13.2.2 三角形的中线、角平分线、高知识点梳理讲义（暑假预习）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

13.2.2三角形的中线、角平分线、高知识点梳理讲义（暑假预习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

暑期自主预习专用·适用对象：八年级学生·预计学习时间：60分钟一、本节预习导航【与小学知识的联系】小学阶段我们画过三角形的「高」，知道从顶点向对边作垂线可以得到三角形的高。初中阶段我们要系统学习三种特殊线段：中线、角平分线、高，它们都有严格的定义、画法、符号表示和性质，并且三条中线会交于一点（重心），这是后续学习全等、相似和面积的重要基础。【本节核心内容】①三角形的中线（定义、画法、性质：中线把三角形分成面积相等的两部分，三条中线交于重心）；②三角形的角平分线（定义、画法、与角平分线的联系和区别）；③三角形的高（定义、画法、三种三角形高的位置差异）；④三条中线的交点——重心及其初步性质。【所需图形类型】中线图1张、角平分线图1张、高线图1张、三条中线与重心图1张、锐角/直角/钝角三角形高的位置对比图1张。【小升初术语衔接】小学画高常用直尺「竖着量」；初中定义三角形的高为：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。注意关键词「对边所在直线」，因为钝角三角形有两条高落在三角形外部，必须延长对边才能画出。【数学思想渗透】对应思想（顶点、对边、垂足、中点之间的对应）、分类讨论思想（锐角、直角、钝角三角形高的位置不同）、从特殊到一般思想（由一条中线到三条中线交于一点）、数形结合思想（用图形理解中线分面积相等）。这些思想方法将在后续的全等、相似学习中继续发挥作用。二、各小节知识清单（一）三角形的中线🎯第一步：预习目标✔能准确说出三角形中线的定义，并能在图中标出中线。✔知道三角形的中线把对边平分，且把三角形分成面积相等的两个小三角形。✔了解三角形三条中线交于一点，这个点叫做重心。📌第二步：知识清单📌知识点1：中线的定义。连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。如图，在△ABC中，若M是BC的中点，则线段AM是BC边上的中线。每个三角形都有三条中线，分别对应三条边。📌知识点2：中线的画法。第一步找到某边的中点（可用刻度尺量出边长的一半，或用尺规作垂直平分线找中点）；第二步用线段连接该边所对的顶点与中点。注意中线是「线段」，有明确的两个端点：顶点和对边中点。📌知识点3：中线的面积性质。三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形。原因是两个小三角形同高（以A到BC的垂线段为高），且底边BM=MC，所以面积相等。这个性质在面积比、等积变形问题中非常有用，也常用于证明线段相等或面积相等。图1AM是△ABC中BC边上的中线，M为BC中点，BM=MC。⚠第三步：特别提醒⚠中线是「线段」，不是直线或射线；它的一个端点是顶点，另一个端点必须在对边上。⚠中线分成的两个小三角形面积相等，但形状不一定相同（除非原三角形是等腰三角形且该中线也是对称轴）。✏️第五步：典型例题【例题1】（基础·★☆☆）在△ABC中，AD是BC边上的中线，BD=4cm，求BC的长。【解】因为AD是中线，所以D是BC的中点，BD=DC=4cm，BC=BD+DC=8cm。【答案】8cm。【例题2】（中档·★★☆）如图，AD是△ABC的中线，△ABD的面积为12，求△ABC的面积。【解】中线把三角形分成面积相等的两部分，所以S△ABD=S△ACD=12，S△ABC=12+12=24。【答案】24。📝第六步：随堂小测1.三角形一条中线把对边分成两条______的线段。2.AD是△ABC的中线，若BC=10，则BD=______。3.三角形的中线把三角形分成面积______的两部分。（二）三角形的角平分线🎯第一步：预习目标✔能区分「角的平分线」和「三角形的角平分线」。✔会用尺规作三角形一个内角的平分线，并标出它与对边的交点。✔知道三角形的角平分线是一条线段，端点为顶点和对边上的点。📌第二步：知识清单📌知识点4：角平分线的定义。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。注意：它是线段，不是射线，也不是直线。📌知识点5：与「角的平分线」的区别。「角的平分线」是从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，可以向一边无限延伸；「三角形的角平分线」是角的平分线与对边相交后，顶点到交点之间的线段，长度有限。📌知识点6：角平分线的画法。用尺规作一个角的平分线：以角的顶点为圆心画弧，交角的两边于两点；再分别以这两点为圆心、大于一半的距离为半径画弧，两弧交于一点；连接角的顶点与该交点，并延长到对边，即为三角形的角平分线。作图时要保留弧痕，便于检查和说理。图2AD是△ABC中∠BAC的角平分线，∠BAD=∠CAD。⚠第三步：特别提醒⚠三角形的角平分线一定在三角形内部，因为它只平分一个内角，且止于对边。⚠不要混淆「角平分线」与「中线」：中线平分的是边，角平分线平分的是角。🔍第四步：易错点剖析❌错例：把「AD平分∠BAC」说成「AD是△ABC的中线」。错因：平分角的是角平分线，平分边的是中线，两者定义不同，不能混用。