，则n所有可能的取值是．

【答案】1，3，4，6

【分析】按共点的4条射线共面情况，分类讨论即可得解.

【详解】4条射线在空间的位置关系有：任何3条都不共面，仅有3条共面，有2条射线反向共线，4条共

面，共三种情况，

当4条射线中任何3条都不共面时，如四棱锥的四条侧棱，可以确定6个平面；

当4条射线中仅只3条共面时，可以确定4个平面；

当4条射线中有2条射线反向共线时，可以确定3个平面；

当4条射线共面时，可以确定1个平面，

所以n所有可能的取值是1，3，4，6.

故答案为：1，3，4，6

题型六、空间中的点（线）共面问题

例6（24-25高二上·上海·期中）下列命题

（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；

（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；

（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；

（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；

其中真命题的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解.

【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误，

对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确，

对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误，

对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；

假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外

，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确

故选：B

6-1（24-25高二上·上海·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1与A1D1的中点，求证：E、

F、B、D四点共面

【答案】证明见解析

∥

【分析】可得BDB1D1，EF∥B1D1，所以可得EF∥BD，即可求证.

【详解】

连接EF,BD,B1D1，

因为BB1//DD1,BB1DD1，可知BB1D1D为平行四边形，

∥

则BDB1D1，

因为E、F分别为A1B1与A1D1的中点，由中位线可知EF∥B1D1，

所以EF∥BD，

所以E、F、B、D四点共面.

6-2（23-24高二·上海·课堂例题）如何用绳子检查桌椅的四个脚是否立于同一平面上？给出方案并说明理由．

【答案】答案见解析

【分析】利用两条相交直线共面的依据判断即可．

【详解】①首先准备两根长度超过长方形对角线的两根细绳，足够长；

②分别将两根细绳绷紧，按在四个桌子的顶端作为对角线；

③如果两条细绳不相交，说明四条桌腿儿不共面，则桌子不平稳，

如果两条细绳是相交的，再将一根细绳放松，然后从另一条绷紧细绳的下方穿过，

再将放松的细绳绷紧，如果两条两条细绳仍然相交，说明四条桌腿儿是共面的，桌子是平稳的．

题型七、空间中的点共线问题

例7（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知O是DB的中点，且直

线AC1交平面C1BD于点M，点C1,M,O的位置关系是．

【答案】共线

【分析】根据图示可得三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，则可得答案.

【详解】OÎBD，BDÌ平面C1BD，OÎ平面C1BD，

O为BD∵中点，O为AC中点，∴

∵∴

OÎAC，ACÌ平面ACC1A1，OÎ平面ACC1A1.

∴∴

O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点；

∴

同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，

三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，

∴

即C1，M，O三点共线.

7-1（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分

别在BC、CD上，且BG:GCDH:HC1:2．

(1)求证：E、F、G、H四点共面；

(2)设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线．

【答案】(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可；

（2）根据平面的基本事实进行证明即可.

【详解】（1）因为E、F分别是AB、AD的中点，

所以EF//BD，

又因为G、H分别在BC、CD上，且BG:GCDH:HC1:2．

所以GH//BD，于是有EF//GH，

所以E、F、G、H四点共面；

（2）EG与HF交于点P，PÎEG，EG平面ABC，

PÎ平面∵ABC，∴⊂

∴同理PÎ平面DAC.

又平面ABC平面DACAC，

P∵ÎAC，P、A、C三点共线．

∴7-2（19-20∴高一下·全国·课后作业）如图所示，ABÇaP，CDÇaP，A，D与B，C分别在平面a

的两侧，ACÇaQ，BDÇaR．求证：P，Q，R三点共线.

【答案】证明见解析

【分析】推导出P、Q、R是平面a与平面ACBD的公共点，由此能证明P，Q，R三点共线．

【详解】证明：QABÇaP，CDÇaP，A，D与B，C分别在平面a的两侧，

\ABÇCDP，\A、C、B、D构成一个平面，

QACÇaQ，BDÇaR．ABÇaP，CDÇaP，

\P、Q、R是平面a与平面ACBD的公共点，

\P、Q、R都在平面a与平面ACBD的交线上，

\P，Q，R三点共线．

题型八、空间中的线共点问题

例8（23-24高二·上海·课堂例题）如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、

BC、CC1、C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．求证：点Q在直线DC上．

【答案】证明见解析

【分析】通过证明Q在平面ABCD与平面CDD1C1的交线上，来证得Q在直线DC上.

【详解】平面ABCD平面CDD1C1DC，

由于QÎEFÌ平面ABCD，QÎHGÌ平面CDD1C1，

所以QÎDC，也即点Q在直线DC上.

8-1（2020高一·全国·专题练习）如图，已知平面a,b，且abl，设在梯形ABCD中，AD∕∕BC，且

ABÌa,CDÌb.求证：AB,CD,l共点．

【答案】证明见解析

【分析】设AB交CD于点M，再根据若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线，即可得证.