✅规避：看清题中条件说的是「平分角」还是「平分边」，再选择对应概念。✏️第五步：典型例题【例题3】（基础·★☆☆）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=70°，求∠BAD的度数。【解】AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠BAC/2=70°/2=35°。【答案】35°。📝第六步：随堂小测1.三角形的角平分线是一条______（填「直线」「射线」或「线段」）。2.若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD______∠CAD（填「=」「>」或「<」）。3.三角形的三条角平分线都在三角形______（填「内部」「外部」或「边上」）。（三）三角形的高🎯第一步：预习目标✔能准确画出任意三角形某条边上的高。✔知道锐角、直角、钝角三角形三条高的位置差异。✔理解「对边所在直线」的含义，会延长对边画高。📌第二步：知识清单📌知识点7：高的定义。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。📌知识点8：三种三角形高的位置。锐角三角形：三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内部一点。直角三角形：两条高就是两条直角边，第三条高在三角形内部。钝角三角形：夹钝角的两条边上的高落在三角形外部，需要延长对边才能画出；钝角所对边上的高在三角形内部。📌知识点9：高的画法要点。一落：把三角板的一条直角边落在对边所在直线上；二移：移动三角板，使另一条直角边经过顶点；三画：沿这条直角边画线段，并标出垂足。钝角三角形的高要特别注意垂足可能在边的延长线上。图3AD是△ABC中BC边上的高，AD⊥BC，垂足为D。图4锐角、直角、钝角三角形的高所在位置对比。⚠第三步：特别提醒⚠钝角三角形有两条高在三角形外部，初学者常漏画或画错方向。⚠直角三角形中，两条直角边互为对方的高，不要再从直角顶点向斜边作一条「新的高」时混淆。🔍第四步：易错点剖析❌错例：钝角三角形ABC中，∠B为钝角，画AB边上的高时，把垂足画在AB边上。错因：∠B为钝角时，从C向AB边所在直线作垂线，垂足落在AB的延长线上，而不是线段AB上。✅规避：先判断三角形类型，再决定是否需要延长对边，最后画垂线。✏️第五步：典型例题【例题4】（基础·★☆☆）画出钝角三角形一条钝角邻边上的高。【解】先延长这条边所在的直线，再从对角顶点向这条延长线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是所求的高。【答案】略（作图题）。📝第六步：随堂小测1.三角形的高是从顶点向对边所在直线作的______。2.直角三角形两条直角边互为对方的______。3.钝角三角形有______条高在三角形外部。（四）三条中线与重心🎯第一步：预习目标✔知道三角形三条中线交于一点，这个点叫做重心。✔初步了解重心把每条中线分成2:1的两段。✔能结合中线性质解决简单的面积、重心问题。📌第二步：知识清单📌知识点10：重心的定义。三角形三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心是三角形质量分布的中心，对于均匀的三角形薄板来说，重心就是它的物理平衡点。📌知识点11：重心分中线的比。三角形的重心把每条中线分成2:1的两段，其中顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的2倍。即若G为重心，M为BC中点，则AG:GM=2:1。图5三角形三条中线交于重心G，且AG:GM=2:1。⚠第三步：特别提醒⚠重心一定在三角形内部，无论三角形是锐角、直角还是钝角。⚠重心是三条中线的交点，不是三条高、三条角平分线的交点（后两者也有各自的交点，名称不同）。✏️第五步：典型例题【例题5】（中档·★★☆）在△ABC中，中线AD、BE交于点G，若AG=4，求GD的长。【解】G是重心，重心分中线AD为AG:GD=2:1，所以GD=AG/2=4/2=2。【答案】2。📝第六步：随堂小测1.三角形三条中线交于一点，这个点叫做______。2.重心把每条中线分成______的两段。3.若重心G到顶点A的距离为6，则G到BC中点的距离为______。（五）三种特殊线段的比较🎯第一步：预习目标✔能列表比较中线、角平分线、高的定义和性质。✔会根据题目条件判断所指的是哪种特殊线段。特殊线段定义端点位置特点主要性质中线连接顶点与对边中点的线段顶点、对边中点都在三角形内部分三角形为面积相等的两部分；三条中线交于重心角平分线内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段顶点、对边上一点都在三角形内部平分内角；三条角平分线交于一点（内心）高从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段顶点、垂足锐角三角形在内部；直角三角形两条为直角边；钝角三角形两条在外部与对边（所在直线）垂直✏️第五步：典型例题【例题6】（中档·★★☆）下列说法正确的是（）。A.三角形的高一定在三角形内部B.三角形的角平分线是射线C.中线把三角形分成面积相等的两部分D.钝角三角形只有一条高【解】A错，钝角三角形有两条高在外部；B错，三角形的角平分线是线段；C对，这是中线的面积性质；D错，钝角三角形有三条高。故选C。【答案】C。（六）特殊线段的综合应用🎯第一步：预习目标✔能结合中线、角平分线、高的性质解决综合问题。✔会根据图形中的特殊线段求角度、线段长度或面积。📌第二步：知识清单📌知识点13：高与面积的联系。三角形的面积等于底乘高的一半。已知底和面积可求高，已知高和面积可求底。当三角形中出现高线时，常与面积公式、勾股定理（后续学习）结合使用。📌知识点14：中线与周长、面积的联系。中线把对边平分，因此涉及中线的问题常把周长分成两部分；中线又分面积为相等的两部分，因此涉及面积比的问题可考虑中线的分割作用。✏️第五步：典型例题【例题7】（中档·★★☆）在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=35°，∠C=55°，求∠BAD的度数。【解】因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°。在Rt△ABD中，∠BAD=90°−∠B=90°−35°=55°。【答案】55°。【例题8】（拓展·★★★）在△ABC中，AD是中线，AB=8，AC=6，求△ABD与△ACD的周长之差。【解】因为AD是中线，所以BD=CD。△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD。两式相减得(AB+BD+AD)−(AC+CD+AD)=AB−AC=8−6=2。【答案】2。📝第六步：随堂小测1.在△ABC中，AD是高，若∠B=40°，则∠BAD=______。2.AD是△ABC的中线，AB=10，AC=7，则△ABD与△ACD的周长差为______。三、本节思维导图（中心：13.2.2三角形的中线、角平分线、高）├─中线：顶点↔对边中点；分面积相等；三条中线交于重心├─角平分线：平分内角；顶点到对边交点的线段；三条交于内心├─高：顶点向对边所在直线作垂线；锐内直边钝外└─重心：三中线交点；分中线为2:1四、本节核心概念速查卡🔑中线：连接顶点与对边中点的线段，把三角形分成面积相等的两部分。🔑角平分线：内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，平分该内角。🔑高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。🔑重心：三条中线的交点，在三角形内部，分每条中线为2:1。🔑锐角三角形的高：三条高都在三角形内部。🔑直角三角形的高：两条直角边互为对方的高，斜边上的高在内部。🔑钝角三角形的高：夹钝角的两条边上的高在外部，钝角对边上的高在内部。🔑线段与射线区别：三角形的角平分线和高都是线段；角的平分线是射线。🔑面积性质：中线分成的两个小三角形等底同高，面积相等。🔑作图步骤：中线找中点再连线；角平分线用尺规作角平分线；高用三角板一落二移三画。记忆口诀：中线连到中点分面积，角平分线分角又穿边；高看垂足落何处，锐内直边钝外悬；三中线交重心在，二比一段记心间。五、本节易错点汇总1.【概念混淆】把中线、角平分线、高混为一谈，特别是把「角平分线」说成「中线」。2.【高画错位置】钝角三角形的高画在边的内部，没有延长对边所在直线。3.【线段与射线混淆】认为三角形的角平分线是射线，忘记它止于对边。4.【直角三角形高】没有认识到两条直角边本身就是高，导致重复作图。5.【重心比记反】重心分中线为2:1，容易把「顶点到重心」与「重心到中点」的比记反。6.【面积性质误用】把中线分面积相等推广到高或角平分线也分面积相等。六、本节分层自测卷（共10题）A层·基础巩固（5题）1.从三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的______。2.连接三角形顶点与对边中点的线段叫做三角形的______。3.三角形的角平分线是一条______（填「线段」「射线」或「直线」）。4.直角三角形两条直角边互为对方的______。5.钝角三角形有______条高在三角形外部。B层·能力提升（3题）6.在△ABC中，AD是中线，若S△ABD=8，则S△ABC=______。7.AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，则∠BAD=______。8.三角形重心G在中线AD上，AG=6，则GD=______。C层·拓展挑战（2题）9.画出钝角三角形ABC（∠B为钝角）中AB边上的高，并说明垂足位置。10.说理：为什么三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分？七、参考答案与解析【随堂小测】（一）1.相等；2.5；3.相等。（二）1.线段；2.=；3.内部。（三）1.垂线段；2.高；3.2。（四）1.重心；2.2:1；3.3。【分层自测卷】A：1.高；2.中线；3.线段；4.高；5.2。B：6.16；7.30°；8.3。C：9.延长AB，从C向AB的延长线作垂线，垂足在AB的延长线上。10.两个小三角形同高（从同一顶点向对边作垂线），且底边相等（中线平分对边），所以面积相等。八、本节学习资源与延伸📚数学文化·三角形的「心」三角形除了重心（三条中线交点）之外，还有内心（三条角平分线交点）、外心（三条垂直平分线交点）、垂心（三条高交点）。这些「心」在古希腊几何学中就被系统研究，它们的位置和性质揭示了三角形深刻的对称性。对于等边三角形，重心、内心、外心、垂心四心重合，这也是等边三角形具有高度对称性的体现。