【详解】如图，梯形ABCD中，因为AD∕∕BC，

所以AB与CD必交于一点，

设AB交CD于点M，则MÎAB,MÎCD，

又因为ABÌa,CDÌb，

所以MÎa,MÎb，

又因为abl，所以MÎl，

所以AB,CD,l共点．

8-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别是A1B1、B1C1的中

点．求证：

(1)直线AM和CN在同一平面上；

(2)直线AM、BB1和CN交于一点．

【答案】(1)证明见详解；

(2)证明见详解.

【分析】（1）连结MN,AC11,AC，根据点M,N分别是A1B1,B1C1的中点，利用平行关系的传递性得到MNAC

即可;∥

（2）易得AM与CN相交，设交点为P，则能得到PÎ平面ABB1A1，PÎ平面BCC1B1，结合平面ABB1A1

平面BCC1B1BB1，即可得证；

【详解】（1）如图，连结MN,AC11,AC.

点M,N分别是A1B1,B1C1的中点，MN//AC11.

∵∴

四边形A1ACC1为平行四边形，AC11//AC，

∵MN//AC，∴

∴A,M,N,C四点共面，即AM和CN共面．

∴

（2）证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中，

点M,N分别是A1B1,B1C1的中点，MN//AC11且MN¹AC11

∵∴

四边形A1ACC1为平行四边形，AC11//AC，且AC11AC

∵MNAC且MN¹AC∴

∴AM∥与CN相交，设交点为P，

∴

PÎAM，AMÌ平面ABB1A1，PÎ平面ABB1A1；

∵∴

又PÎCN，CNÌ平面BCC1B1，PÎ平面BCC1B1，

∵∴

平面ABB1A1平面BCC1B1BB1，PÎBB1，

∵∴

、、

AMBB1CN三线交于点P.

∴

题型九、由平面的基本性质作截面图形

例9（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥A-BCD中，棱AB的中点为E，棱AC的中点为F，

棱BD的中点为G，经过E、F、G的截面一定是（）

A．三角形B．矩形C．梯形D．平行四边形

【答案】D

【分析】作出辅助线，得到//GP,EG//FPEF，所以四边形EFPG为平行四边形，求出经过E、F、G的

截面为平行四边形EFPG.

【详解】取CD的中点P，连接PF,PG,EF,EG，

因为棱AB的中点为E，棱AC的中点为F，棱BD的中点为G，

所以//BC,GP//BCEF，//AD,FP//ADEG，

故//GP,EG//FPEF，

所以四边形EFPG为平行四边形，

故经过E、F、G的截面为平行四边形EFPG.

故选：D

9-1（24-25高二上·上海·期中）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是

（填上所有满足条件的几何体的序号）

①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台

【答案】①②④

【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断.

【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示：

②正方体的截面可以是五边形，如下图所示：

③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形；

④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示：

圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形，

故答案为：①②④.

9-2（24-25高二上·上海·期中）如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，

CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q.

(1)求证：点Q在直线DC上；

(2)作出过A、G、D1三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）

【答案】(1)证明见详解

(2)图形见详解

【分析】（1）通过证明Q在平面ABCD与平面CDD1C1的交线上,来证得Q在直线DC上.

（2）取BC的中点P，连接AP,PG,D1G，易证AD1//PG，则APGD1即为所求截面.

【详解】（1）平面ABCDÇ平面CDD1C1DC,

由于QÎEF,EFÌ平面ABCD,

所以QÎ平面ABCD,

同理QÎHG,HGÌ平面CDD1C1,

所以QÎ平面CDD1C1，

所以QÎDC,即点Q在直线DC上.

（2）如图所示，取BC的中点P，连接AP,PG,D1G，

因为GP//BC1，BC1//AD1，

所以GP//AD1，故A,D1,G,P共面.

则APGD1即为所求截面.

题型十、斜二测

例10（24-25高一下·上海·阶段练习）用斜二测画法画三角形OAB的直观图O¢A¢B¢，如图所示，已知

O¢A^A¢B¢，O¢A¢2，则OB（）

A．2B．2C．22D．4

【答案】D

【分析】由题意，借助于等腰直角三角形O¢A¢B¢，求得O¢B¢，再根据OB在y轴上即可求得其长.

【详解】在斜坐标系x¢O¢y¢中，因O¢A¢^A¢B¢，O¢A¢2，且ÐB¢O¢A¢45o，

则O¢B¢2+22，

因O¢B¢在y¢轴上，故OB在y轴上，且OB2O¢B¢4.

故选：D.

10-1（24-25高二上·上海·阶段练习）在VABC中，A为直角，AC3,BC4，若用“斜二侧”画法作出其直

观图，则其直观图的面积为.

【答案】314

8

【分析】根据题意A90°，同时求出|A¢B¢|、|A¢C¢|的长，由此可得VA¢B¢C¢的面积．

【详解】

根据题意，VABC中，A90°，AC3,BC4，AB42-327，

7

在直观图VA¢B¢C¢中，A¢B¢,A¢C¢3，

2

1172314

故VA¢B¢C¢的面积S|A¢B¢|´|A¢C¢|sin45°´´3´．

22228

故答案为：314．

8

10-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，矩形O¢A¢B¢C¢是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的

直观图，其中O¢A¢3，O¢C¢1，则原图形面积是.

【答案】62

【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到面积.

【详解】

如图1，设O¢y¢与B¢C¢交点为D¢，

因为O¢C¢1，ÐC¢O¢y¢45°，所以O¢D¢2，C¢D¢1.

YOABC的平面图如图2所示：

则OD2O¢D¢22，

.

SYOABCOA´OD3´2262

故答案为：62.

10-3（24-25高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形

O¢A¢B¢C¢，其中O¢A¢//B¢C¢，ÐO¢A¢B¢90°，O¢A¢2B¢C¢4，A¢B¢2，则平面图形OABC的面积为．

【答案】122

【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可.

【详解】

由题意，在直角梯形O¢A¢B¢C¢中，O¢C¢22+2222，则OC2O¢C¢42，

1

故直角梯形OABC的面积为´42´2+4122，

2

故答案为：122．

10-4（24-25高二上·上海·期末）已知VABC的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形△A1B1C1，

π

ÐB，那么VABC的面积为．

12

【答案】2

【分析】方法一：先求出VABC的直观图的面积，再代入S平面图22S直观图即得；

方法二：根据VABC的直观图作出VABC的平面图，再求其面积即可.

11

【详解】方法一：由图知VABC的直观图的面积为：S直观图´1´1，

22

则VABC的面积为：S平面图22S直观图2.

方法二：根据VABC的直观图作出VABC的平面图为：

其中：ACAC112,AB2A1B12，且AB^AC，

1

则S△´2´22.

ABC2

故答案为：2.

10-5（24-25高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形ABC用斜二测画法得到的水平直观图三角形A1B1C1，

其中A1B1//y¢轴，B1C1//x¢轴，若三角形A1B1C1的面积是6．则三角形ABC的面积是．

【答案】122

2

【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形A1B1C1的面积是6求结论.

4

【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为2，

4

SABC2

所以V111，又S6，

VA1B1C1

SVABC4

6

SABC122

所以V2.

4

故三角形ABC的面积是122．

故答案为：122.

1.（24-25高二上·上海金山·期末）若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是

（）.

A．AÌlB．AÍl

C．AÎlD．AÏl

【答案】D

【分析】由平面的基本定理判断即可.

【详解】由直线和直线外的一点确定一个平面，可得D正确，

故选：D.

2．（24-25高二·上海·课堂例题）三条直线两两平行可以确定个平面．

【答案】1或3

【分析】需要注意三条平行线的位置关系，若这三条直线在同一个平面上，则可以确定一个平面，若这三

条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面，得到结果．

【详解】解：三条直线两两平行，

若这三条直线在同一个平面上，则可以确定1个平面，

若这三条直线像三棱柱的三条侧棱，则可以确定3个平面，

综上所述可以确定一个或三个平面，

故答案为：1或3．

3．（24-25高二上·上海·期中）若平行四边形A¢B¢C¢D¢是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的

直观图.已知A¢B¢4,ÐD¢A¢B¢45o，平行四边形A¢B¢C¢D¢的面积为8，则原平面图形ABCD中AD的长度

为.

【答案】42

【分析】由平行四边形的面积求出A¢D¢22，再结合斜二测画法分析可得结果.

【详解】

如图，过点D¢作D¢E^A¢B¢于点E，则△A¢ED¢为等腰直角三角形，

由平行四边形A¢B¢C¢D¢的面积为8得A¢B¢×D¢E8，

A¢B¢4，D¢E2，A¢D¢22，

∵原平面图形∴ABCD中，∴ÐDAB90°，AD2A¢D¢42.

∴故答案为：42.

4．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，VABC在平面a外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面a

于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．

【答案】证明见解析

【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面a的交线上，即可得结果.

【详解】由ABÇaP，可知点PÎAB，

且ABÌ平面ABC，可知点PÎ平面ABC，又PÎa，

所以点P在平面ABC与平面a的交线上，

同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面a的交线上，

所以P，Q，R三点共线．

5．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别是C1D1、AD的中

点，P在CC1上且满足CP2PC1，过M、N、P三点作正方体的截面．

【答案】答案见解析

【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解.

【详解】如图，

连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交DD1的延长线于F，连接

NF交A1D1于H，连接MH，

则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面．

1．（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD-A1B1C1D1时，为了

经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1上过点P画直线l，则l与

直线AA1的位置关系是（）.

A．平行B．相交

C．异面D．重合

【答案】B

【分析】延长A1A、B1B交于点M，则C1C、D1D的延长线也过点M，则直线PM即为所求作的直线l，由

此可得出结论.

【详解】在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A、B1B、C1C、D1D的延长线交于一点，令此点为M，

由MÎAA1，AA1Ì平面